广西省贵港市2021届新高考第四次大联考数学试卷含解析

广西省贵港市2021届新高考第四次大联考数学试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知双曲线22

221x y a b

-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）

A ．[2,)+∞

B ．(1,2),

C ．(2,)+∞

D ．(1,2] 【答案】A

【解析】

【分析】

若过点F 且倾斜角为3

π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．

【详解】 已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3

π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

b a ， ∴3b a ，离心率222

24a b e a +=， 2e ∴，

故选：A ．

【点睛】

本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

2．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>?=?

-≤?，若()3f a =，则()f a -=（ ） A ．2

B ．23

C ．23-

D ．89- 【答案】C

【解析】

【分析】

根据分段函数的解析式，知当0x ≤时，()131,x f x +=-且()3f x <，由于()3f a =，则()log 3a f a a a =+=，即可求出a .

【详解】

由题意知：

当0x ≤时，()131,x f x +=-且()3f x <

由于()3f a =，则可知：0a >，

则()log 3a f a a a =+=，

∴2a =，则2a -=-，

则()()122313f a f --=-=-=-. 即()23

f a -=-

. 故选：C.

【点睛】 本题考查分段函数的应用，由分段函数解析式求自变量.

3．甲乙两人有三个不同的学习小组A ， B ， C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）

A ．13

B ．14

C ．15

D ．16

【答案】A 【解析】依题意，基本事件的总数有339?=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为

3193=. 4．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解.

【详解】

由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合， 所以||2OP OP BA '-==,故排除C,D 选项；

当02x π<<

时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=，由图象可知选B. 故选：B

【点睛】

本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题. 5．下列函数中，既是偶函数又在区间0,上单调递增的是（ ） A ．y x =B ．()sin f x x x =

C ．()2f x x x =+

D ．1y x =+ 【答案】C

【解析】

【分析】

结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.

【详解】

A ：y x =

B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；

C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；

D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.

6．等差数列{}n a 中，1510a a +=，47a =，则数列{}n a 前6项和6S 为（）

A ．18

B ．24

C ．36

D ．72

【答案】C

【解析】

【分析】 由等差数列的性质可得35a =，根据等差数列的前n 项和公式163466622a a a a S ++=

?=?可得结果. 【详解】

∵等差数列{}n a 中，15

10a a +=，∴3210a =，即35a =， ∴163465766636222

a a a a S +++=?=?=?=， 故选C.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质以及等差数列的前n 项和公式的应用，属于基础题.

7．以()3,1A -，()2,2B

-为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---=

C ．22

80x y x y +++-=

D ．2290x y x y +++-= 【答案】A

【解析】

【分析】 设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.

【详解】

设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，

由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122

b -+==，

又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222

x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.

【点睛】

本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题. 8．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：

若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（）

A．324 B．522 C．535 D．578

【答案】D

【解析】

【分析】

因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号.

【详解】

从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:

436,535,577,348,522,535,578,324,577,，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为

436,535,577,348,522,578,324,，故第6个数据为578.选D.

【点睛】

本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键.

9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）

A．7

8

B．

15

8

C．

31

16

D．

15

16

【答案】D

【解析】

【分析】

由程序框图确定程序功能后可得出结论．【详解】

执行该程序可得12341111150222216

S =+

+++=． 故选：D ．

【点睛】 本题考查程序框图．解题可模拟程序运行，观察变量值的变化，然后可得结论，也可以由程序框图确定程序功能，然后求解．

10．若双曲线22

2:14x y C m

-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）

A ．2

B ．4

C

D ．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.

【详解】

因为双曲线22

2:14x y C m

-=的焦距为

故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；

又焦点()

F ，其中一条渐近线为2y x =-，

由点到直线的距离公式即可求的4d =

=.

故选：B.

【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.

11．1777年，法国科学家蒲丰在宴请客人时，在地上铺了一张白纸，上面画着一条条等距离的平行线，而他给每个客人发许多等质量的，长度等于相邻两平行线距离的一半的针，让他们随意投放.事后，蒲丰对针落地的位置进行统计，发现共投针2212枚，与直线相交的有704枚.根据这次统计数据，若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针，则针落地后与直线相交的概率约为（ ）

A ．12π

B ．3π

C ．2π

D ．1π

【答案】D

【解析】

【分析】

根据统计数据，求出频率，用以估计概率.

