统计学复习题 - 图文

1．利率变化是影响股票价格波动的一个基本因素。一位资深股票分析师估计：在未来一段事件内，利率不会上调，有可能保持不变，但利率下降的概率是70%；同时，在利率下降的情况下，股票价格上涨的概率是80%。请问该分析师是否看好该公司股票？

解：设A=利率下降，B=股价上涨。据题意有：

P(A)= 0.70，P(B|A)=80%；P(A)= 0.30，P(B|A)=30% 所以，根据这位分析师的判断，该公司股票价格上涨的概率为

P(B)= 0.70×0.80+0.30×0.30=0.65=65%，因此比较看好。

2．某企业决策人考虑是否采用一种新的生产管理流程。据对同行的调查得知，采用新生产管理流程后产品优质率达95%的占四成，优质率维持在原来水平(即80％)的占六成。该企业利用新的生产管理流程进行一次试验，所生产5件产品全部达到优质。问该企业决策者会倾向于如何决策?

解：这是一个计算后验概率的问题。设A=优质率达95%，A=优质率为80%， B=试验所生产的5件全部优质。

P(A)= 0.4， P(A)= 0.6，P(B|A)= 0.95，P(B|A)=0.8，所求概率为

55)? P(ABP(A)P(BA)P(A)P(BA?)0.30951??0.61 150.50612P(A)P(BA)决策者会倾向于采用新的生产管理流程。

3．某公司从甲、乙、丙三个企业采购了同一种产品，采购数量分别占总采购量的25％，30％和45％。这三个企业产品的次品率分别为4％，5％，3％。如果从这些产品中随机抽出一件，试问：

(1)抽出次品的概率是多少?

(2)若发现抽出的产品是次品，则该产品来自丙厂的概率是多少?

解：令A1,A2,A3分别代表从甲、乙、丙企业采购产品，B表示次品。由题意得： P(A P(A2)= 0.30，P(A3)=0.45；P(B|AP(B|A2)=0.05，P(B|A3)=0.03；1)= 0.25，1)=0.04，因此，所求概率分别为

(1) P(B)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)?P(A3)P(BA3) =0.25×0.04+0.30×0.05+0.45×0.03=0.038 5 (2) P(A3B)?

4．某人在每天上班途中要经过3个设有红绿灯的十字路口。设每个路口遇到红灯的事件是相互独立的，且红灯持续24秒而绿灯持续36秒。试求他途中遇到红灯的次数的概率分布。试求途中遇到红灯的次数的期望值和方差、标准差。

解：据题意，在每个路口遇到红灯的概率是p=24／(24+36)= 0．4。设途中遇到红灯的次数=X，因此，X～B(3，0．4)。其概率分布所示：

0.45?0.030.0315??0.3506

0.25?0.04?0.30?0.05?0.45?0.030.0385 1

xi P(X?xi) 0 0．216 1 0．432 2 0．288 3 0．064 E(X)=0×0.216+1×0.432+2×0.288+3×0.064=1.2

?2?(0?1.2)2?0.216?(1?1.2)2?0.432?(2?1.2)2?0.288?(3?1.2)2?0.064?0.72

??(0?1.22)?0.2?16?(121.?2)?0.72?0.8485?0.43?22(2?1.2?)0.?22.8086?4(31.2)

0

5．一位投资者欲将10万元用于一项短期投资，若该项投资的收益率X是一个随机变量，其概率分布如表所示： 收益率X(％) 概率P -1 0.05 0 0.1 1 0.2 2 0.3 3 0.2 4 0.15 试求这位投资者预期将获利多少?获利的标准差是多大?

