双导体运动切割磁感线习题

双杆切割磁感线练习

1.如图所示，金属杆ab、cd可以在光滑导轨PQ和RS上滑动，匀强磁场方向垂直纸面向里.当ab、cd分别以速度v1和v2滑动时，发现回路感生电流方向为逆时针方向，则v1和v2的大小、方向可能是

A.v1＞v2，v1向右，v2向左 B.v1＞v2，v1和v2都向左 C.v1=v2，v1和v2都向右 D.v1=v2，v1和v2都向左

解析：因回路abcd中产生逆时针方向的感生电流，由题意知回路abcd的面积应增大.选项A、C、D错误，B正确.

2.如图所示，光滑平行导轨仅水平部分处于竖直向上的匀强磁场中，一根质量为2m的金属杆cd静止在水平轨道上，另一根质量为m的金属杆ab从斜轨道上高为h处由静止开始下滑，运动中两根杆始终与轨道垂直且接触良好，两杆之间未发生碰撞.若导电轨道有足够的长度，在两根金属杆与导电轨道组成的回路中所产生的热量是_________.

解析：当ab进入水平轨道时速度为v0，则v0=2gh；最后ab和cd

的速度相同，此时不再产生感应电流.由动量守恒定律可知此时共同的速度为：

2111mv0=mv′+2mv′，得v′=v0.故由能量守恒得mgh=mv′2+（2m）v′2+Q，则Q=mgh.

22333．如图所示，金属棒a跨接在两金属轨道间，从高h处由静止开始沿光滑弧形平行金属轨道下滑，进入轨道的光滑水平部分之后，在自下向上的匀强磁场中运动，磁场的磁感应强度为B。在轨道的水平部分另有一个跨接在两轨道间的金属棒b，在a棒从高处滑下前b棒处于静止状态。已知两棒质量之比ma/mb=3/4,电阻之比为Ra/Rb=1/2,求：

（1）a棒进入磁场后做什么运动？b棒做什么运动？ （2）a棒刚进入磁场时，a、b两棒加速度之比.？

（3）如果两棒始终没有相碰，a和b的最大速度各多大？

解：(1)进入磁场后，棒a切割磁感线，回路中产生感应电流，使棒受到向左的安培力，从而使棒速度减小，感应电动势减小，电流减小，加速度减小，所以棒a做加速度减小的减速运动，棒b在向右的安培力作用下做加速运动，且加速度也是减小的，当Va=Vb时，回路中无感应电流，两棒的速度达到最大。

（2）棒a进入磁场后，感应电流Ia=Ib,La=Lb,因此棒a、b所受的安培力大小相等，

aam4??a?? 所以“-”表示棒a、b的加速度方向 abmb3（3）棒a刚进入磁场时，速度最大，由机械能守恒可得：mgh?12mvm ① 2棒a、b受到的安培力等值反向，系统所受的合外力为0，系统动量守恒，

mavb?0?(ma?mb)v' ②

得到 v?'32gh 74．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图5所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度υ0（见图）。若两导体棒在运动中始终不接触，

求：（1）在运动中产生的焦耳热量是多少。（2）当ab棒的速度变为初速度的

3时，cd棒的加速度是多少？ 4解：（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒有mυ1＝2 mυ

根据能量守恒，整个过程中产生的总热量 Q＝（2）设ab棒的速度变为初速度的mυ0＝mBl I＝

11122－（2m）υ2＝m?0 m?02243时，cd棒的速度为??，则由动量守恒可知 43υ0＋m?? 此时回路中的感应电动势和感应电流分别为?＝（zυ0－??）4? 2Rm此时cd棒所受的安培力 F＝Ibl ca棒的加速度 a＝F 由以上各式，可得

22a＝Bl?0

4mR

如图所示，L1、L2、L3、L4 是四根足够长的相同的光滑导体棒，它们彼此接触，正好构成一个正方形闭合电路，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直于纸面向外，现设法使四根导体棒分别按图示方向以相同大小的加速度a'同时从静止开始做匀速平动．若从开始运动时计时且开始计时时abcd回路边长为\\i l，求开始运动后经时间t回路的总感应电动势．

经时间 t 后，4根导体棒又构成边长为l ' = l +a' t2的正方形闭合电路，每根导体棒产生的感应电动势为e1=B l ' vt，式中vt =a' t．题中所求的总电动势 e总=4e1=4B(l+a' t2)a' t．

