高考数学与阿基米德三角形（与圆锥曲线结合）

高考数学与阿基米德三角形

一、主要概念及性质

1、定义：圆锥曲线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形。它的一些基本性质有： 2、主要性质：

性质1 阿基米德三角形底边上的中线平行于抛物线上的轴。

证明：设A(x1,y1),B(x2,y2)，M为弦AB中点，则过A的切线方程为y1y?p(x?x1)，过B的切线方程为：y2y?p(x?x2)，联立方程组得：

?y1y?p(x?x1)?yy?p(x?x)2?2 ?2?y1?2px1?y2?2px?22解得两切线交点Q??y1y2y1?y2?,?，进而可知QM?x轴。 2p2??性质2：若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内定点C，则另一顶点Q的轨迹为一条直线。

证明：设Q(x,y)，由性质1，x?y1y2y?y2,y?1，所以有 y1y2?2px。由 2p2A,B,C三点共线知

y1?y0y1?y2?

y12y22y12??x02p2p2p即 y12?y1y2?y1x0?y2x0?y12?2py0 将 y?y1?y2,y1y2?2px 代入得 y0y?p(x?x0) 2即为Q点的轨迹方程。

性质3：抛物线以C点为中点的弦平行于Q点的轨迹。

性质4：若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。 证明：设l方程为ax?by?c?0，且A(x1,y1),B(x2,y2)，弦AB过点C(x0,y0)，由性质2可知

Q点的轨迹方程为y0y?p(x?x0)，该方程与ax?by?c?0表示同一条直线，对照可得

1

x0?cbp?cbp?,y0??，即弦AB过定点C?,??。 aaa??aa3性质5：底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为。

8p证明：AB?a，设Q到AB的距离为d，由性质1知

x1?x2y1y2y12?y222y1y2(y1?y2)2 d?QM?????22p4p4p4p设直线AB的方程为 x?my?n，则a?22(1?m2)(y2?y1)2，

a21a3所以(y1?y2)?a?d?。 ?s?ad?4p28p性质6：若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点Q的轨迹为准线，且阿基米德三角形的面积的最小值为p2。

证明：由性质2，若底边过焦点，则x0?pp,y0?0，Q点的轨迹方程是x??，即为准线；易22验证kQA?kQB??1，即QA?QB，故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点。所以

x1?x2py12?y22p2y1y2pQM???????p

224p24p2而S?QAB?1QM(y1?y2)?QM?2y1y2?p2

性质7 ：在阿基米德三角形中，?QFA??QFB。

证明：如图，作AA??准线，BB??准线，连接AQ?,QB?,QF,AF,BF，则kFA???显然KFA??kQA??1，所以 FA??QA，又因为 AA??AF，由三角形全等可得

y1， p?QAA???QAF，所以?QAA???QAF?QA??QF,?QA?A??QFA

同理可得 QB??QF,?QB?B??QFB?QA??QB???QA?B???QB?A? 所以 ?QA?A??QA?B??90??QB?A??90??QB?B??QFA??QFB 性质8：AF?BF?QF

200 2

p??p?pp2?证明：AF?BF??x1????x2???x1x2?(x1?x2)?

2224?????y1y2?y12?y22p2??? ??44?2p??y1y2p??y1?y2??y1y2?y12?y22p2??????AF?BF 而 QF???????2p22p2p44??????22222性质9 QM的中点P在抛物线上，且P点处的切线与AB平行。

证明：由性质1知Q??y1y2y1?y2??x1?x2y1?y2?,,M,???，可得P点坐标为 2p2p22?????(y1?y2)2y1?y2?,??，此点显然在抛物线上；过P点的切线斜率为

2??8pp2p??kAB，结论得证。

y1?y2y1?y22二、例题解析

1．（2008年江西卷理科第21题）21．（本小题满分12分）

22设点P(x0,y0)在直线x?m(y??m,0?m?1)上，过点P作双曲线x?y?1的两条切线

PA、PB，切点为A、B，定点M(（1）求证：三点A、M、B共线。

1,0). m（2）过点A作直线x?y?0的垂线，垂足为N，试求?AMN的重心G所在曲线方程.

3

2．（2008年山东卷理科第22题）

如图，设抛物线方程为x2?2py(p?0)，M为直线y??2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．

（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

?2p)时，AB?410．求此时抛物线的方程； （Ⅱ）已知当M点的坐标为(2，（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2?2py(p?0)上，其中，

????????????点C满足OC?OA?OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存

在，请说明理由．

A O x y B ?2p M 4

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