第八章第二讲：抽屉原理.题库教师版

第八章第二讲：抽屉原理

教学目标

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：

1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题；

5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

知识点拨

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x?1?x??n?1??， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

知识精讲

模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 1 of 23 第八章第二讲：抽屉原理

6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其【解析】

中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6?5?1??1 ，1?1?2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．

【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【解析】 在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任

意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．

【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学

生中，至少有两个人在做同一科作业．

【解析】 将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉

原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业．

【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生

日．”你知道张老师为什么这样说吗？

【解析】 先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显然

与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．

【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物

品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．

【巩固】 数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样． 【解析】 属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根

据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．

【巩固】 光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 【解析】 一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367

个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．

【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同． 【解析】 五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中

的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色． 也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同．

【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【解析】 一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730?366?1??364，

所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．

【巩固】 试说明400人中至少有两个人的生日相同. 【解析】 将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情

况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.

【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 【解析】 方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；

情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的；

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情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正

确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；

方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都

是男孩或者都是女孩．

【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游

园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【解析】 假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目

看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n?1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n?1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：

⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n?2个熟人，这样熟人数目只有n?1种可能：0，1，2，……，n?2．这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(n?1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．

⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n?1种可能：1，2，3，……，n?1．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n?1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【巩固】 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，

他们的朋友人数一样多．

【解析】 数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学

至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．

【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 【解析】 因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个

“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．

【巩固】 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由． 【解析】 想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？

把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同．

【例 6】 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数． 【解析】 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么

它们的差a?b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．

【巩固】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。 【解析】 把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至

少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数。

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【巩固】 （第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是

1的为第1类，个位数字是2的为第2类，?，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例．

【解析】 （1）不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数．

（2）一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数．

【巩固】 证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相

同的两位数．

【解析】 两位数除以11的余数有11种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数

分成11种．12个不同的两位数放入11个抽屉，必定有至少2个数在同一个抽屉里，这2个数除以11的余数相同，两者的差一定能整除11．两个不同的两位数，差能被11整除，这个差也一定是两位数（如11，22……），并且个位与十位相同． 所以，任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

【例 7】 任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数． 【解析】 设这11个数为a1，a2，a3，……，a11，由5个数的结论可知，在a1，a2，a3，a4，a5中必有

3个数，其和为3的倍数，不妨设a1?a2?a3?3k1；在a4，a5，a6，a7，a8中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设a4?a5?a6?3k2；在a7，a8，a9，a10，a11中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设a7?a8?a9?3k3．又在k1，k2，k3中必有两个数的奇偶性相同，不妨设k1，k2的奇偶性相同，那么3k1?3k2是6的倍数，即a1，a2，a3，a4，a5，a6的和是6的倍数．

【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？ 【解析】 至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被

3除的余数分别为0，1，2．因此这三个数之和能被3整除．综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数．

【例 8】 任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做

和)．

【解析】 把这2008个数先排成一行：a1，a2，a3，……，a2008，

第1个数为a1； 前2个数的和为a1?a2；

前3个数的和为a1?a2?a3；

……

前2008个数的和为a1?a2???a2008．

如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，……，2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是a1，a2，a3，……，a2008中若干个数的和)是2008的倍数．所以结论成立．

【巩固】 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好

做了7道题目．

【解析】 设小明第1天做了a1道题，前2天共做了a2道题，前3天共做了a3道题，……，前14天共做了a14a14及a1?7，a2?7，a2，a3，a3?7，道题．显然a14?20，而a1～a13都小于20．考虑a1，……，……，

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a14?7这28个数，它们都不超过27．

根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等．由于a1，……，a14互不相等，a1?7，a2?7，a2，a3，a3?7，……，a14?7也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，

即有：aj?ai?7，所以aj?ai?7．这表明从第i?1天到第j天，小明恰好做了7道题．

【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

1996?4?499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数． 【解析】

取500个数：1，11，111，……，111……1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余

数a1，a2，a3，…，a500．由于余数只能取0，1，2，…，498这499个值，所以根据抽屉原则，

必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0： 11…100…0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数．

【巩固】 任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数. 【解析】 考虑如下n?1个数：7，77，777，……，77?7，77?7，这n?1个数除以n的余数只能为0，??????n位n?1位1，2，……，n?1中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n的余数相同，不

妨设为77?7和77?7(p?q)，那么77?7?77?7?77?700?0是n的倍数，所以n乘以适当??????????????????p位q位p位q位(p?q)位q位的整数，可以得到形式为77?700?0的数，即由0和7组成的数． ??????(p?q)位q位

【例 10】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得(a?b)(c?d)(e?f)是105的倍数．

105?3?5?7．对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6【解析】

个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数．

【巩固】 任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为

105的倍数．

【解析】 根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜(a?b)(c?d)(e?f)使其结果为105的倍数，那么我们的

