2012年考研数学1模拟试题及答案

2012年考研数学1模拟试题及答案

模拟一

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）设函数f(x)

（A）0

x2

ln(3 t)dt则f (x)的零点个数（ ）

（D）3

（B）1 （C）2

n

（2）设有两个数列 an , bn ，若liman 0，则（ ）

（A）当

b

n 1

n

收敛时，

ab

n 1

nn

收敛. （B）当

b

n 1

n

发散时，

ab

n 1

nn

发散.

（C）当

b

n 1

n

收敛时，

ab

n 1

22nn

收敛. （D）当

b

n 1

n

发散时，

ab

n 1

22nn

发散.

（3）已知函数y f(x)对一切非零x满足xf (x) 3x[f (x)]2 e

（A）f(x0)是f(x)的极大值 （B）f(x0)是f(x)的极小值

（C）(x0,f(x0))是曲线y f(x)的拐点

x0

e xf (x0) 0(x0 0),则（ ）

（D）f(x0)是f(x)的极值，但(x0,f(x0))也不是曲线y f(x)的拐点 （4）设在区间[a,b]上f(x) 0,f (x) 0,f (x) 0，令S1

f(x)dx,

a

b

1

S2 f(b)(b a),S3 [f(a) f(b)](b a),则 （ ）

2

（A）S1 S2 S3 （B）S2 S1 S3 （C）S3 S1 S2 （D）S2 S3 S1

1 1 1 100

（5）设矩阵A 11 1 ，B 020 ，则A于B（ ）

1 11 000

（A） 合同，且相似

（C） 不合同，但相似

*

*

（B）合同，但不相似

（D）既不合同，也不相似

（6）设A,B均为2阶矩阵，A,B分别为A,B的伴随矩阵，若A 2,B 3，则分块矩阵

伴随矩阵为（ ）

OA

的

BO

2012年考研数学1模拟试题及答案

O3B* （A） *

O 2A O3A*

（C） *

2BO

O

（B） *

3A O（D） *

3B

2B*

O 2A*

O

（7）设A,B,C是三个相互独立随机事件，且0 P(C) 1，则下列给定的四对事件中不相互独立的是（ ）

（A）A B与C （B）AC与C （C）A B与C （D）AB与C

1n

（8）设随机变量X1,X2, ,Xn(n 1)独立同分布，且其方差 0，令Y Xi，则（ ）

ni 1

2

（A）cov(X1

2 ,Y) （B）

n

cov(X1,Y) 2

（C）D(X1 Y)

n 22n 12

（D）D(X1 Y) nn

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

xsint2dt 0

,x 0在x 0处连续，则a （9）设函数 f(x) x3

a ,x 0

（10

）

3

.

dy

|x 0 dx

23

（11）设函数y y(x)由方程ln(x y) xy sinx确定，则

3

2

（12）曲线y x x 2x与x轴所围成的图形的面积A为（13））若4维列向量 , 满足

T

3，其中 T为 的转置，则矩阵 T的非零特征值为

2

（14）设X1,X2, ,Xm为来自二项分布总体B n,p 的简单随机样本，X和S分别为样本均值和样本方

22

差。若X kS为np的无偏估计量，则k 。

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10

分）求极限limx

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2y'' (y')2 y

（16）（本题满分10分）求微分方程 的解

y(0) 2,y'(0) 1

（17）（本题满分12分）设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内大于零，并满足

xf(x) f(x)

3a2

x(a为常数)，又曲线y f(x)与x 1,y 0所围的图形S的面积值为2，求2

函数y f(x),并问a为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小.

（18）（本题满分10分）就k的不同取值情况，确定方程x

证明你的结论.

（19）（本题满分10分）求幂级数

sinx k在开区间(0,)内根的个数，并

22

2n 1x

n 1

1

n 1

2n

的收敛域及和函数.

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1 0 a b 3 （20）（本题满分10分）已知向量组 1 1, 2 2, 3 1向量组与向量组 1 2, 2 0,

3 1 1 1 0

9

具有相同的秩，且 可由 , , 线性表示求a,b的值.

