11-12-1线性代数试题及答案A（理工）

暨 南 大 学 考 试 试 卷

20_11 - 20_12 学年度第___1___学期 教 课程名称：_线性代数(理工内招生)_ 考试方式 师 开卷[ ] 闭卷[ √ ] 填 授课教师姓名：_吴广庆_ 写 考试时间:___2012___年___01___月________日 试卷类别(A、B) [ A ] 共 6 页 课程类别 必修[ √ ] 选修[ ] 考 生 填 写 学院(校) 专业 班(级) 姓名 学号 内招[ ] 外招[ ] 题 号 得 分 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总 分 得分 评阅人 一、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）

1. 设A是n阶正交矩阵, A??1, 则A???T? ?A

2. 已知n阶矩阵A满足A2?3A?E?0, E是n阶单位阵, 则

A?2E (A?E)?1?33. 设?1,?2,?3线性相关, ?2,?3,?4线性无关, 则?1 能 由?2,?3线性表示。 （填能，或不能）

4. 设A为n阶实对称矩阵，且A3?3A2?5A?3E=0，则A 是 正定矩阵。（填是，或不是）

222?x2?x3?2x1x2?2tx2x3是正定二次型, 5. 设f(x1,x2,x3)?2x1?11?则t的取值区间为??,?

22???x1?-3x36.若与五元齐次线性方程组AX=0的同解方程组是?，则AX=0的基础解

x?0?2系有___3___个解向量.

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7. 与单位矩阵相似的矩阵一定是 单位 矩阵。

118. 设A是五阶矩阵，且A?2，则(A)?1?A??16 329. 设A为n阶方阵, 且齐次方程组AX?0有非零解, 则A必有一个特征值为

____0_____。 10. ?1??1,2,?1?, ?2??253?, ?3??034?,

则??得分 TTT10?3T?1?2?2?(?2?1)?3=??2,21,28?

T评阅人 二、单项选择题（共10小题，每小题2分，共20分）

?1?2?4??5?????t1. 设方阵A???24?2?相似于对角矩阵??, 则t? 【 C 】.

??4?21???4?????(A). 3； (B). 4； (C). 5； (D). 6

12. 设A为3阶方阵，且A的特征值为1，-2，3，则(A)?1?4E? 【 A 】.

611； (D). ?

60603. 下列命题中，正确的是: 【 C 】.

(A). 两个向量组等价当且仅当它们的秩相等。

(B). 两个n阶矩阵相似当且仅当它们有相同的特征根。 (C). 方阵A的特征向量不能属于A的不同特征根。 (D). 二次型正定当且仅当它的负惯性指数为零。

(A). 60； (B). -60； (C).

4. 设A是n阶矩阵，且秩r?A??r?n，则在A的n个行向量中， 【 A 】. (A). 必存在r个行向量线性无关。 (B). 任意r个行向量线性无关。

(C). 任意r个行向量都构成极大无关组。

(D). 任意一个行向量都可由其它行向量线性表示。

5. 下列矩阵中不能对角化的是: 【 D 】.

?123???(A). ?204?. (B).

?345????000???012??. (C). ?023????100???200??. (D). ?300????000???100??. ?023???

6. 下列命题中，错误的是: 【 B 】.

(A). 初等矩阵的逆矩阵是初等矩阵。 (B). 初等矩阵的和是初等矩阵。 (C). 初等矩阵都是可逆的。

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(D). 初等矩阵的转置矩阵是初等矩阵。

7. 设A,B都是n阶矩阵，则： 【 D 】.

(A). A?B?A?B； (B). A-B? (C).

A?； B0BAA0?AB； (D). ?AB 00B8.不可对角化的矩阵为 【 D 】 (A) 实对称矩阵 (B) 有n个不同特征值的n阶方阵

(C) 有n个线性无关的特征向量的n阶方阵 (D) 不足n个线性无关的特征向量的n阶方阵.