思路是使第一个括号里是7的倍数，第二个括号里是5的倍数，第三个括号里是3的倍数，那么对于如果六个数字里有7的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有7的倍数，那么我们做如下抽屉：

{除以7的余数是1或者是6} {除以7的余数是2或者是5}

{除以7的余数是3或者是4}那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么着两个数如果余数相同，做减法就可以得到7的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到7的倍数．

这样剩下的4个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出5和3的倍数．于是本题可以证明．

【巩固】 （2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意

抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？

?100?12?22?3，因为3的倍数有?【解析】 ，抽??33个，所以不是3的倍数的数一共有100?33?67（个）3??取这67个数无法保证乘积是3的倍数，但是如果抽取68个数，则必定存在一个数是3的倍数，又因为奇数只有50个，所以抽取的偶数至少有18个，可以保证乘积是4的倍数，从而可以保证乘积是12的倍数。于是最少要抽取68个数（即：68张卡片）才可以保证结果。 【例 11】 把1、2、3、?、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之

和不小于17． 8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 5 of 23

第八章第二讲：抽屉原理

学所拿球的种类是一样的．

【巩固】 幼儿园买来很多玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件不同的，那么至少要

有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？

【解析】 根据题意列下表：

有3个小朋友就有三种不同的选择方法，当第四个小朋友准备拿时，不管他怎么选择都可以跟前面三个同学其中的一个选法相同．所以至少要有4个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的．

总结： 本题是抽屉原理应用的典型例题，作为重点讲解．学生们可能会这么认为：铺垫：2件?3种?6件，

6件?2个?3人，要保证有相同的所以至少要有3?1?4人；对于例题中的题目同样2件?4种?8件，8件?2个?4人，要保证有相同的所以至少要有4?1?5人．因为铺垫是正好配上数了，而例题中的问题在于4种东西任选两种的选择有几种．可以简单跟学生讲一下简单乘法原理的思想，但建议还是运用枚举法列表进行分析，按顺序列表可以做到不遗漏，不重复．

【巩固】 篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有若干个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，

那么至少有多少个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的？

【解析】 首先应弄清不同的水果搭配有多少种．两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和

梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子．所以不同的水果搭配共有4?6?10（种）．将这10种搭配作为10个“抽屉”．由抽屉原理知至少需11个小朋友才能保证有两个小朋友拿的水果是相同的

【例 22】 红、蓝两种颜色将一个2?5方格图中的小方格随意涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色．是

否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？

第第第第第四三五一二列列列列列第一行第二行

【解析】 用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形：

红红红蓝蓝红蓝蓝

将上面的四种情形看成四个“抽屉”，把五列方格看成五个“苹果”，根据抽屉原理，将五个苹果放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两个苹果，也就是至少有一种情形占据两列方格，即这两列的小方格中涂的颜色完全相同．

【例 23】 将每一个小方格涂上红色、黄色或蓝色．（每一列的三小格涂的颜色不相同），不论如何涂色，

其中至少有两列，它们的涂色方式相同，你同意吗？

【解析】 这道题是例题的拓展提高，通过列举我们发现给这些方格涂色，要使每列的颜色不同，最多有6种不同的涂法，

8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 11 of 23 第八章第二讲：抽屉原理

红蓝黄红黄蓝蓝红黄蓝黄红黄红蓝黄蓝红

涂到第六列以后，就会跟前面的重复．所以不论如何涂色，其中至少有两列它们的涂色方式相同．

【例 24】 从2、4、6、8、?、50这25个偶数中至少任意取出多少个数，才能保证有2个数的和是52？ 【解析】 构造抽屉：{2,50}，{4,48}，{6,46}，{8,44}，?，{24,28}，{26}，共13种搭配，即13个抽屉，

所以任意取出14个数，无论怎样取，有两个数必同在一个抽屉里，这两数和为52，所以应取出14个数．或者从小数入手考虑，2、4、6、?、26，当再取28时，与其中的一个去陪，总能找到一个数使这两个数之和为52．

【巩固】 证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20. 【解析】 将10个奇数分为五组(1、19)，(3、17)，(5、15)，(7、13)，(9、11)，任取6个必有两个奇数

在同一组中，这两个数的和为20.

【巩固】 从1，4，7，10，?，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41. 【解析】 构造和为41的抽屉：(1,40)，(4,37)，(7,34)，(10,31)，(13,28)，(16,25)，(19,22)，现在取8个

数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.