3 63123

7

222

（21）（本题满分10分）设二次型f x1,x2,x3 x1 ax2 x3 2x1x2 2x2x3 2ax1x3的正负惯指数都是1，

试计算a的值并用正交变换将二次型化为标准型

（22（本题满分10分））已知随机变量X,Y的联合概率密度为 (x,y)

的联合分布函数F(x,y)

4xy,0 x 1,0 y 1

，求X,Y

0,其它

2e 2(x ,)若x

（23）（本题满分12分）设总体X的概率密度为 f(x)

若x 0,

其中 0是未知参数.从总体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记 min(X1,X2,...,Xn)， （1）求总体X的分布函数F(x)

；

^

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（2）求统计量 的分布函数F^(x)；

^

（3）如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.

^

模拟1

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．

（1

）设f(x) x2g(x),

x 0x 0

，其中g(x)是有界函数，则f(x)在x 0处（ ）

（A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导

（2）“对任意给定的 (0,1)，总存在正整数N，当n N时，恒有|xn | 2 ”是数列{xn}收敛于 的 （ ）

（A） 充分条件但非必要条件； （B） 必要条件但非充分条件； （C）充分必要条件； （D） 既非充分条件也非必要条件；

（3）设f(x)在( , )内可导，且对任意x1、x2，当x1 x2时，都有f(x1) f(x2)，则（ ）

（A）对任意x,f (x) 0. （B）对任意x,f (x) 0. （C）函数f( x)单调增加 （D）函数 f( x)单调减少

（4）设f(x),g(x在)区间[a,b]上连续，且f(x) g(x) m（m不为常数），由曲线

y f(x),y g(x),x a及x b所围成平面图形绕直线y m旋转而成的旋转体积为（ ）

（A）

[2m g(x) f(x)][g(x) f(x)]dx （B） [2m g(x) f(x)][g(x) f(x)]dx

a

a

bb

（C）

[m g(x) f(x)][g(x) f(x)]dx （D） [m g(x) f(x)][g(x) f(x)]dx

a

a

b

b

（5）设A为n m矩阵, B为m n 矩阵, E为n 阶单位矩阵, 若AB E , 则（ ）

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（A）r(A) n,r(B) n （B）r(A) n,r(B) m

（C）r(A) m,r(B) n （D）r(A) m,r(B) m （6）设向量组①： 1, 2, , s可由向量组②： 1, 2, , t线性表示，则（ ）

（A）当s t时，向量组②必线性相关 （B）当s t时，向量组②必线性相关 （C）当s t时，向量组①必线性相关 （D）当s t时，向量组①必线性相关

x 0, 0,

1

（7）设随机变量X的分布函数F(x) ,0 x 1, 则P(X 1) （ ）

3 2x

x 1. 1 e,

（A）0 （B）

112 2 1

（C） e （D） e 333

（8）设随机变量X与Y相互独立，且X是区间(0,1是)的均匀分布，Y的概率分布为

P Y 0 P Y 1

为（ ） （A）0

1

，记FZ z 为随机变量Z XY的分布函数，则函数FZ z 的间断点个数2

（B）1 （C）2 （D）3

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

2z

（9））设函数f u,v 具有二阶连续偏导数，z f xy,y ，则

x y

（10）微分方程xy 2y 0满足条件y 1 1的解是y . （11））曲线cos xy ln x y 1在点 0, 1 处的切线方程为 . （12）设

x,y,z x

2

y2 z2 1，则 (x2 z2)dxdydz

（13）设A为3阶矩阵， 1, 2, 3为线性无关的3维列向量，A 1 0,A 2 1 2 2，A 3 2 2 3，则A的非零特征值为

2

（14）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则PX EX

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2012年考研数学1模拟试题及答案

sinx sin sinx sinx （15）（本题满分10分）求极限lim.x 0x2(1 cosx)

x2 y2 2z2 0

（16）（本题满分10分）已知曲线C: ，求曲线C距离XOY面最远的点和最近的点.

x y 3z 5

（17）（本题满分10分）设函数y(x)在闭区间[ 1,1]上具有三阶连续导数，且f( 1) 0,f(1) 1,f(0) 0, 证明：在开区间( 1,1)内至少存在一点 ,使f ( ) 3.