【详解】

70412212π

≈. 故选:D.

【点睛】

本题以数学文化为背景，考查利用频率估计概率，属于基础题.

12．设f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）

A ．0.30.43(log 0.3)(2)(2)f f f -->>

B ．0.40.33(log 0.3)(2)(2)f f f -->>

C ．0.30.43(2)(2)(log 0.3)f f f -->>

D ．0.40.33(2)(2)(log 0.3)f f f -->>

【答案】D

【解析】

【分析】

利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系.

【详解】

()f x 是偶函数，()33

31010log 0.3(log )(log )33f f f ∴=-=， 而0.30.4310log 12203

-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310(log )(2)(2)3

f f f --∴<<， 即0.30.43(lo

g 0.3)(2)(2)f f f --<<．

故选:D

【点睛】

本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知0a b >>，椭圆1C 的方程为22

221x y a b +=，双曲线2C 方程为22221x y a b

-=，1C 与2C 的离心率之

2C 的渐近线方程为________.

【答案】0x ±=

【解析】

【分析】

求出椭圆与双曲线的离心率，根据离心率之积的关系，然后推出,a b 关系，即可求解双曲线的渐近线方程.

【详解】

0a b >>，椭圆1C 的方程为22

221x y a b

+=，

1C 的离心率为：a

， 双曲线2C 方程为22

221x y a b

-=，

2C ，

1C 与2C 的离心率之积为2

，

2

a a =， 2

1,22b b a a ??∴== ???

，

2C 的渐近线方程为：y x =，即0x ±=.

故答案为：0x ±=

【点睛】

本题考查了椭圆、双曲线的几何性质，掌握椭圆、双曲线的离心率公式，属于基础题.

14．若22n

x ???的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中各项的系数和是________． 【答案】1

【解析】

【分析】

由题意得出展开式中共有11项，10n =；再令1x =求得展开式中各项的系数和．

【详解】

由22n

x ???的展开式中只有第六项的二项式系数最大， 所以展开式中共有11项，所以10n =；

令1x =，可求得展开式中各项的系数和是：

10121-=（）． 故答案为：1．

【点睛】

本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查二项式展开式各项系数和的求法，属于基础题.

15．已知F 为双曲线22

22:1x y C a b

-=(0,0)a b >>的右焦点，过F 作C 的渐近线的垂线FD ，D 为垂足，

且||||FD OF =

（O 为坐标原点），则C 的离心率为________. 【答案】2

【解析】

【分析】

求出焦点到渐近线的距离就可得到,,a b c 的等式，从而可求得离心率．

【详解】

由题意(c,0)F ，一条渐近线方程为b y x a =

，即0bx ay -=，

∴ FD b =

=，由||||FD OF =得b =， ∴222234b c c a ==-，224c a =，∴2c e a

==． 故答案为：2.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是求出焦点到渐近线的距离，从而得出一个关于,,a b c 的等式． 16．在等比数列{}n a 中，345564,8a a a a ==，则2a =________．

【答案】1

【解析】

【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ,再根据题意用基本量法求解公比,进而利用等比数列项之间的关系得4222412

a a q ===即可. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q .由34564a a a =,得()3464a =,解得44a =.又由58a =,得542a q a ==.则4222412

a a q ===. 故答案为：1

【点睛】

本题主要考查了等比数列基本量的求解方法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为315415x t y t ?=+????=+??