9.下列哪个为正定二次型. 【 D 】 (A) f(x1,x2,x3)?x1?x3

(B) f(x1,x2,x3)?x1?2x1x2?x3 (C) xAx的三阶矩阵A的特征值为2,3,-1

(D) f(x1,x2,x3)?3x1?6x1x3?x2?4x2x3?8x3

?101???10. 若A??223?, 且r?A??3,则t 满足的条件是： 【 A 】.

?13t???2222222T(A). t?得分 5533； (B). t?； (C). t?； (D). t? 2222评阅人 三、解答题（共5小题，每小题9分，共45分）

?2?41???1. 求矩阵A?1?52的逆矩阵. ???1?11????1?2??1?1?解：A??6??2???3

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?11?22???11? ?62?11??3?暨南大学《线性代数(理工内招生)》试卷 A 考生姓名、 学号：

111?11

23?n?1nnn?n2. 求解方程

x?13?n?12x?1?n?12233??x?1?0

?n?1x?1100?0023?n?100n00?0x??n?1?解：原式=

x?10?0x?2?0000??x??n?2??0?0

x1?1,x2=2,?,xn?1=n?1

3. 常数k取何值时, 方程组

?x1???x1?x?1?x2?kx3?4?kx2?x2?x3?2x3?k2, ??4无解, 有唯一解, 有无穷多解, 并在有无穷多解时写出其通解. 解：

A???k?1??k?4?A?0,即k??1且k?4,有唯一解.?11?14??11?14?????0005?.k??1,??1?111????????1?12?4???0?23?8?? ……..4分

无解。

?1144??1144??1030?????0114???0114?k?4,??14116???????，

????1?12?4???0000???0000??有无穷多解。 ……..8分

非齐次特解?0,4,0?； 齐次通解:k??3,?1,1?

非齐次通解x??0,4,0??k??3,?1,1? …..12分

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4．求向量组?1??1112?,表示。

?2??0101?,?3??2527?,

?4??1011?的一个极大无关组，并把其它的向量由这个极大无关组线性

?1021??1150?TTT????????????2? 解：构造矩阵A???1T,?2,?3,?4????1021???2171???1021??013?1????????????????????????????4? ???0000???0000??则?1,?2是该向量组的一个极大无关组

?3?2?1?3?2，?4??1??2????????????????????10?

5．求矩阵A的全部特征值和特征向量，并判定A能否相似于对角矩阵, 其中

??110??。

A???430???102???解：?I?A?0得 ?1??2?1,?3?2????????????????????3?

2,?1?征

向

T当?1??2?1时，??1I?A?x?0的一个基础解系为v1??1,A

对

应

于

，所以矩阵量

为

?1??2?1的特

c1v1(c1?0)?????????????????6?

当?3?2时，??3I?A?x?0的一个基础解系为v2??0,于

0,1?向

T，所以矩阵A对应

量

为

?3?2(v?2的特征

c20?c2)???? ??9??由于A只有两个线性无关的特征向量，所以不能与对角矩阵相似。?????????10'

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得分 评阅人 四、证明题（共2小题，，共16分）

1. 设A为奇数阶正交矩阵，且A?1，求证：1是A的特征根。（本题7分） 证明：E-A?AAT-A?AAT-E?A?A?E??A?A?E???A?E?

???E?A????1?2n?1??T?E?A????E?A?

?E-A?0

故1是A的特征根。

2. 设向量组?1,?2,?,?s,?s?1?线性无关，求证：向量组：

?1,?1??2,?,?1??2????s 线性无关。（本题8分）

证明：设 k1?1?k2(?1??2)???ks(?1??2????s)?0 即 (k1?k2+?+ks)?1?(k2+?+ks)?2???ks?s?0 …..4分 故 k1?k2+?+ks=k2+?+ks???ks?0

故 k1=k2=??ks?0 …..8分

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7eqd.html