参考答案：获利(收益)的期望值=0.195(万元)；标准差=0.135 9(万元) 解：E(X)=1×0.05+0×0.1+l ×.2+2×0.3+3×0.2+4×0.15=1.95％ 获得(收益)的期望值=10(万元)×1.95％=0.195(万元) 收益率的标准差=1.374％

获得(收益)的标准差=l0(万元)×1.374％=0.137 4(万元)

6．某商场某销售区域有6种商品。假如每1小时内每种商品需要12分钟时间的咨询服务，而且每种商品是否需要咨询服务是相互独立的。试求：

(1)在同一时刻需要咨询的商品种数的最可能值是多少？

(2)若该销售区域仅配有2名服务员，则因服务员不足而不能提供咨询服务的概率是多少？

解：设X=同一时刻需用咨询服务的商品种数，由题意有X～B(6，0.2)。

(1) X的最可能值为X0?[(n?1)p]?[7?0.2]?1X。=[(n+1)p]=[7×0.2]=l (2) P(X?2)?1?P(X?2)?1?

7．一家人寿保险公司某险种的投保人数有20000人。据测算被保险人一年中的死亡率为万分之五。保险费每人50元。若一年中死亡，则保险公司赔付保险金额50000元。试求未来一年该保险公司将在该保险中(这里不考虑保险公司的其他费用)：

(1)至少获利50万元的概率； (2)亏本的概率；

(3)计算陪付总金额的期望值和标准差。

解：设被保险人死亡数=X，X~B(20000, 0.0005)。 (1) 保费总收入=20000×50(元)=100(万元)

2

?Ck?02k60.2k0.86?k?1?0.9011?0.0989

要获利至少50万元，则赔付保险金额应该不超过50万元，等价于被保险人死亡数不超过10人(=50?5万元/人)，因此所求的获利至少50万元的概率为P(X?10)。由于X~B(20000, 0．0005)，利用Excel可算得： P(X?10)= 0．58604

(2) 当被保险人死亡数超过20人时，赔付保险金额就要大于保费收入，保险公司就要

亏本。因此，所求的亏本的概率为

P(X>20)=1-P(X?20)=1- 0.99842=0.00158 (3) 赔付保险总金额的期望值为

50000×E(X)=50000×20000×0.0005(元)=50(万元) 赔付保险金额的标准差为

50000×?(X)=50000×(20000×0.0005×0.9995)1/2=158074(元)

8．某企业生产的某种电池寿命近似服从正态分布，且均值为200小时，标准差为30小时。若规定寿命低于150小时为不合格品，试求该企业所生产电池的：

(1)合格率是多少?

(2)电池寿命在200小时左右多大范围内的概率不小于0.9？

解：(1)P(X<150)=P(Z<

150?200)=P(Z<-1.6667)= 0.04779

30合格率为1-0.04779=0.95221=95.221%。 (2)P{|X—200|

9．将大量的数值相加时，若要求这些数值只保留整数，通常须遵循四舍五入的原则。假设这种舍入所产生的误差相互独立且在(-0.5,0.5)上服从均匀分布。那么，将1000个数值相加，其误差总和的绝对值超过20的概率是多少?

参考答案：0.02846

解：设Xi=第i个数据的舍人误差(i=1，2，?，1 000)，由于Xi在(-0.5,0.5)上服从均匀

2?0.5?0.512[0.5?(?0.5)]?。由独立同分布的分布，所以E(Xi)=?==0，D(Xi)=?=

21212中心极限定理可知，总误差Y=∑Xi～N(1000×0，1000×1／12),即

Z?Y?0~ N(0,1)。因此，所求概率为

1000/12P(Y?20)?P{Y?01000/12?20?0}?1?P{Z?2.19089}

1000/12 =2[1—?(2．19089)]=2(1—0．89577)= 0．028 46=2．846％

3

10．从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路线可走，第一条路线路程较短但比较容易遇到交通阻塞，所需时间(单位：分钟)服从正态分布N(50，100)；第二条路线路程较长但道路较为通畅，所需时间服从正态分布N(60，16)。若有70分钟的时间可用，问应该选择哪一条路线更有把握及时赶到火车站?

