武汉大学2005-2006第二学期微积分备用卷（216学时）

备用

武汉大学数学与统计学院

2005—2006第二学期《微积分》期末考试试题

（总学时216）

班级: 学号: 姓名:

一、试解下列各题（每小题5分，共25分）：

1、方程y2?x2(1?x2)?0 在那些点的领域内可惟一地确定连续可导的隐函y?f(x)？ 2、试写出单位正方体为积分区域时，柱面坐标系和球面坐标系下的三重积分的上下限。

?u?u23、设函数u?f(lnx?y), 满足 ??(x?y), 且极限lim22x?0?x?y2222322?10f(xt)dtx??1，试求函

数f的表达式。

222x?y?z?4??4、求曲线?2在点M?(1,1,2)处的切线与法平面方程。 2x?y?2x??（3，?2，2）5、已知u?ln(x?y2?z2)，求其在点p0(1,0,1)处沿点p0指向点B的方向导数。

二、计算下列各题（每小题7分，共35分）：

1、求微分方程xy??y?0满足初始条件y(1)?2的特解。 2、计算二重积分

??Dx2?y2?1d?，其中D?{(x,y)0?x?1,0?y?1}

3、设f连续，Gt：0?z?h,x2?y2?t2，而F(t)????Gt22 z[?f(x?2y)d]，V求

dF及dtt?0??lim10F(xt)dxt?

n24、求无穷级数?的和。

n?1n!5、设?是由锥面z?侧，计算

?x2?y2与半球面z?R2?x2?y2围成的空间区域，?是?的整个边界的外

??xdydz?ydzdx?zdxdy

?(?1)n?1(1?n?1?三、（8分）求幂级数

1)x2n的收敛区间与和函数f(x)

n(2n?1)四、（8分）设P?x?5?y?3yz,Q?5x?3?xz?2,R?(??2)xy?4z1）计算

2?LPdx?Qdy?Rdz其中L为螺旋线x?acost,y?asint,z?at(0?t?2?)；2）设A?(P,Q,R)，求rotA

五、（8分）设函数Q(x,y)在xoy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分2xydx?Q(x,y)dy与路径无关，

L? 1

(t,1)(1,t)(1,1)且对任意t恒有：

(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy?(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy，计算

(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy的值。

六、（8分）设稳定流动的不可压缩流体（假设密度为1）的速度场由v?(y2?z)i?(z2?x)j +(x2?y)k给出，锥面z?求在单位时间内流向曲面?外x2?y2(0?z?h)是速度场中一片有向曲面，

侧的流体的质量。 七、（8分）设微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?0 （1）证明：若1?P(x)?Q(x)?0，则方程有一特

x解y?e；若P(x)?xQ(x)?0，则方程有一特解y?x。(2) 根据上面的结论，求

(x?1)y???xy??y?0的通解和满足初始条件y(0)?2,y?(0)?1的特解。（3）(x?1y?)??xy??y?满足初始条件1 limln[y(x)?1]x?0x??1的特解。

求

2

备用 2005—2006第二学期《微积分》期末考试试题参考解答

（总学时216）

一、试解下列各题

1、解：设F(x,y)?y2?x2(1?x2)，则

Fx??2x?4x3,Fy?2y.若Fy?0，则有y?0，将y?0代入原方程可解得x?0,x??1，即在点

(0,0),(1,0),(?1,0)处有Fy?0.设

D?(x,y)y2?x2(1?x2)?0??(0,0),(1,0),(?1,0)?，

则F(x,y)在D上每一点的领域内都有定义且连续；Fx,Fy在在D上每一点的领域内都定连续；在D上每一点(x,y)有F(x,y)?0,Fy?0.方程一地确定连续可导的隐函y?f(x)。

??y2?x2(1?x2)?0在D上每一点的某领域内都可惟

?x?rcos??2、解 (1)在柱面坐标系下?y?rsin?,由r,?,z的意义知.

?z?z????f(x,y,z)dV??dz?V01?40d??1cos?0rf(rcos?,rsin?,z)dr +?dz??2d??041?1sin?0rf(rcos?,rsin?,z)dr

?x?rsin?cos??(2)在球面坐标系下,?y?rsin?sin?, 由r,?,?的意义知:

?z?rcos??????f(x,y,z)dV??V40d??arctancos?0d??1cos?0kf(u,v,?)dr

?arccotsin??? +

?40d??2arccotcos?d??1sin?cos?0kf(u,v,?)dr+??2d??40d??1cos?0kf(u,v,?)dr

??2arccotsin? +

2??d??24d??1sin?cos?0kf(u,v,?)dr

其中k?rsin?,u?rsin?cos?,v?rsin?sin?,??rcos?.

22222t3、解：设t?lnx?y?x?y?e

53?2u?2u2225t222 ?f(t)?(x?y)?e??(x?y)??22?x?y积分两次得 f(t)?15t15xe?C1t?C2，即 f(x)?e?C1x?C2 2525x0?又lim1f(x)??1，从而有f(0)=0, f?(0)??2，将其代入f(x)表达式中，

x?0x?0x?02xxx215x121112e?x?,C1??.故试求函数f的表达式为f(x)?得 C2?? 25525255?2xdx?2ydy?2zdz?01dy1?xdz??,则曲线在点M处的切?,4、解：方程两边求微分，得?，解得

zdxydx?2xdx?2ydy?2dx0f(xt)dt??limf(u)du?lim 3

向量为（1，0，-

12），故点M处的切线方程为

x?12?y?1z?2，法平面方程为2（x-1）-（z-2）?0?1=0，即2x-z=0。

5、解：grad(u)P?(?1,0,11),el?(,二、计算下列各题

1、解：解： 原方程可化为 (xy)??0，积分得 xy?C， 代入初始条件得C=2，故所求特解为 xy=2.

