江苏省赣榆高级中学2012届高三数学上学期期末模拟试卷2苏教版

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 江苏省赣榆高级中学2012届高三数学期末模拟试卷2数学Ⅰ

一、填空题

1．已知集合A??1?，B??1, 9?，则AUB? ．

2．已知复数z的实部为?1，模为2，则复数z的虚部是 ．

3．若函数f(x)?mx2?x?5在??2，??)上是增函数，则m的取值范围是 ．

?5?0的解集为M，若5?M，则实数a的取值范围是 ．4．已知关于x的不等式ax 2x?a5．若点P(cos?,sin?)在直线y??2x上，则sin2??2cos2?? ． 6．数列{an}的前n项和Sn?2n2?3n(n?N*)，则a4? ．

7．若函数f(x)的导函数为f'(x)?x2?4x?3，则函数f(x?1)的单调递减区间为 ． 8．某校开展了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取10名学生的学分，用茎叶图表示（如图所示），若s1、s2分别表示甲、乙两班各自10名学生学分的标准差，则s1 s2（请填“＜”，“＝”，“＞”）

B的任意一点，若P为半9．如图，半圆的直径AB?6，O为圆心，C为半圆上不同于A、????????????径OC上的动点，则(PA?PB)?PC的最小值是 ．

8 7 9 8 7 6 2 0

1 0

0 6 7 8 8 1 0 2 8 2 0 2 2

第8题图

第9题图

2210．过直线y?x上的一点作圆x?(y?4)?2的两条切线l1,l2，当l1与l2关于y?x对

称时，l1与l2 的夹角为 ．

11．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维

n??向量可用(x1，x2，x3，x4，?，xn)表示．设a＝(a1，a2，a3，a4，?，an)，b＝(b1，b2，??b3，b4，?，bn)，规定向量a与b夹角θ的余弦为cos???abi?1n2ini?1ii，已知n维向

2i?a?bi?1????量a，b，当a＝(1,1,1,1，?，1)，b＝(－1，－1,1,1,1，?，1)时，cosθ等于 ．

12．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面

体，所得几何体的表面积为_ ．

13．等腰Rt?ABC中，斜边BC?42，一个椭圆以C为其中一个焦点，另一个焦点在线段

AB上，且椭圆经过A,B两点，则该椭圆的离心率为 ．

1111114．若实数a,b,c满足a?b?1,a?b?b?c?a?c?1，则c的最大值是 ．

22222二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 15．(本小题满分14分)

???????????????????? 平面直角坐标系xOy中，已知向量AB??6, 1?, BC??x, y?, CD???2, ?3?, 且AD//BC．

（1）求x与y之间的关系式；

????????（2）若AC?BD，求四边形ABCD的面积．

16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA=AD，AB=2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且(1)判断EF与平面PBC的关系，并证明； （2）当?为何值时，DF?平面PAC？并证明．

18．(本小题满分16分)

B

C 第16题图 A F D

E

PEBFP ???(??0)．

EDFAx2y23 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为23，离心率为．

2ab（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且

|BD|,|BE|,|DE|成等比数列，求k2的值．

17．(本小题满分14分)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y． （1）设∠CA1O = ? (rad)，将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计?，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长．

B C

A3 A1 O

A2 -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

19．(本小题满分16分)

已知：三次函数f(x)?x3?ax2?bx?c，在(??,?1),(2,??)上单调增，在（-1，2）上

单调减，当

且仅当x?4时，f(x)?x2?4x?5. （1）求函数f (x)的解析式； （2）若函数h(x)?

20．(本小题满分16分)

设fk(n)为关于n的k(k?N)次多项式．数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn．对于任意的正

整数n，an?Sn?fk(n)都成立．

（1）若k?0，求证：数列{an}是等比数列；

（2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

数学Ⅱ（附加题）

?m0??1?21．设矩阵A??，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为A??0?，属于特征值2的0n????f?(x)?(m?1)ln(x?m)，求h(x)的单调区间．

3(x?2)一个特

?0?征向量为??，求实数m, n的值．

1??

22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是??2cos?和??2asin?(a是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a的值．

23．在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA?底面ABCD，点M是棱PC的中点，AM?平面PBD． ⑴求PA的长；

⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

B 第23题图

C A

M P

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

24．设n是给定的正整数，有序数组

①ai??1,?1?,i?1,2,?,2n； ②对任意的1≤k≤l≤n,都有

(a1， a2， ???， a2n)同时满足下列条件：

i?2k?1?2lai≤2．

a2， ???， a2n)的（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，个数，求An；

a2， ???， a2n)的个（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，数，求Bn．

数学参考答案

一、填空题：

9? ； 2． ?3； 3． ?0，1?； 4． [1,25] ； 5． -2； 1． ?1，?4???6． 11 ； 7． [2，4]； 8．〈； 9． ?11

9?； 10． ； 23n?4．； 12． 73； 13． 6?3 ； 14． 2-log23 ． n二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本小题满分14分)

???????????????????? 平面直角坐标系xOy中，已知向量AB??6, 1?, BC??x, y?, CD???2, ?3?, 且AD//BC．

（1）求x与y之间的关系式；

????????（2）若AC?BD，求四边形ABCD的面积．

???????????????????? 【解】（1）由题意得AD?AB?BC?CD?(x?4， y?2),BC??x, y?, ???????2分

???????? 因为AD//BC，

所以(x?4)y?(y?2)x?0，即x?2y?0，① ???????????????4分

???????????????????????? （2）由题意得AC?AB?BC?(x?6， y?1)，BD?BC?CD?(x?2， y?3)， ???6分

????????因为AC?BD， 所以(x?6)(x?2)?(y?1)(y?3)?0，即x2?y2?4x?2y?15?0，② ??????8分

?x?2，?x??6，由①②得?或????????????????????????10分

y??1， y?3.?????????????????? ?x?2，当?时，AC?(8， 0)，BD?(0， ?4)，则S四边形ABCD=1ACBD?16 ????12分