解：设第一、二条线路所需时间分别为X和Y。

X～N(50，100)，则有Z=X?70～N(0，1) 100 P(X≤70)=P(Z≤2)=0.977 25 Y～N(60，16)，则有Z=Y?60～N(0，1) 16 P(y≤70=P(Z≤2．5)=0.993 79

1l. 一家调查公司进行一项调查，其目的是为了了解某市电信营业厅大客户对该电信的服务的满意情况。调查人员随机访问了30名去该电信营业厅办理业务的大客户，发现受访的大客户中有9名认为营业厅现在的服务质量比两年前好。试在95％的置信水平下对大客户中认为营业厅现在的服务质量比两年前好的比率进行区间估计。

解：这是一个求某一属性所占比率的区间估计的问题。已知n=30，za/2=1．96，根据

??抽样结果计算出的样本比率为p9=30％。 30??za/2总体比率置信区间的计算公式为p计算得：

?(1?p?)p n??za/2p??(1?p)p30%?(1?30%)=(13．60％，46．40％) ?30%?1.96?n3012．为了确定某大学学生配戴眼镜的比率，调查人员欲对该大学的学生进行抽样调查。

而根据以往的调查结果表明，该大学有75％的学生配戴眼镜。则对于边际误差E分别为5％，10％，15％时，显著性水平为95％，抽取的样本量各为多少较合适?

解：根据估计总体比率时样本容量的确定公式为

(za/2)2??(1??) n?

E2这里za/2?z0.05/2=1．96，?=0．75，则： (1)当边际误差E=0．05时，有：

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??73 n?22E0.05(2)当边际误差E=0．10时，有：

4

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??19 n?E20.12(3)当边际误差E：0．15时，有：

(za/2)2??(1??)1.962?0.05?(1?0.5)??9 n?22E0.15看来边际误差E=0.15时，误差已经相当大了，要求样本量很少就可以满足精度要求。

13．为调查某单位每个家庭每天观看电视的平均时间是多长，从该单位随机抽取了16户，得样本均值为6.75小时，样本标准差为2.25小时。

(1)试对家庭每天平均看电视时间进行区间估计。

(2)若已知该市每个家庭看电视置信水平为95 9／6，问此时需调查多少户才能满足要求?

解：(1)根据已知有：n=16，x=6．75，s=2．25，ta/2(15)=2．131。 由方差未知时，小样本的区间估计公式得： x?ta/2s2.25=6．75±2．131?=[5．55，7．95] n16即该单位平均每个家庭每天看电视的95%的置信区间为5.55小时到7.95小时。

(2)若已知总体标准差?=2.5，且要求区间估计的边际误差与上一题的相同，即取边际误差E=ta/2s2.25=2．131?=1．20。 n16(za/2)2?2估计总体均值时样本容量的确定公式为 n? 2E当?=0．05时，za/2=1．96，则：

(za/2)2?21.962?2.52n?==17 22E1.20也就是说，只需多增加一个样本就能满足精度要求。

14．据某市场调查公司对某市80名随机受访的购房者的调查得到了该市购房者中本地人购房比率P的区间估计，在置信水平为10％时，其边际误差E=0．08。则：

(1)这80名受访者样本中为本地购房者的比率是多少? (2)若显著性水平为95％，则要保持同样的精度进行区间估计，需要调查多少名购房者?

解：(1)由比率区间估计的公式 E?za/2??(1?p)p 得： n22E?n0.08?80? 则： ??p=0．75 p(1??p)=22z0.1/21.645 5

995 948 1014 931 1045 1010 1004

假定灯泡寿命服从正态分布，取显著性水平为?=0.05，试考虑分别用左侧检验和右侧检验来验证该厂声称“灯泡平均使用寿命在1000小时以上”这一说法是否成立。

解：先计算出样本均值和标准差，结果如下：

x? x?ni?14868=991.2(小时) 152 s??(x?x)in?1?21316.4?39.02(小时) 14若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量比较信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量是可以达到标准的，这时我们控制的错误是“本来该厂灯泡的质量达到了标准而检验认为该厂的灯泡质量没有达到标准”，这个出错概率被控制在小于?=0.05的水平下。此时假设形式为左侧假设：H0：??1000，H1：?<1000。