（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ

=

+，点P

的极坐标为4π???. （1）求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；

（2）设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求PM . 【答案】（1）2

212x y +=，()1,1（2）5541

PM = 【解析】

【分析】

（1）利用互化公式把曲线C 化成直角坐标方程，把点P 的极坐标化成直角坐标；

（2）把直线l 的参数方程的标准形式代入曲线C 的直角坐标方程，根据韦达定理以及参数t 的几何意义可得．

【详解】

（1）由ρ2221sin θ

=+得ρ2+ρ2sin 2θ＝2，将ρ2＝x 2+y 2，y ＝ρsinθ代入上式并整理得曲线C 的直角坐标方程为2

2

x +y 2＝1， 设点P 的直角坐标为（x ，y ），因为P

，

4π）， 所以x ＝

ρcosθ=4π

=1，y ＝

ρsinθ=4π

=1，

所以点P 的直角坐标为（1，1）．

（2）将315415x t y t ?=+????=+??代入2

2x +y 2＝1，并整理得41t 2+110t+25＝0， 因为△＝1102﹣4×

41×25＝8000＞0，故可设方程的两根为t 1，t 2， 则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1+t 211041=-

， 依题意，点M 对应的参数为

122t t +， 所以|PM|＝|

122t t +|5541=． 【点睛】

本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．

18．已知函数()ln(),x f x e x m m m R =-++∈.

（1）若0x =是函数()f x 的极值点，求()f x 的单调区间；

（2）当2m ≤时，证明：()f x m >

【答案】（1）递减区间为（-1，0），递增区间为(0,)+∞（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）根据函数解析式，先求得导函数，由0x =是函数()f x 的极值点可求得参数m .求得函数定义域，并根据导函数的符号即可判断单调区间.

（2）当2m ≤时，ln()ln(2)x m x +≤+.代入函数解析式放缩为

()ln()ln(2)x x f x e x m m e x m =-++≥-++，代入证明的不等式可化为ln(2)0x e x -+>，构造函数()ln(2)x h x e x =-+，并求得()h x '，由函数单调性及零点存在定理可知存在唯一的0x ，使得0001()02

x h x e x '=-=+成立，因而求得函数()h x 的最小值000()ln(2)x h x e x =-+，由对数式变形化简可证明0()0h x >，即0()()0h x h x ≥>成立，原不等式得证.

【详解】

（1）函数()ln(),x f x e x m m m R =-++∈ 可求得1()x f x e x m '=-

+，则1(0)10f m

'=-= 解得1,m = 所以()ln(1)1x

f x e x =-++，定义域为()1，-+∞ 1()1

x f x e x '=-+， 1()1

x f x e x '=-+在()1，-+∞单调递增，而()00f '=， ∴当(1,0)x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减，

当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，

此时0x =是函数()f x 的极小值点，

()f x ∴的递减区间为()10-，，递增区间为(0,)+∞

（2）证明：当2m ≤时，ln()ln(2)x m x +≤+

()ln()ln(2)x x f x e x m m e x m ∴=-++≥-++，

因此要证当2m ≤时，()f x m >，

只需证明ln(2)x e x m m -++>，

即ln(2)0x e x -+>

令()ln(2)x h x e x =-+， 则1()2

x h x e x '=-+， ()h x '在(2,)-+∞是单调递增， 而11(1)10,(0)02

h h e '-=-<'=>， ∴存在唯一的0x ，使得00001()0(1,0)2

x h x e x x '=-=∈-+，， 当0(2,),()0x x h x ∈-'<，()h x 单调递减，当0(),()0x x h x ∈+∞'>，

，()h x 单调递增， 因此当0x x =时，函数()h x 取得最小值000()ln(2)x h x e x =-+，

00001(1,0),()02

x x h x e x ∈-'=-=+， 00001,ln(2)2

x e x x x ∴=+=-+， 故02000000(1)1()ln(2)022

x x h x e x x x x +=-+=+=>++， 从而0()()0h x h x ≥>，即ln(2)0x e x -+>，结论成立.

【点睛】

本题考查了由函数极值求参数，并根据导数判断函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立，构造函数法的综合应用，属于难题.

19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=??=?

（α为参数），将曲线1C 上每一点的横

倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线:l θ?=与曲线2C 交于点P ，将射线l 绕极点逆时针方向旋转

2π交曲线2C 于点Q . （1）求曲线2C 的参数方程；

（2）求POQ ?面积的最大值．

【答案】（1

）sin x y αα

?=??=??（α为参数）；（2

）2. 【解析】

【分析】

（1）根据伸缩变换结合曲线1C 的参数方程可得出曲线2C 的参数方程； （2）将曲线2C 的方程化为普通方程，然后化为极坐标方程，设点P 的极坐标为()1,ρ?，点Q 的极坐标为2,2πρ???+ ??