两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平面内，

另一边垂直于水平面。质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为2R0。整个装置处于磁感应强度大小为B，方向竖直向上的匀强磁场中。当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度v1沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度v2向下匀速运动。重力加速度为g。以下说法正确的是

a c d L B F b L B2L2v1A.ab杆所受拉力F的大小为?mg? B.cd杆所受摩擦力为零

2RC.回路中的电流强度为

9.图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度

F 为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。导轨的a1b1a1 段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1x1 与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，

b 它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为c1 1R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，

x 已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率P的大小和回路电阻上的热功2d1 率P′。

2RmgBL?v1?v2? D.μ与v1大小的关系为??22

2RBLv1a2 y1 b2 c2 y2

d2

P = [F – (m1 + m2)g]R (m1 + m2)g /[B2(l2 - l1)2]； P′= [F – (m1 + m2)g]2R/[B (l2 - l1)]2 （回路总电流大小为B (l2 - l1) v/R，安培力合力向下，大小为B2 (l2 - l1)2 v/R，系统匀速上升，F =(m1 + m2)g+B2(l2 - l1)2v/R由此得v=[F – (m1 + m2)g]R/[B2(l2 - l1)2]，电流I=[F – (m1 + m2)g]/[B(l2 - l1)]，重力功率P=(m1+m2)v和热功率P′=I2R均可求。）10.⑴4m/s2（由牛顿第二定律得）⑵10m/s

222B2L2vB2L2vBLv（稳定时合力为零：??mgcos??mgsin?，得?0.8，由已知?8因

RRR此得v）⑶0.4T，垂直于导轨平面向上

15、如图所示，间距l=0.3 m 的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内。在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ=37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1=0.4 T、方向竖直向上和B2=1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场。电阻R=0.3 Ω、质量m1=0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S 、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好。一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2=0.05 kg的小环。已知小环以a=6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动。不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长取g=10 m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8。求: (1)小环所受摩擦力的大小； (2)Q杆所受拉力的瞬时功率。

如图所示，两条“?”型足够长的光滑金属导轨PME和QNF平行放置，两导轨间距L?1m，导轨两侧均与水平面夹角??37°，导体棒甲、乙分别放于MN两边导轨上，且与导轨垂直并接触良好．两导体棒的质量均为m?0.1kg，电阻也均为R?1?，导轨电阻不计，MN两边分别存在垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B?1T．设导体棒甲、乙只在MN两边各自的导轨上运动，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s2． （1）将乙导体棒固定，甲导体棒由静止释放，问甲导体棒的最大速度为多少? （2）若甲、乙两导体棒同时由静止释放，问两导体棒的最大速度为多少?

（3）若仅把乙导体棒的质量改为m'?0.05kg，电阻不变，在乙导体棒由静止释放的同时，让甲导体棒以初速度v0?0.8m/s沿导轨向下运动，问在时间t?1s内

电路中产生的电能为多少?

8.如图所示，在两平行光滑导体杆上垂直放置两根导线ab、cd，其电阻分别为R1和R2，且R1F2，Uab>Ucd (B)F1＝F2，Uab：Ucd (C)F1

18.如图所示，两平行长直导线相距1m，匀强磁场磁感强度B＝0.2T，导线间接一个1Ω的电阻R，两根电阻均为1Ω的金属棒AB、CD在导线上以相同的速度v＝3m/s向右匀速运动，通过AB的电流为________A，作用在CD棒上外力的功率为______W(导线电阻及摩擦均不计)。 答案:0.2，0.12

19.如图所示，MN、PO为水平面上足够长的平行光滑的导电滑轨，垂直于滑轨平行地放有两根金属滑杆ab和cd，两滑杆质量相同，电阻也相同，导轨电阻不计。匀强磁场的方向垂直轨道平面向上。开始时，ab、cd两滑杆处于静止状态，则( ) 。[3] (A)若使ab杆向右以速度v作匀速运动，则cd杆也将向右运动但速度总小于v

(B)若向右打击一下ab杆，则最终两杆以相同的速度向右匀速运动

(C)若对ab杆施一水平向右的恒力，则最终两杆以相同的速度向右匀速运动

(D)若对ab杆施一水平向右的恒力，则最终两杆以相同的加速度向右运动，但ab杆的速度总大于cd杆的速度 答案:B、D

26.如图所示，金属棒a从h高处自静止沿光滑的弧形平行轨道下滑，进入光滑轨道的水平部分后，在方向竖直向下的匀强磁场B中运动，在轨道的水平部分原来静止地放着一根金属棒b，已知两棒质量ma＝mb。(1)画出棒a刚进入磁场的瞬间，各棒的受力情况，并求出两棒的加速度大小之比。(2)如果棒a始终没有跟棒b相碰，求棒a、b的最终速度及整个过程中导轨及两棒组成的回路中消耗的电能。 答案:(1)1：1(2)va?vb?

