复变函数作业

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第一次作业（第一章习题） 1．设z?1?3i2，求|z|及Arg z. 2．设z1?i1?,z?i，试用指数形式表 z1 z2及z122?3z.

2

3．解二项方程 z4?a4?0(a?0).

4．证明|z21?z2|?|z21?z2|?2(|z21|?|z2|2)，并说明其几何意义。

1

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9．试证：复平面上的三点a?bi,0,1共直线。

?a?bi

?xy14．命函数f(z)???x2?y2,若 z?0,试证：??0,若 z=0.

15．试证：函数f(z)?z在z平面上处处连续。

f(z)在原点不连续。2

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第二次作业（第二章习题）

2．洛必达(L’Hospital)法则 若f(z)及g(z)在点z0解析，且

f(z0)?g(z0)?0,g'(z0)?0.

则（试证） limf(z)f'(z0)z?zg(z)?g'(z . 00)

?x3?y3?i(x3?y)33．设 f(z)???x2?y2,z?0, ??0,z?0,试证f (z) 在原点满足C. –R. 方程，但却不可微.

4．试证下列函数在z平面上任何点都不解析： （1）|z|； （2）x?y；

3

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5．试判断下列函数的可微性和解析性：

（1）f(z)?xy2?ix2y； （2）f(z)?x2?iy2；

8．试证下列函数在z 平面上解析，并分别求出其导函数。 （1）f(z)?x3?3x2yi?3xy2?y3i)；

（2）f(z)?ex(xcosy?ysiny)?iex(ycosy?xsiny)；

20．试解方程：

（1）ez?1?3i； （2）lnz??i2；

（3）1?ez?0；

4

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22．设w?3z确定在从原点z?0起沿正实轴割破了的z平面上，并且w(i)??i，试求w(?i)之值。

23．设w?3z确定在从原点z?0起沿负实轴割破了的z平面上，w(?2)??32（这是边界上岸点对应的函数值），试求w(i)之值。

并且

5

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第三次作业（第三章习题）

1．计算积分?(x?y?ix2)dz，积分路径C是连接由0到1+ i 的直线段。

c

2．计算积分?|z|dz，积分路径是（1）直线段；（2）上半单位圆周；（3）下半

?11单位圆周。

3．利用积分估值，证明 （1） （2）

5．计算：（1）?

6

?2?i?2?c(x2?iy2)dz?2，其中C是连接-i到i的直线段；

?c(x2?iy2)dz??，其中C是连接-i到i的右半圆周。

(z?2)2dz； （2）???2i0zcosdz。

2复变函数作业 班级 姓名 学号

9．计算（C:|z|?2）

（1）?2z2?z?12z2?z?1cz?1dz； （2）?c(z?1)2dz.

10．计算积分： ?sin?4zc21dz，（j＝1，2，3）

jz?（1）C11:|z?1|?2； （2）C12:|z?1|?2；

（3）C3:|z|?2.

11．求积分 ?ezco?sczdz(C:|?z|，从而证明1)

??0ecos(s?ind??)?.

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15．设函数f(z)在z平面上解析，且|f(z)|恒大于一个正的常数，试证f(z)必为常数.

16．分别由下列条件求解析函数f(z)?u?iv. （1）u?x2?xy?y2， f(i)??1?i；

（2）u?ex(xcosy?ysiny), f(0)?；0

17．设函数f(z)在区域D内解析，试证：???2?2?2??y2??|f(z)|2?4|f?(z)|2??x.

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第四次作业（第四章习题） 2．试确定下列幂级数的收敛半径：

??1）?zn； （2）?nzn?（n； （3）?nnzn.

n?1nn?12n?1

5．将下列函数展成z的幂级数，并指出展式成立的范围： （1）1az?b（a, b为复数，且b?0）；

（2）?zez20dz；

（3）?zsinz0zdz；

6．写出ezln(1?z)的幂级数展式至含z5项为止，其中ln(1?z)z?0?0.

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7．将下列函数按z?1的幂展开，并指明其收敛范围： （1）sinz； （2）

1(n?1,2,?)处取下列各组值的函数是否存在： n111（1）0，1，0，1，0，1，… （2）0，，0，，0，，…

246z?1； z?111．在原点解析，而在z? （3）

12．设（1）f(z)在区域D内解析；（2）在某一点z0?D有 f(n)(z0)?0,n?1,2,?

试证f(z)在D内必为常数.

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11111112345，，，，，，… （4），，，，，… 22446623456

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第五次作业（第五章习题）

1．将下列各函数在指定圆环内展为洛朗级数。 （1）z?1z2(z?1),0?|z|?1;1?|z|???.

（2）z2?2z?5(z?2)(z2?1)，1?|z|?2.

2．将下列各函数在指定点的去心邻域内展成洛朗级数，并指出其收敛范围。（2）z2ez1,z?0及 z??.

（3）e1?1z,z?1及z??.

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???1??3．试证 sin?t?z????c0??cn(zn?z?n)，0?|z|???，其中t为z无关的实

z??n?1??参数。

cn?12??2?0（n=1，2，…） sin(2tcos?)cosn?d?，

4．求出下列函数的奇点，并确定它们的类别（对于极点，要指出它们的阶），对于无穷远点也要加以讨论。 （1）

11?ez（3）. （4）. 23z(z?i)1?ez?11. （2）.

z(z2?4)2sinz?cosz

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5．下列函数在指定点的去心邻域内能否展为洛朗级数。

（1）cos1z,z?0； （2）cos1z,z??；

（3）

1,z?0； （4）cotz,z??.

sin1z

8．判定下列函数的奇点及其类别（包括无穷远点）. （1）11ez?1?z. （3）sin112?z2.

（4）ezcos1z.

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第六次作业（第六章习题）

1．求下列函数f(z) 在指定点的留数。 （1）

11?e2z（3）4在z?0,?. （4）ez?1在z?1,?.

zz1 在 . （2）在z?n?(n?0,?1,?). z??1,?(z?1)(z?1)2sinz

z2nez（5）在z?1,?. （6）2在z??1,?. n(z?1)z?1

2．求下列函数f(z)在其孤立奇点（包括无穷远点）处的留数（m是正整数）。

1（1）zmsin.

z

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1m（3）(a??).

(z?a)(z??)

ez（4）z2(z??i)4.

3．计算下列各积分：

（1）?dz|z|?1zsinz；

12?i?ezi2）|z|?21?z2dz；15

（

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（3）?dzc(z?1)2(z2?1),C:x2?y2?2(x?y)；

4．求下列各积分之值： （1）?2?d?0a?cos?(a?1)；

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5．求下列各积分： （1）???x20(x2?1)(x2?4)dx； （2）???x2??(x2?a2)2dx(a?0)；

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（3）???cosx??(x2?1)(x2?9)dx； （4）???xsinmxx4?a4dx??m?0????a?0??.

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