?，将这两点的极坐标代入椭圆C 的极坐标方程，得出21ρ和22ρ关于?的表达式，然后利用三角恒等变换思想即可求出POQ ?面积的最大值．

【详解】

（1）由于曲线1C 的参数方程为cos sin x y αα=??=?

（α为参数）， 将曲线1C

倍，纵坐标不变，得到曲线2C ，

则曲线2C

的参数方程为sin x y αα?=??=??

（α为参数）； （2）将曲线2C 的参数方程化为普通方程得2

212x y +=， 化为极坐标方程得2222cos sin 12ρθ

ρθ+=，即2221sin ρθ

=+， 设点P 的极坐标为()1,ρ?，点Q 的极坐标为2,2πρ???+ ???

， 将这两点的极坐标代入椭圆C 的极坐标方程得21221sin ρ?=+，2222221cos 1sin 2ρπ??==+??++ ??

?， POQ ∴?的面积为

121122

POQ S ρρ?===

=

= 当sin 20?=

时，POQ ?

=.

【点睛】

本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，考查了伸缩变换，同时也考查了利用极坐标方程求解三角形面积的最值问题，要熟悉极坐标方程所适用的基本类型，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.

20．如图，ABCD 是正方形，点P 在以BC 为直径的半圆弧上（P 不与B ，C 重合），E 为线段BC 的中点，现将正方形ABCD 沿BC 折起，使得平面ABCD ⊥平面BCP .

（1）证明：BP ⊥平面DCP .

（2）三棱锥D BPC -的体积最大时，求二面角B PD E --的余弦值.

【答案】（1）见解析（215 【解析】

【分析】

（1）利用面面垂直的性质定理证得CD ⊥平面BPC ，由此证得DC BP ⊥，根据圆的几何性质证得BP PC ⊥，由此证得BP ⊥平面DCP .

（2）判断出三棱锥D BPC -的体积最大时P 点的位置.建立空间直角坐标系，通过平面BPD 和平面EPD 的法向量，计算出二面角B PD E --的余弦值.

【详解】

（1）证明：因为平面ABCD ⊥平面,BPC ABCD 是正方形，

所以DC ⊥平面BPC .

因为BP ?平面BPC ，所以DC BP ⊥.

因为点P 在以BC 为直径的半圆弧上，所以BP PC ⊥.

又DC PC C ?=，所以BP ⊥平面DCP .

（2）解：显然，当点P 位于BC 的中点时，BCP ?的面积最大，三棱锥D BPC -的体积也最大. 不妨设2BC =，记AD 中点为G ，

以E 为原点，分别以,,EB EP EG 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，

建立如图所示的空间直角坐标系E xyz -，

则(0,0,0),(1,0,0),(1,0,2),(0,1,0)E B D P -，(2,0,2),(1,0,2),(1,1,2)BD ED PD =-=-=--

设平面BDP 的法向量为()111,,m x y z =，

则11111220,20,BD m x z PD m x y z ??=-+=???=--+=??

令11x =，得(1,1,1)m =. 设平面DEP 的法向量为()222,,n x y z =，

则2222220,20,

ED n x z PS n x y z ??=-+=???=--+=??令22x =，得(2,0,1)n =， 所以15

cos ,||||535

m n m n m n ???===?. 由图可知，二面角B PD E --为锐角，故二面角B PD E --的余弦值为

15.

【点睛】

本小题主要考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题. 21．已知函数3()3,()1ln f x x ax e g x x =-+=-，其中e 为自然对数的底数.

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）用max{,}m n 表示,m n 中较大者，记函数()max{(),()},(0)h x f x g x x =>.若函数()h x 在()0,∞+上恰有2个零点，求实数a 的取值范围.