[例2] 图中MN、GH为平行导轨，AB、CD为跨在导轨上的两根横杆，导轨和横杆均为导体。有匀强磁场垂直于导轨所在的平面，方向如图，用I表示回路的电流。

A. 当AB不动而CD向右滑动时，且沿顺时针方向 B. 当AB向左、CD向右滑动且速度大小相等时，I =0 C. 当AB、CD都向右滑动且速度大小相等时，I =0 D. 当AB、CD都向右滑动，且AB速度大于CD时，

解析：当AB不动而CD向右滑动时，

，但电流方向为逆时针，A错；当AB向左，

CD向右滑动时，两杆产生的感应电动势同向，故，B错；当AB和CD都向右滑动且

速度大小相等时，则两杆产生的感应电动势等值反向，故I =0，C正确；当AB和CD都向右滑动，且AB速度大于CD时，，但方向为顺时针，D错误。答案：C

21.如图所示,金属棒a从高为h处自静止起沿光滑的弧形导轨下滑,进入光滑导轨的水平部分,导轨的水平部分处于竖直向下的匀强磁场中.在水平部分原先静止有另一根金属棒b,两根棒的质量关系是m=2mb,.整个水平导轨足够长并处于广阔的匀强磁场中.(1)当金属棒刚进入磁场的瞬间,两棒的加速度大小之

比是多少?(2)假设金属棒a始终没跟金属棒b相碰,则两棒的最终速度各多大?(3)在上述整个过程中两根金属棒和导轨所组成的回路中消耗的电能是多少?

21.(1)aa：ab=1：2,(2)均为

且沿逆时针方向

112gh，magh 22222gh,(3)mbgh 33

8．如图5所示，相距为l，在足够长度的两条光滑平行导轨上，平行放置着质量和电阻均相同的两根滑杆ab和cd，导轨的电阻不计，磁感强度为B的匀强磁场的方向垂直于导轨平

面竖直向下，开始时，ab和cd都处于静止状态，现ab杆上作用一个水平方向的恒力F，下列说法中正确的是 [ ]

A．cd向左运动 B．cd向右运动

C．ab和cd均先做变加速运动，后作匀速运动 D．ab和cd均先做交加速运动，后作匀加速运动

8．B、D

19．图13各情况中，电阻R=0.lΩ，运动导线的长度都为l=0.05m，作匀速运动的速度都为v=10m／s．除电阻R外，其余各部分电阻均不计．匀强磁场的磁感强度B=0.3T．试计算各情况中通过每个电阻R的电流大小和方向．

19．a∶0 b∶3A从左向右 C∶1.5A，从上向下 d∶1A，从下向上

25．如图18所示，平行金属导轨的电阻不计，ab、cd的电阻均为R，长为l，另外的电阻阻值为R，整个装置放在磁感强度为B的匀强磁场中，当ab、cd以速率v向右运动时，通过R的电流强度为多少？

25．2BLv／3R

31．如图31所示，平行金属导轨的电阻不计，ab、cd的电阻均为R，长为l，另外的电阻阻值为R，整个装置放在磁感强度为B的匀强磁场中，当ab、cd以速率v向右运动时，通过R的电流强度为多少？

31．2BLv／3R

【例6】 图1装置中a、b是两根平行直导轨，MN和OP是垂直跨在a、b上并可左右滑动的两根平行直导线，每根长为L导轨上接入阻值分别为R和2R的两个电阻和一个板长为L'、间距为d的平行板电容器．整个装置放在磁感强度B垂直导轨平面的匀强磁场中．当用外力使MN以速率2v向右匀速滑动、OP以速率v向左匀速滑动时，两板间正好能平衡一个质量为m的带电微粒，试问

（1）微粒带何种电荷？电量是多少？

（2）外力的机械功率和电路中的电功率各是多少？

【分析】 两导线向左、右移动时，切割磁感线，产生感应电动势，相当两个顺向串联的电池，使得电容器两板分配到一定的电压，从而使其中的微粒悬浮。

【解答】 (1)MN右滑时，切割磁感线产生的感应电动势ε1=2Blv，方向由N指向M。

OP左滑时产生的感应电动势

ε2=Blv，方向由O指向P。

两者同时滑动时，MN和OP可以看成两个顺向串联的电源，电路中总的电动势。

ε=ε1+ε2=3Blv，方向沿NMOPN。

由全电路欧姆定律得电路中的电流强度

电容器两端的电压相当于把电阻R看作电源NM的内电阻时的路端电压，即

由于上板电势比下板高，故在两板间形成的匀强电场方向竖直向下，可见悬浮于两板间的微粒必带负电． 设微粒的电量为q，由平衡条件

（2）NM和OP两导线所受安培力均为

其方向都与它们的运动方向相反．匀速滑动时所加外力应满足条件

因此，外力做功的机械功率

电路中产生感应电流总的电功率

可见，P外=P电，这正是能的转化和守恒的必然结果。

【说明】 这是电场、电路、磁场、电磁感应和力学知识的综合题，要学会综合运用知识去了解分析问题和解决问题，通过练习提高综合运用知识的能力。

【例11】 如图1，平行光滑导轨MNPQ相距L，电阻可忽略，其水平部分置于磁感应强度为B的竖直向上的匀强磁场中，导线a和b质量均为m，a、b相距足够远，b放在水平导轨上，a从斜轨上高h处自由滑下，求回路中产生的最大焦耳热。