【巩固】 从1，2，3，?，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有两个数的

差为50。

【解析】 将100个数分成50组：{1,51}，{2,52}，{3,53}，?，{50,100}，将其看作50个抽屉，在选出的

51个数中，必有两个属于一组，这一组的差为50．这道题也同样可以从小数入手考虑．

【巩固】 请证明：在1，4，7，10，?，100中任选20个数，其中至少有不同的两组数其和都等于104. 【解析】 1，4，7，10，…，100共有34个数，将其分为(4，100)，(7，97)，…，(49，55)，(1)，(52)，

共有18个抽屉．从这18个抽屉里面任意抽取20个数，则至少有18个数取自前16个抽屉，所以至少有4个数取自某两个抽屉中，而属于同一“抽屉”的两个数，其和是104．

【巩固】 从1、2、3、4、?、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两

个数，它们的差是12．

【解析】 在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，

｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）．

【巩固】 （小学数学奥林匹克决赛）从1，2，3，4，?，1988，1989这些自然数中，最多可以取____个

数，其中每两个数的差不等于4．

【解析】 将1～1989排成四个数列：

1，5，9，…，1985，1989 2，6，10，…，1986 3，7，11，…，1987 4，8，12，…，1988

每个数列相邻两项的差是4，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于4，每个数列中不能取相邻的项．因此，第一个数列只能取出一半，因为有(1989?1)?4?1?498项，所以最多取出249项，例如1，9，17，…，1985．同样，后三个数列每个最多可取249项．因而最多取出249?4?996个数，其中每两个的差不等于4．

【巩固】 从2、4、6、?、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．

8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 12 of 23 第八章第二讲：抽屉原理

【解析】 我们用题目中的15个偶数制造8个抽屉，(2),(4,30)，(6,28)，…，(16,18),凡是抽屉中的有两

个数，都具有一个共同的特点：这两个数的和是34．

现从题目中的15个偶数中任取9个数，由抽屉原理（因为抽屉只有8个），必有两个数在同一

个抽屉中.由制造的抽屉的特点，这两个数的和是34．

【例 25】 （北京市第十一届“迎春杯”刊赛）从1，2，3，4，?，1994这些自然数中，最多可以取 个

数，能使这些数中任意两个数的差都不等于9．

【解析】 方法一：把1994个数一次每18个分成一组，最后14个数也成一组，共分成111组．即

1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17，18；

19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30，31，32，33，34，35，36；

…………………

1963，1964，…，1979，1980；1981，1982，…，1994．每一组中取前9个数，

共取出9?111?999（个）数，这些数中任两个的差都不等于9．因此，最多可以取999个数．

方法二：构造公差为9的9个数列（除以9的余数） ?1,10,19,28,?,1990?，共计222个数

?2,11,20,29,?,1991?，共计222个数 ?3,12,21,30,?,1992?，共计222个数 ?4,13,22,31,?,1993?，共计222个数 ?5,14,23,32,?,1994?，共计222个数 ?6,15,24,33,?,1986?，共计221个数 ?7,16,25,34,?,1987?，共计221个数 ?8,17,26,35,?,1988?，共计221个数 ?9,18,27,36,?,1989?，共计221个数

每个数列相邻两项的差是9，因此，要使取出的数中，每两个的差不等于9，每个数列中不能取相邻的项．因此，前五个数列只能取出一半，后四个数列最多能取出一半多一个数，所以最多取111?9?999个数

【巩固】 (南京市首届“兴趣杯”少年数学邀请赛)从1至36个数中，最多可以取出___个数，使得这些

数种没有两数的差是5的倍数．

【解析】 构造公差为5的数列，如图，有五条链，看成5个抽屉，每条链上取1个数，最多取5个数．

1－6－11－16－21－26－31－36 2－7－12－17－22－27－32 3－8－13－18－23－28－33 4－9－14－19－24－29－34 5－10－15－20－25－30－35

【例 26】 （2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛决赛）从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、

11和12中至多选出 个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍．

【解析】 把这12个数分成6个组：

第1组：1，2，4，8 第2组：3，6，12 第3组：5，10 第4组：7 第5组：9 第6组：11

每组中相邻两数都是2倍关系，不同组中没有2倍关系．

选没有2倍关系的数，第1组最多2个（1，4或2，8或1，8），第2组最多2个（3，12），第3组只有1个，第4，5，6组都可以取，一共2?2?1?1?1?1?8个．

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如果任意取9个数，因为第3，4，5，6组一共5个数中，最多能取4个数，剩下9?4?5个数在2个组中，根据抽屉原理，至少有3个数是同一组的，必有2个数是同组相邻的数，是2倍关系．

【巩固】 从1到20这20个数中，任取11个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数． 【解析】 把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，

(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．

【例 27】 从1，3，5，7，?，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一

个数的倍数?