22222、解：记D1?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D}，D2?{(x,y)x?y?1,(x,y)?D}，

?u121?grad(u)P?el?5 ,),el?1，?l222于是

??Dx2?y2?1d?=???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

D1D2?=??20d??(r2?1)rdr???(x2?y2?1)dxdy???(x2?y2?1)dxdy

01DD1?1?112?1222=+?dx?(x?y?1)dy??d??(r?1)rdr=?.

00043803、解：采用柱面坐标系，则F(t)?于是

?2?0h3d??rdr?[z?f(r)]dz?2??[?hf(r2)]rdr

0300th22tF(u)duF(t)dFhh??2200?lim?lim?2?[?hf(t)]t?2?ht[?f(t)]lim

t?0?t?0?t?0?3t2dt33t2t3h22?ht[?f(t2)]F?(t)1h23?lim??h[?f(0)]. =lim?t?0?t?06t6t33???1nn?1?1?n?1n2???4、解：?=?=? ??(n?1)!(n?1)!(n?1)!(n?1)!n!n?1n?1n?1n?1n?1??11?????2e. n?2(n?2)!n?1(n?1)!321F(xt)dxt5、解：

??xdydz?ydzdx?zdxdy????3dxdydz

?? =3?R?200?d??4sin?d??d??2?(1?02?23)R. 2三、解：因为lim(n?1)(2n?1)?1n(2n?1)?1，所以当x2?1时，原级数绝对收敛，当x2?1时，

n??(n?1)(2n?1)n(2n?1)?1原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为（－1,1）

?(?1)n?12n(?1)n?12n?1记S(x)??则S?(x)?? x,x?(?1,1)，x,x?(?1,1)，2n(2n?1)2n?1n?1n?1?1S??(x)??(?1)n?1x2n?2?,x?(?1,1).由于S(0)?0,S?(0)?0, 21?xn?1xx1dt?arctanx, 所以 S?(x)??S??(t)dt??001?t2? 4

xx1S(x)??S?(t)dt??arctantdt?xarctanx?ln(1?x2).

002?x2x2n?12n又?(?1)x? ,x?(?1,1),从而f(x)?2S(x)?221?x1?xn?1x2?2xarctanx?ln(1?x)?,x?(?1,1).

1?x22四、解（1）+

?LPdx?Qdy?Rdz=?(a2cos2t?5a?sint?3actsint)asintdt

02?02??2?0(5acost?3a2?costsint?2)acostdt+?[(a2(??2)costsint?4ct]cdt

=?a2(1??)(5?3?c)?8?2c2.

?R?Q?P?R?Q?P?)i?(?)j?(?)k ?y?z?y?x?x?y=[(??2)x?0]i?[3y?(??2)y]j?[(5?3?y)?(t??3z)]k =(??2)xi?(1??)yj?(t?5??3?y?3z)k

?P?Q?P?Q???2x 所以Q(x,y)?x2?C(y) 五、解：由题设知 即?y?x?y?x（2）设A=（P，Q，R），则rot A=((t,1)11221又

(1,t)(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy??Q(t,y)dy??(t?C(y))dy?t??C(y)dy

000ttt(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy??Q(1,y)dy??(1?C(y))dy?t??C(y)dy

00012t所以t?C(y)dy?t?C(y)dy

00??即2t?1?C(t) 故C(t)?2t?1所以C(y)?2y?1 故有Q(x,y)?x2?2y?1

(1,1)1(0,0)?2xydx?Q(x,y)dy??2ydy?1

0六、解：在单位时间内流向曲面?外侧的流体的质量即流量，记为?，则 ??222(y?z)dydz?(z?x)dzdx?(x?y)dxdy. ???添加曲面?1:z?h(x2?y2?h2)取上侧的曲面积分，由?和?1组成封闭曲面，且积分是在该封闭曲面

的外侧进行，由高斯公式得： ??所以 ??? =???(y?122?z)dydz?(z2?x)dzdx?(x2?y)dxdy????0dV?0.

???(y?1?z)dydz?(z2?x)dzdx?(x2?y)dxdy????(x2?y)dxdy

?1Dxy2222D?{(x,y)x?y?h} (x?y)dxdy，其中xy???h41?)rdr???(co2s??h3sin?)d?=?h4. 故 ????d??(rcos??rsin000443?4负号应解释为在单位时间内流入曲面?的流体的质量为h.

42?h222?七、解：（1）直接验算即可.

5

x1y??y?0.因为 1+P(x)+Q(x)=0 P(x)+xQ(x)=0，由（1）知 x?1x?1yy1?ex,y2?x都是方程的特解，且1?常数，故通解为 y?C1x?C2ex. 由初始条件得

y2(2) 将微分方程变形为 y???C1??1,C2?2，故所求特解为y?2ex?x.

(3) (x?1)y???xy??y?1的通解为 y?1?C1x?C2ex.

ln[y(x)?1]??1知， y(0)-1=1,于是 C2?1. 从而 由limx?0xln[C1x?ex]C1x?ex?1ln[y(x)?1]lim?lim?lim?C1?1??1,得 C1??2，故所求特解为 x?0x?0x?0xxxy?1?2x?ex.

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