（18）（本题满分11分）将函数f(x) 2 x, 1 x 1展开成以2为周期的傅里叶级数，并计算

1

. 2nn 0

（19）（本题满分11

分）求半球面z 及旋转抛物面2az x2 y2所围几何体的表面积.

2012年考研数学1模拟试题及答案

12 3 （20）（本题满分10分）设矩阵A 14 3的特征方程有一个二重根，求a的值，并讨论A是否可 1a5

相似对角化.

1

,

（21）（本题满分10分）设二维随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y) 4

0,

222

求二次曲面f x1 2x2 Yx3 2x1x2 2Xx1x3 1为椭球面的概率.

1 x 1,0 y 2

其他

（22）（本题满分11分）一个电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命（单位：千小

1 e 0.5x e 0.5y e 0.5(x y),

时），已知X和Y的联合分布函数为：F(x,y)

0,

（1）问X和Y是否独立；

（2）求两个部件的寿命都超过100小时的概率.

x 0,y 0）其他

（23）（本题满分11分）设总体X服从正态分布N~( , )，其中参数 已知， 未知，X1,X2,...,X2n

2

2n

是来自总体X的容量为2n的简单随机样本，试问

Xi 是 的无偏估计量吗？

1

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模拟三

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）设函数y f(x)具有二阶导数，且f (x) 0,f (x) 0， x为自变量x在x0处的增量， y与dy

分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若 x 0，则（ ）

（A）0 dx y. （C） y dy 0.

（B）0 y dy. （D）dy y 0.

1

（2）设f(x,y)为连续函数，则

（A

）（C

）

4

d f(rcos ,rsin )rdr等于（ ）

0

xf(x,y)dy （B

） f(x,y)dx （D

）

2

xy

00

00

f(x,y)dy f(x,y)dx

0y

（3）设有三元方程x z xlny e 1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个邻域，在此邻域

内该方程（ ）

（A）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z z(x,y)

（B）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和z z(x,y) （C）可确定两个具有连续偏导数的隐函数y y(x,z)和z z(x,y) （D）可确定两个具有连续偏导数的隐函数x x(y,z)和y y(x,z)

（4）设函数f(x)在( , )内单调有界， xn 为数列，下列命题正确的是（ ）

（A）若 xn 收敛，则 f(xn) 收敛.

（C）若 f(xn) 收敛，则 xn 收敛.

3

2

（B）若 xn 单调，则 f(xn) 收敛.

（D）若 f(xn) 单调，则 xn 收敛.

（5）设 1, 2, 3是3维向量空间R的一组基，则由基 1,2 2,3 3到基

1 2, 2 3, 3 1的过渡矩阵为（ ）

101 101

111

（A） （B） 00 0

22 2 1 11

10 0

3 33

101 120 （C） 220 （D） 023

033 103

（6）设 1, 2是矩阵A的两个不同的特征值, , 是A的分别属于 1, 2的特征向量, 则（ ）

（A）对任意k1 0,k2 0, k1 k2 都是A的特征向量.

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（B） 存在常数k1 0,k2 0, k1 k2 是A的特征向量. （C） 当k1 0,k2 0时, k1 k2 不可能是A的特征向量.

（D）存在惟一的一组常数k1 0,k2 0, 使k1 k2 是A的特征向量.

（7）两只一模一样的铁罐里都装有大量的红球和黑球，其中一罐（取名“甲罐”）内的红球数与黑球数之

比为2:1，另一罐（取名“乙罐”）内的黑球数与红球数之比为2:1，今任取一罐并从中取出50只球，查得其中有30只红球和20只黑球，则该罐为“甲罐”的概率是该罐为“乙罐”的概率的（ ） (A) 154 (B) 254倍 (C) 798倍 (D) 1024 （8）已知 X,Y 服从二维正态分布，EX EY ,DX DY 2，X与Y的相关系数 0，则X与

Y（ ）

（A）独立且有相同的分布 （B）独立且有不相同的分布

（C）不独立且有相同的分布 （D）不独立且有不相同的分布 二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

11

（9） 3xdx＝_______

1x

x e t

d2y

（10）设 ，求2 t2

dxt 0y ln 1 u du 0

x

（11）若二阶常系数线性齐次微分方程y ay by 0的通解为y C1 C2x e，则非齐次方程

2

y ay by x 满足条件y 0 0,y 0 0的解为y （12）已知曲线L的方程为y x 1，x 1,1 ,起点是 1.0 ，终点是 1,0 ，则曲线积分

L

y2dx x2dy

AT（13）设A,B都是n阶可逆矩阵，且A 2,B 3， 则 2

0

（14）随机地向半圆0 y

0

1 B

2ax x2(a为正常数)内掷一点, 点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

积成正比, 则原点和该点的连线与x轴的夹角小于的概率为______.