【解析】 方法一：因为均是奇数，所以如果存在倍数关系，那么也一定是3、5、7等奇数倍.3×33：99，

于是从35开始，1～99的奇数中没有一个是35～99的奇数倍(不包括1倍)，所以选出35，37，39，…，99这些奇数即可．共可选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．

方法二：利用3的若干次幂与质数的乘积对这50个奇数分组．(1，3，9，27，81)，(5，15，45)，(7，21，63)，(11，33)，(13，39)，(17，51)，(19，57)，(23，69)，(25，75)，(29，87)，(31，93)，(35)，(37)，(41)，(43)，…，(97)共33组．前11组，每组内任意两个数都存在倍数关系，所以每组内最多只能选择一个数．即最多可以选出33个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数．

评注：1～2n个自然数中，任意取出n+1个数，则其中必定有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从2，3．……，2n+1中任取n+2个数，必有两个数，它们一个是另一个的整数倍；从1，2，3．……3n中任取2n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是3倍；从1，2，3，……， mn中任取(m-1)n+1个数，则其中必有两个数，它们中一个是另一个的整数倍，且至少是m倍(m、n为正整数).

【例 28】 从整数1、2、3、?、199、200中任选101个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，

其中的一个是另一个的倍数.

【解析】 把这200个数分类如下：

(1)1，1?2，1?22，1?23，…，1?27，

(2)3，3?2，3?22，3?23，…，3?26， (3)5，5?2，5?22，5?23，…，5?25，

…

(50)99，99?2， (51)101， (52)103， … (100)199，

以上共分为100类，即100个抽屉，显然在同一类中的数若不少于两个，那么这类中的任意两个数都有倍数关系.从中任取101个数，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数.

【例 29】 从1，2，3，??49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，

则最多能取出多少个数？

【解析】 将1至50这50个数，按除以7的余数分为7类：[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，所含的数

的个数分别为7，8，7，7，7，7，7.被7除余1与余6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一； 两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个． 所以最

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多可以取出8?7?7?1?23个

【例 30】 从1，2，3，?，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有

两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．

【解析】 (1)我们将1～100分成(1，2)，(3，4)，(5，6)，(7，8)，…，(99，100)这50组，每组内的

数相邻．而相邻的两个自然数互质．将这50组数作为50个抽屉，同一个抽屉内的两个数互质．而现在51个数，放进50个抽屉，则必定有两个数在同一抽屉，于是这两个数互质．问题得证． (2)我们将1—100分成(1，51)，(2，52)，(3，53)，…，(40，90)，…(50，100)这50组，每组内的数相差50．将这50组数视为抽屉，则现在有51个数放进50个抽屉内，则必定有2个数在同一抽屉，那么这两个数的差为50．问题得证．

(3)我们将1—100按2的倍数、3的奇数倍、既不是2又不是3的倍数的情况分组，有(2，4，6，8，…，98，100)，(3，9，15，21，27，…，93，99)，(5，7，11，13，17，19，23，…，95，97)这三组．第一、二、三组分别有50、17、33个元素．

最不利的情况下，51个数中有33个元素在第三组，那么剩下的18个数分到第一、二两组内，那么至少有9个数在同一组．所以这9个数的最大公约数为2或3或它们的倍数，显然大于1．问题得证

【例 31】 有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同．现在请你挑选若干个小孩，排

成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子?

【解析】 将1至49中相乘小于100的两个数，按被乘数分成9组，如下：

(1×2)、(1×3)、(1×4)、…、(1×49)； (2×3)、(2×4)、(2×5)、…、(2×49)； ? ? ? ? ? ? ?

(8×9)、(8×10)、(8 ×11)、(8×12)； (9×10)、(9×11).

因为每个数只能与左右两个数相乘，也就是每个数作为被乘数或乘数最多两次，所以每一组中最多会有两对数出现在圆圈中，最多可以取出18个数对，共18 ×2=36次，但是每个数都出现两次，故出现了18个数．

例如：(10×9)、(9×11)、(1×8)、(8×12)、(12×7)、(7×13)、(13×6)、(6×14)、(14×5)、(5×15)、(15×4)、(4 ×16)、(16 X 3)、(3×17)、(17×2)、(2×18)、(18 ×1)、(1×10)．共出现l～18号，共18个孩子．

若随意选取出19个孩子，那么共有19个号码，由于每个号码数要与旁边两数分别相乘，则会形成19个相乘的数对．

那么在9组中取出19个数时，有19=9×2+1，由抽屉原则知，必有三个数对落入同一组中，这样某个数字会在数对中出现三次(或三次以上)，由分析知，这是不允许的．故最多挑出18个孩子．

【例 32】 要把61个乒乓球分装在若干个乒乓球盒中，每个盒子最多可以装5个乒乓球，问：至少有多少个盒子中的乒乓球数目相同？

【解析】 每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5

种各不相同的个数，共有：1?2?3?4?5??15，61?15?4?1，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．

【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的

本数相同？

【解析】 每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、

8、9、10、11这11种各不相同的本数，共有：1+2+3+?+11=66本，400?66?6?4，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本数+的各6人，还剩4本书，要使每个人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本书相同． 8-2.抽屉原理.题库 教师版 page 15 of 23

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