高三艺术班数学复习专用资料

第二章 函数、导数及其应用

第1讲 函数及其表示

一、必记3个知识点

1．函数映射的概念

两集合 A，B 对应 关系 函数 设A，B是两个非空数集 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都映射 设A，B是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 对应f：A→B是一个映射 f：A→B 存在唯一确定的数f(x)与之对应 名称 记法 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 y＝f(x)，x∈A 2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 3．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数． 二、必明3个易误区

1．解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则．

2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．

3．误把分段函数理解为几种函数组成． 三、必会4个方法

求函数解析式的四种常用方法

(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；

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(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的范围；

1?(4)解方程组法：已知关于f(x)与f?可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，?x?或f(－x)的表达式，通过解方程求出f(x)．

考点一 1.下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A．y＝x－1与y＝?x－1?2 C．y＝4lg x与y＝2lg x2

考点二 角度一 求给定函数解析式的定义域 1

1＋?＋1－x2的定义域为________． 1.函数y＝ln??x?角度二 已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域 2．已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域

考点三 求函数的解析式 B．y＝x－1与y＝

x－1

x－1x 100

函数与映射的概念 D．y＝lg x－2与y＝lg

函数的定义域问题 11x＋?＝x2＋2，求f(x)的解析式； [典例] (1)已知f??x?x2?

(2)已知f??x＋1?＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

[针对训练]已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式．

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考点四 分段函数 ??lg x，x>0，

[典例] (1)已知函数f(x)＝?若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为( )

??

x＋3，x≤0.A．－3 B．－1或3 C．1

D．－3或1

?2x3

，x<0，(2)已知函数f(x)＝??

则f??π??＝________. ?－tan x，0≤x<π?2，

?f?4??

课后作业

[试一试]

1．函数y＝x ln(1－x)的定义域为( ) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1]

D．[0,1]

2．若函数f(x)＝???x2＋1，x≤1，

?则f(f(10))＝( ?

lg x，x>1，

)

A．lg 101 B．2 C．1 D．0

[练一练]

1．设g(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则f(x)等于( ) A．－2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7 2．若f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(x)＝________. 做一做

1．下列函数中，与函数y＝

13定义域相同的函数为( )

xA．y＝1sin x B．y＝ln xx C．y＝xex D．y＝sin x

x

2．(2014·广州调研)已知函数f(x)＝???log2x，x>0，?1???的值是(?

3x，x≤0，

则f??f?4?? A．9 B.1

9 C．－9

D．－1

9

3．函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的定义域为________．

4．已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)＝________. 5．有以下判断：

(1)f(x)＝|x|

?1，x与g(x)＝???x≥0???

－1，?x<0?

表示同一个函数．

(2)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．

(3)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f??f?1?2????

＝0. 信心+细心 第 3 页 共 26 页

) 其中正确判断的序号是________．

6．已知集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，则下列对应关系中，不能看作从A到B的映射的是( ) 111

A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x

8422x＋1

7．函数f(x)＝2的定义域是( )

2x－x－11

A．{x|x≠－}

21

C．{x|x≠－且x≠1}

2

1

B．{x|x>－} 21

D．{x|x>－且x≠1}

2

8．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1. (1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2x＋5.

第2讲 函数的单调性与最值

一、必记3个知识点

1．增函数、减函数

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，如果对于任意x1，x2∈D，且x1f(x2)． 2．单调区间的定义

若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

3．函数的最值

前提 条件 结论 二、必明2个易误区 1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

1

2．两函数f(x)，g(x)在x∈(a，b)上都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)也为增(减)函数，但f(x)·g(x)，等的单调

f?x?

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设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 ①对于任意x∈I，都有f(x)≤M； ①对于任意x∈I，都有f(x)≥M； ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最大值 ②存在x0∈I，使得f(x0)＝M M为最小值 性与其正负有关，切不可盲目类比． 三、必会2个方法

1．判断函数单调性的四种方法

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论；

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数；

(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性判断函数单调性． (4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的五个常用方法

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．

(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．

(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．

(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 提醒：在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．

考点一 求函数的单调区间 1.函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________． 考点二 函数单调性的判断 ax[典例] 试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性．

x－1 [针对训练]

－2x

判断函数g(x)＝在 (1，＋∞)上的单调性．

x－1

考点三 函数单调性的应用 信心+细心 第 5 页 共 26 页

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