4

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

x2

1 （15）（本题满分9

分）求极限lim

x22x 0

cosx esinx

2

（16）（本题满分10分）在抛物线y x,(0 x 8)上求一点，使得该点的切线与直线y 0与x 8所围

成的三角形面积最大

（17）（本题满分12分）设函数f x 在闭区间 a,b 上连续，在开区间 a,b 内可导，且f x 0，若极

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f 2x a 存在，证明： x ax a

（1）在 a,b 内f x 0； （2）在 a,b 内存在 ，使

限lim

b2 a2

（3）在 a,b 内存在与（2）中 相异的点 ，使 f b a

2

f x dx

a

b

2

； f

2

2 f x dx a

ba

x2y2

z2 1的上半部分，点P x,y,z S， 为S在点P处的（18）（本题满分10）设S为椭球面22

z

切平面， x,y,z 为原点到 的距离，求 dS

x,y,zS

（19）（本题满分11分）设幂级数在负无穷到正无穷内收敛，其和函数y(x)幂级数为

y 2xy 4y 0,y(0) 0,y (0) 1

2an

（1） 证明：an 2 ，n 1,2.3,......

n 1

（2） 求y(x)的表达式

（20）（本题满分11分）设A (aij)3 3是实矩阵，满足：

（1）(aij) (Aij)(i,j 1,2,3)，其中Aij为元素aij的代数余子式； （2）a33 1； （3）A 1

ax

n

n

，且和函数

0

求非齐次线性方程组Ax 0 的解

1

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（21）（本题满分10）设有n元实二次型，

f x1,x2,...,xn x1 a1x2 x2 a2x3 ... xn 1 an 1xn xn anx1

2222

，其中

ai( i1

型

,为实数。试问：当na1,a2,...,an满足何种条件时，二次型f x1,x2,...,xn 为正定二次

（22）（本题满分11分）设随机变量X和Y的联合分布是正方形G

布。试求随机变量U X Y的概率密度p(u)

x,y :1 x 3,1 y 3 的均匀分

6x

( x),

（23）（本题满分10分）设总体X的概率密度为：f(x; ) 3

0,

数，X1,X2,...,Xn是来自总体X的简单随机样本，

（1）求 的矩估计量 ；

)D( （2）求.

0 x

，其中 是未知参

其他

模拟四

2012年考研数学1模拟试题及答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）函数f(x)

(e e)tanxx(e e)

1

x

1x

在区间 , 上的第一类间断点是x （ ）

（A） 0 （B） 1 （C）

2

（D）

2

（2）设函数f(x),g(x)任意阶可导，且满足f (x) f (x)g(x) f(x)x ex 1,f(0) 1,f (0) 0,则（ ）

（A） f(0) 1为f(x)的极小值 （B）f(0) 1为f(x)的极大值 （C） 点(0,1)y f(x)的拐点 （D）由g(x)才能f(x)的极值或拐点

x,y)（3）设f(

1

与 (x,y)均为可微函数，且 y(x,y) 0. 已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件 (x,y) 0

下的一个极值点，下列选项正确的是（ ） （A）若fx (x0,y0) 0，则fy (x0,y0) 0. （B）若fx (x0,y0) 0，则fy (x0,y0) 0. （C）若fx (x0,y0) 0，则fy (x0,y0) 0. （D）若fx (x0,y0) 0，则fy (x0,y0) 0. （4）lim

2i j

（[x]表示不超过x的最大整数） []等于（ ） 2n ni 1j 1n

2n3n

（A）（C）

1

01

dx 2[x y]dy. （B） dx 6[x y]dy.