【分析】 导线a从斜轨上加速下滑，进入水平部分后，由于切割磁感线，回路中将产生感应电流，由左手定则得出a将作减速运动，b作加速运动，随着时间推移，a与b的速度也将减小，最终都将趋于匀速，而且此时回路中感应电流也应为零（否则a与b受力不平衡）a与b的速度关系应满足

对a、b导线在水平导轨上运动过程，由于a、b各自受到的安培力大小相等，方向相反，所以a与b系统动量守恒，即

mva=(m+m)v′ ③

所以回路中产生的最大聂耳热：

【说明】 本题除了应分析导线a与b都存在收尾速度外，还应知道最终它们收尾速度的关系，以及它们在运动过程中应满足的动量关系和能量关系。

【思考】 将上题中光滑导轨变成如图2形式，即在PQ后面增加一段

速度。

【分析与解】 利用上题结论不难得出a、b导线最终都将趋于匀速运动，此时回路中感应电流也应为零，根据回路中磁通量不变得

设导线a进入水平轨道后，a与b所受平均安培力分别Fa和Fb（导线a中电流与b中电流产生的磁场之间的相互作用可忽略），由F安=BIL得 Fa=2Fb ②

对a导线 -Fat=mva-mva ③ 对b导线 Fbt=mvb ④ 由①、②、③、④可解得

【小结】 本题与上题的区别不仅在于“收尾”时两导线速度不等，更在于在水平导轨上滑行过程中a与b系统动量不守恒，很多同学在寻找动量关系时感到难于下手或仍错误地认为动量守恒而无法得出正确结论。

16．如图所示，两根相距为L的竖直平行金属导轨位于匀强磁场 中，磁感应强度为B，导轨电阻不计，另两根与光滑轨道接触 的金属杆质量均为m，电阻均为R，若要使cd杆恰好平衡，且 静止不动，则ab杆应______（填“向上”或“向下”）匀速运 动，速度大小是_______，需对ab杆所加外力的大小为_______。 16．上；

20．两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L，导轨上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图24—14所示。两导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分电阻可不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。设两导体均可沿导轨无摩擦滑行。开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0。若两导体棒在运动过程中始终不接触，求：（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少？

2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？

图24—14

20．解：（1）经受力分析可知，ab棒受到与运动方向相反的安培力的作用，做减速运动，cd棒受到与运动方向相同的安培力的作用，做加速运动，当两棒速度相同时，所围的面积不变，回路中不再产生感应电流，两棒最终以相同的速度匀速。

从初始位置至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有mv0=2mv??① 根据能量守恒，整个过程中产生的总热量为Q=mv02/2—2mv2/2????② 联立①、②解得Q= mv02/4 （4分）

（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为v`，由动量守恒知

mv0=m·（3v0/4）+mv`??③ 此时回路中的感应电动势为E=（3v0/4 —v`）BL ④ 感应电流为I=E/2R??????⑤ 此时cd棒所受的安培力F=IBL??⑥ cd棒的加速度a=F/m????⑦ 联立③、④、⑤、⑥、⑦解得 a=B2L2v0/4mR。 （5分）

22．如图所示，两金属杆ab和cd长均为L，电阻均为R，质量分别为M和m.用两根质量、

电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平、光滑、不导电的圆棒两侧，两金属杆都处于水平位置.整个装置处于与回路平面相垂直的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度为B．若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动的速度.

2mgR；2mg； 22BLcd a

b

22．解：若ab棒以速度v向下匀速运动，cd棒也将以速度v向上匀速运动，两棒都垂直切

割磁场线产生感应电动势.在闭合电路中：

ab棒受到的磁场力方向向上，cd棒受到的磁场力方向向下，悬线对两棒的拉力都向上且为T.

则对 ab棒的平衡方程：Mg=BIL+T （2分） 对cd棒的平衡方程：mg+BIL=T （2分）

又I=

E2BLvBLv （4分） ??R总2RRB2L2v联立解得：Mg-mg=2BIL=2· （2分）

R所以运动的速度为： v=

(M?m)gR （4分）

2B2L2

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