这里?未知，可以用样本方差s代替，所以检验统计量为

22t?x??0s/n?991.2?1000?8.8???0.873456

39.02/1510.075根据假设，这是个单侧检验问题，由?=0.05，查t分布表得t?(n?1)?t0.05(14)=1.7613。

由于t??0.873456??t???1.7613，所以接受原假设，即该厂的说法是成立的。 若根据以往经验，我们对该厂的灯泡质量不太信任，认为大部分情况下该厂的灯泡质量达不到标准，这时我们控制的错误是“本来该厂的灯泡质量并没有达到标准，而检验认为该厂的灯泡质量达到了标准水平”，我们把这个出错概率控制在小于?=0.05的水平下。此时假设形式为右侧假设：H0：??1000，H1：?>1000。

这里检验统计量与上面的情况是一样的，应为

t?x??0s/n?991.2?1000?8.8???0.873456 10.07539.02/15但这时拒绝域为t>t?=1.7613，显然t??0.873456??t???1.7613，所以接受原假设，即不能认为该厂的灯泡质量符合标准。

26．某洗涤剂厂有一台瓶装洗洁精的灌装机，在生产正常时，每瓶洗洁精的净重服从正态分布，均值为454克，标准差为12克。为检查近期机器是否正常，从中抽出16瓶，称得其净重的平均值为x=456.64克。

(1)试对机器正常与否作出判断。(取?=0.01，并假定?不变)

(2)若标准差未知，但测得16瓶洗洁精的样本标准差为s=12 g，试对机器是否正常作出判断。(取?=0.01)

11

2

解：(1)H0：??454，H1：??454。

在?=0．01时，z?/2?z0.005=2.58，从而拒绝域为|z|≥2.58。现由样本求得 z?456.6?4454=0.88

12/16由于|z|<2．58，故不能拒绝H。，即认为机器正常。

(2)当方差未知时，假设形式与上一问是相同的，只是检验统计量变为 t?x??0s/n?456.6?4454 ?0.8812/16在?=0.01时，t?/2(n?1)?t0.005(15)=2.946 7，拒绝域为|t|≥2.946 7。

由于|t |=0．88<2.946 7，故不能拒绝H。，即认为机器正常。

27．某厂产品的优质品率一直保持在40％，近期技监部门来厂抽查，共抽查了15件产品，其中优质品为5件，在?=0.05水平上能否认为其优质品率仍保持在40％?

解：H0：?=0.4，H1：?≠0.4 检验统计量为z?p?? ?(1??)n在?=0.05水平上，拒绝域为| z|>z?/2=1.96，由已知数据得检验统计量：

z?p??5/15?0.4???0.52705

?(1??)0.4(1?0.4)n15由于|z|=0．527

28．已知某种木材的横纹抗压力服从正态分布，该种木材的标准抗压力应不小于470 kg／cm。，现对某木材厂的10个试件作横纹抗压力试验，得数据如下：(kg／cm。)

482 493 457 471 510 446 435 418 394 469

(1)若已知该木材的横纹抗压力的标准差?=36，试检验该厂的木材是否达到标准。(?=0.05) (? (2)若该木材的横纹抗压力的标准差口未知，试检验该厂的木材是否达到标准。=0.05)

解：(1) H0：??470，H1：?<470

由于方差已知，且样本为小样本，检验统计量为z?

x??0?/n 12

拒绝域为z??z???z0.05??1.645 由已知计算得：z?x??0?/n?457.5?470??1.098

36/10由于z??1.098??z0.05，故接受原假设，即可认为该厂的木材达标。 (2) H0：??470，H1：?<470

此时方差未知，且样本为小样本，检验统计量为 t?x??0s/n 拒绝域为t<一ta(n?1)??t0.05(10?1)??1.122 由已知计算得：

t?x??0s/n?457.5?470??1.122

35.22/10由于t??1.122??t0.05(9)，故接受原假设，即可认为该厂木材达标。

29．某家公司付给生产一线雇员的平均工资是每小时15美元。该公司正计划建造一座新厂，备选厂址有好几个地方。但是，能够获得每小时至少15美元的劳动力是选定厂址的主要因素。某个地方的40名工人的样本显示：最近每小时平均工资是x=14美元，样本标准差是s=2.4美元。问在?=0.01的显著性水平下，样本数据是否说明在这个地方的工人每小时的平均工资大大低于15美元?