111

dx 12[2x 3y]dy. （D） dx 6[2x 3y]dy

111

（5）若 1, 2, 3, 1, 2都是四维列向量，且四阶行列式 1, 2, 3, 1 m, 1, 2, 2, 3 n 则四阶行

列式 3, 2, 1,( 1 2) （ ）

（A） m n （B） (m n) （C）n m （D）m n （6）对于n元方程组，下列命题正确的是 （ ）

（A）如果Ax 0只有零解，则Ax b有唯一解 （B）如果Ax 0有非零解，则Ax b有无穷解

（C）如果Ax b有两个不同解，则Ax 0有无穷多解

（D）Ax b有唯一解的充要条件是r(A) n

（7）设随机变量X和Y相互独立，且X N 0,1 ，Y B n,p ,0 p 1。则X Y的分布函数（ ）

2012年考研数学1模拟试题及答案

（A）是连续函数 （B）恰有n 1个间断点 （C） 恰有1个间断点 （D）有无穷多个间断点 （8）设X N 0,1 ，Y 2X X 3，则X与Y （ ）

2

（A）独立且互不相关 （B）互不相关但不独立 （C） 相关 （D）无法判断

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．（9）极限lim

tanx tan2

x 2sinln(x 1)

y(1 x2)

（10）微分方程y 的通解为

x

（11）已知两直线的方程是L1:方程为

（12）曲面z cosxcosy，z 0，x y

xy 1z 2x 1y 1z 1 ，L2:，则过L1且平行于L2的平面10 1111

2

，x y

2

所围立体的体积为（13）二次型f(x1,x2,x3) (a1x1 a2x2 a3x3)2的矩阵是（14）甲、乙二人轮流投篮，游戏规则为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者

为胜。设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0.5 ，则p

时，甲乙胜负概率相同

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

（15）（本题满分10分）设0 x1 1，

xn 1

limxn存在，并求其值

n

2f 2f

1， （16）（本题满分10分）设f u,v 具有二阶连续偏导数，且满足

u2 v2

2g 2g 122 g x,y f xy,x y ，求2 2

2 x y

2012年考研数学1模拟试题及答案

（17）（本题满分10分）设f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导 0 a b ，证明：存在 , a,b ，

f' 2使得 f

ab

'

（18）（本题满分10分）f(x) pe x x2 x ，若对于一切的x 0，恒有f(x) 1，问常数p最小应取

什么值？

（19）（本题满分10分）将f(x) 2xarctanx ln(x 1) 1展成x的幂极数

（20）（本题满分10分）设A (aij)m n，y (y1,y2, ,yn)T，b (b1,b2, ,bn)T，x (x1,x2, ,xn)T，

2

AT 0

证明：方程组Ay b有解的充分必要条件是方程组 T x 无解（其中0是n 1矩阵）

b

1

2012年考研数学1模拟试题及答案

1 1

（21）（本题满分12分）设三阶实对称矩阵A的特征值分别为0,1,1， 1 a , 2 1 是A的两个不同

0 a

的特征向量，且A( 1 2) 2 （1）求参数a的值； （2）求方程Ax 2的通解；

（3）求矩阵A

（22）（本题满分11分）假设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作的时间EX为5小时。设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机。试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F(y)

（23）（本题满分11分）设总体X的概率密度为

2012年考研数学1模拟试题及答案

1

0 x 2 ,

1f(x) , x 1

2(1 ) 0,其他

X1,X2, ,Xn 为来自总体X的简单随机样本，是样本均值.

（1）求参数 的矩估计量 .

（2）判断4是否为 的无偏估计量，并说明理由.