【答案】（1）函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和,)a +∞，单调递减区间为(,)a a ；（2）

213

e a +>. 【解析】

【分析】

（1）由题可得()2

33f x x a '=-,结合a 的范围判断()f x '的正负,即可求解； （2）结合导数及函数的零点的判定定理,分类讨论进行求解

【详解】

（1）()233f x x a '=-,

①当0a ≤时,0f

x （）≥, ∴函数()f x 在∞∞（-，+）

内单调递增； ②当0a >时,令()3()()0f x x a x a '=+-=,解得x a =-或x a =

, 当x a <-或x a >时,()0f x '>,则()f x 单调递增, 当a x a -<<时,()0f x '<,则()f x 单调递减,

∴函数()f x 的单调递增区间为(,)a -∞-和(,)a +∞,单调递减区间为(,)a a -

（2）（Ⅰ）当(0,e)x ∈时,()0,()()0,g x h x g x >>所以()h x 在(0,)e 上无零点；

（Ⅱ）当x e =时,3

()0,()3g e f e e ae e ==-+, ①若3

()30f e e ae e =-+,即213e a +,则e 是()h x 的一个零点； ②若3

()30f e e ae e =-+>,即2e 13a +<,则e 不是()h x 的零点 （Ⅲ）当(,)x e ∈+∞时,()0-,所以

①当2a e 时,()0,()f x f x '>在(,)e +∞上单调递增。又3()3f e e ae e =-+，所以

（ⅰ）当2e 13

a +≤时,()0,()f e f x 在(,)e +∞上无零点； （ⅱ）当22e 1e 3a +<≤时,()0f e <,又332(2)86860f e e ae e e e e =-+-+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点；

②当2a e >时,令()0f x '=,得x a =由()0f x '<,得e x a <<()0f x '>,得x a 所以()f x 在()e a 上单调递减,在,)a +∞上单调递增,

因为333()330f e e ae e e e e =-+<-+<,32222

(2)868620f a a a e a a e a e =-+>-+=+>,所以此时()f x 在(,)e +∞上恰有一个零点, 综上,213

e a +> 【点睛】

本题考查利用导数求函数单调区间,考查利用导数处理零点个数问题,考查运算能力,考查分类讨论思想

22．在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且2sin 2cos a B b C =

+. （1）求tan B ；

（2）若3a c ==，求b .

【答案】（1）tan 5

B =

（2）2b = 【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理到2cos B B =，得到答案.

（2）计算cos 3B =

，再利用余弦定理计算得到答案. 【详解】

（1）由2sin 2cos a B b C =+，可得2sin sin 2sin cos A C B B C =+

2sin()sin 2sin cos C B C B B C +=+,2sin cos sin C B C B =

因为sin 0C >，所以2cos B B =，所以tan 5

B =.

（2）2cos 0B B =>，又因为22sin cos 1B B +=，所以cos 3B =

.

因为2222cos b a c ac B =+-，所以259234b =+-=，即2b =. 【点睛】

本题考查了正弦定理和余弦定理，意在考查学生的计算能力. 23．已知{}n a 是等差数列，满足13a =，412a =，数列{}n b 满足14b =，420b =，且{}n n b a -是等比数列.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）求数列{}n b 的前n 项和.

【答案】（1）3(1,2,

)n a n n ==，132(1,2,)n n b n n -=+=；（2）3(1)212n n n ++- 【解析】

试题分析：（1）利用等差数列，等比数列的通项公式先求得公差和公比，即得到结论;（2）利用分组求和法，由等差数列及等比数列的前n 项和公式即可求得数列{}n b 前n 项和．

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，由题意得

d=== 1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1n

设等比数列{bn﹣an}的公比为q，则

q1===8，∴q=2，

∴b n﹣a n=（b1﹣a1）q n﹣1=2n﹣1，∴bn=1n+2n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=1n+2n﹣1，∵数列{1n}的前n项和为n（n+1），

数列{2n﹣1}的前n项和为1×= 2n﹣1，

∴数列{bn}的前n项和为；

考点：1.等差数列性质的综合应用；2.等比数列性质的综合应用；1.数列求和．

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