解：H0：??15，H1：?<15 检验统计量为z?x??0?/n 拒绝域为 z??z???z0.01??2.33 由已知计算得：

z?x??0?/n?14?15??2.635

2.4/40由于z??2.635??z0.01，故拒绝原假设，即可认为该地的平均工资确实大大低于15美元。

30．一条自动装配线预定的平均操作完成时间是2.2分钟。由于完成时间对装配操作前后都会产生影响，所以将完成时间控制在2.2分钟是很重要的。45次装配的随机样本显示：样本的平均完成时间是2.39分钟，样本的标准差是0.2分钟。采用?=0.02的显著性水平，

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检验平均操作完成时间是否为2.2分钟。

解：H0：?=2.2，H1：?≠2.2 检验统计量为z?x??0s/n 在显著性水平?=0.02下，拒绝域为 |z|>z?/2=z0.01 =2．33 由已知计算得：

z?x??0s/n?2.2?2.39??6.373

0.2/45由于|z|=6.373>z0.01故拒绝原假设，即可认为该自动装配线的平均操作时间不为2.2分钟。

31．1995年2月，某个航线往返机票的平均折扣费是258美元。随机抽取了在3月份中15个往返机票的折扣作为一个简单随机样本，结果得到下面的数据：

310 260 265 255 300 310 230 250 265 280 290 240 285 250 260

以显著性水平?=0.05检验3月份往返机票的折扣费是否有所增加。你的结论是多少?

解：H0：?≤258，H1：?>258 检验统计量为t?x??0s/n 拒绝域为t>ta(n?1)?t0.05(15?1)=1．761 根据已知数据计算得：

样本均值x=270，样本标准差为s=24．785

t?x??0s/n?270?258=1．875

24.785/15由于t=1．875≥t0.05(15?1)，故拒绝原假设，即可以认为机票折扣费有所增加。

32．某厂生产的钢丝的强度服从正态分布，这种钢丝的标准强度为1900千克。为检验该厂生产的钢丝强度是否达到标准，现从中随机抽取了20根，测得其强度的平均值为x=1800千克，标准差s=120千克，试问应如何建立假设，检验结果如何?( ?=0.01)

解：H0：?≥1 900，H1：?<1 900 检验统计量为t?x??0s/n 14

拒绝域为t>?ta(n?1)??t0.05(20?1)=一1．729 根据已知计算检验统计量值： t?x??0s/n?1800?1900=一3．727

120/20由于t??3.727??t0.05(19)，故拒绝原假设，即可以认为该厂的钢丝不符合标准。

33．假定某商店中一种商品的日销售量服从正态分布，仃未知，根据已往经验，其销售量均值为x=60。该商店在某一周中进行了一次促销活动，其一周的日销量数据分别为：64，57，49，81，76，70，59。为测量促销是否有效，试对其进行假设检验，给出你的结论。(?=0.01)

解：H0：?≤60，H1：?>60 检验统计量为t?x??0s/n 拒绝域为t>ta(n?1)?t0.01(7?1)=3．143 根据样本数据计算检验统计量值为t?x??0s/n?65.143?60=1．21

11.246/7由于t=1．21

34．在某电视节目收视率一直保持在30％，即100人中有30人收看该电视节目，在最近的一次电视收视率调查中，调查了400人，其中有100人收看了该电视节目，可否认为该电视节目的收视率仍保持原有水平?( ?=0.01)

解：H0：?≥0.3，H1：?<0.3，??检验统计量为z?100=0.25 400???

?0(1??0)n拒绝域为 z??z???z0.01??2.33 根据已知计算检验统计量值为

z?0.25?0.3??2.182

0.3(0.7)400由于z??2.182??z0.01??2.33，故不拒绝原假设，即该节目的收视率仍保持原有水

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