2

2

模拟五

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．（1）当x 0是地，下列无穷小中阶数最高的是（ ）

（A

（B）3x 4x 5x （C）e cosx （D）

x2

3

4

5

1 cosx

sint2

dt t

222

（2）函数y xsinx的不可导点个数为（ ）

（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （3）设

sinxf(ax)

dx等于（ ） 为f(x)的一个原函数，且a 0，则

xasinaxsinaxsinaxsinax

C （D） C （A）3 C （B）2 C （C）

axaxaxx

222

（4）设f(x,y)是闭区域x y a上的连续函数，则极限lim

1a 0 a2

f(x,y)dxdy为（ ）

D

（A） 0 （B） （C） f(0,0) （D） 1 （5）设A为n阶方阵，B是A经过若干次初等变换后所得到的矩阵，则有（ ）

2012年考研数学1模拟试题及答案

（A）A B （B）A B

（C）若A 0，则一定有B 0 （D）若A 0，则一定有B 0 （6）设A,B为n阶方阵，且r(A) r(B)，则（ ）

（A）r(A B) 0 （B）r(A B) 2r(A) （C）r(AB) 2r(A) （D）r(AB) r(A) r(B) （7）下列函数能作为分布函数的是（ ）

x 1 0,

x 0 0, 1

（A）F(x) , 1 x 2 （B）F(x) ln(1 x)

,x 0 31 x x 2 1,x 1 0,

x 0 0, x 2

（C）F(x) , 1 x 2 （D）F(x) sinx,0 x

1, 5x 1,x 2

（8）设随机变量x B(n,p)，对任意0 p 1，

利用切比雪夫不等式估计有PX np

（A）

（ ）

1111

（B） （C） （D）

82416

二、填空题：9 14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．

ln(1

（9）已知lim

x 0

f(x)

)

5，则limf(x)

x 0x23x 1

2

（10）曲线y x(1 x)在点(1,0)处的曲率k

（11

）由方程xyz （12）若级数

z z(x,y)在点(1,0, 1)处的全微分dz

(a

n 1

n

2)2收敛，则liman

n

112 4 13

（13）设A,B为三阶方阵，且A 121 ，B 2k0 ，且已知存在三阶方阵x，使得Ax B，

011 2 11

则k

（14）在n重伯努利试验中，若每次试验成功的概率为p，则成功次数是奇数次的概率为

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

2012年考研数学1模拟试题及答案

（15）（本题满分10分）设连续函数f(x)在[1, )单调减少，且f(x) 0，若un

证明：limun存在

n

() f(xd)x fk

k 1

1

n

n

，

（16）（本题满分10分）求f(x,y) xy在圆周L:(x 1)2 y2 1 0上的最大值和最小值

（17）（本题满分10分）过点

1

,0 且满足关系式

arcsinx y' 1的曲线方程

2 n2 1n

（18）（本题满分10分）求幂级数 x的收敛域及和函数

nn 1

f(x

（19）（本题满分12分）设函数f(x)连续且恒大于零，F(t)

(t)

D(t)

2

y2 z2)dv

2

f(x

y)d

2

，

2012年考研数学1模拟试题及答案

G(t)

D(t)

f(x

t 1

2

y2)d

，

2

f(x)dx

2222222

其中 (t) {(x,y,z)x y z t}，D(t) {(x,y)x y t}.

（1） 讨论F(t)在区间(0, )内的单调性； （2）证明当t 0时，F(t)

2

G(t).

1

2112 0 1 （20）（本题满分10分）假设A 0131,b 1, . 如果 是方程组Ax b的一个解, 试 1 1ac10

1

求Ax b 的通解.

322 010 1*

（21）（本题满分10分）设矩阵A 232，P 101，B PAP，求B 2E的特征值与

223 001

特征向量，其中A为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵.

（22）（本题满分10分）设随机变量X与Y独立,其中X的概率分布为X~ 0.3

为f(y),试求随机变量U X Y的概率密度g(u)

*

1

2 ,而Y的概率分布 0.7

2012年考研数学1模拟试题及答案

2e 2(x ),若x

（23）（本题满分12分）设总体X的概率密度为f(x) ，其中 0是未知参数.从总

若x 0,

体X中抽取简单随机样本X1,X2, ,Xn，记 min(X1,X2,...,Xn)， （1）求总体X的分布函数F(x)

^

^

；

（2）求统计量 的分布函数F^(x)；

（3）如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性.

^

数一模考1答案

一、选择题

（1）B （2）C （3）D （4）B （5）D （6）B （7）B （8）A 二、填空题 （9）a

1372

（10）9(4 ) （11）1. （12） （13））3 （14） 1 312

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

（15

）求极限limx

【解】

：limx

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