2?y??1???????????????? ?x??6，1当?时，AC?(0， 0)，则S四边形ABCD=ACBD?16 ????14分 4)，BD?(?8，2y?3?所以，四边形ABCD的面积为16．

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 16．(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA?平面ABCD，PA=AD，AB=2AD，E是线段PD上的点，F是线段AB上的点，且(1)判断EF与平面PBC的关系，并证明； （2）当?为何值时，DF?平面PAC？并证明．

16、（1）作FG//BC交CD于G，连接EG，

则而

A F D

E

PEBFP ???(??0)．

EDFABFCGPEBFB ?, ????,

第16题图 FAGDEDFAPECG??,?PC//EG,又FG//BC,BC?PC?C,FG?GE?G EDGDC ?平面PBC//平面EFG．又EF?平面PBC,?EF//平面PBC．????????????6

分

（2）当??1时,DF?平面PAC． ?????????????????????8分

证明如下：

???1，则F为AB的中点，又AB=2AD,AF=1AB， 2?在Rt?FAD与Rt?ACD中,

ADCDtan?AFD??2，tan?CAD??2,???11分

AFAD??AFD??CAD.?AC?DF,

又?PA?平面ABCD,DF?平面ABCD,?PA?DF,

?DF?平面PAC． ????????????????????????14分

17．(本小题满分14分)

如图所示：一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离(即OB)为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3．点C为OB上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等．设细绳的总长为y．

（1）设∠CA1O = ? (rad)，将y表示成θ的函数关系式；

（2）请你设计?，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时 BC应为多长．

B C A3 A1 O -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- A2

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

17． （Ⅰ）解：在Rt△COA1中，

CA1?2，CO?2tan?， ???2分 cos?2y?3CA1?CB?3??2?2tan?=

cos?2(3?sin?)??2（0???）??7分

cos?4?cos2??(3?sin?)(?sin?)3sin??1?2（Ⅱ）y?2，

cos2?cos2?/1 ??????12分 311当sin??时，y??0；sin??时，y??0，

33令y??0，则sin??∵y?sin?在[0,?4]上是增函数

12时，y最小，最小为42?2；此时BC?2?m ?16分 32∴当角?满足sin??

18．(本小题满分16分)

x2y23 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的焦距为23，离心率为．

2ab（1）求椭圆的方程；

（2）设过椭圆顶点B(0,b)，斜率为k的直线交椭圆于另一点D，交x轴于点E，且

|BD|,|BE|,|DE|成等比数列，求k2的值．

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

19．(本小题满分16分)

已知：三次函数f(x)?x?ax?bx?c，在(??,?1),(2,??)上单调增，在（-1，2）

2上单调减，当且仅当x?4时，f(x)?x?4x?5.

32 （1）求函数f (x)的解析式； （2）若函数h(x)?f?(x)?(m?1)ln(x?m)，求h(x)的单调区间．

3(x?2)解：（1）?f(x)在(??,?1),(2,??)上单增，（-1，2）上单减 ?f?(x)?3x?2ax?b?0有两根－1，2

22a?3?1?2????a??32??33?? ??2?f(x)?x?x?6x?c ????4分

2??1?2?b?b??6??3? 令H(x)?f(x)?x?4x?5?x?2352x?2x?c?5 2-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- H?(x)?3x2?5x?2?(3x?1)(x?2) H(x)在(??,?),(2,??)单调增，(?,2)单调减

1313?H(4)?0? 故??c??11 1H(?)?0?3? ?f(x)?x?32x?6x?11 2323故f(x)?x?x?6x?11. ??????????????????6分

23 （2）∵f'(x)?3x2?3x?6

?h(x)?x?1?(m?1)ln(x?m)(x??m且x?2) ?h?(x)?1?m?1x?1? x?mx?m 当m≤－2时，－m≥2，定义域：(?m,??) h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,??)上单增；

当?2?m??1时，2??m?1，定义域：(?m,2)?(2,??) h?(x)?0恒成立，h(x)在(?m,2),(2,??)上单增 当m >－1时，－m <1，定义域：(?m,2)?(2,??) 由h?(x)?0得x >1，由h?(x)?0得x <1． 故在（1，2），（2，+∞）上单增；在(?m,1)上单减 所以当m≤－2时，h(x)在（－m,+∞）上单增； 当?2?m??1时，h(x)在(?m,2),(2,??)上单增；

当m >－1时，在（1，2），（2，+∞）上单增；在（－m，1）单减???16分

20．(本小题满分16分)

设fk(n)为关于n的k(k?N)次多项式．数列{an}的首项a1?1，前n项和为Sn．对于任意的正

整数n，an?Sn?fk(n)都成立．

（1）若k?0，求证：数列{an}是等比数列；

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- （2）试确定所有的自然数k，使得数列{an}能成等差数列．

【证】（1）若k?0，则fk(n)即f0(n)为常数，不妨设f0(n)?c（c为常数）． 因为an?Sn?fk(n)恒成立，所以a1?S1?c，即c?2a1?2． 而且当n≥2时，an?Sn?2， ① an?1?Sn?1?2， ② ①－②得 2an?an?1?0(n?N，n≥2)．

若an=0，则an?1=0，?，a1=0，与已知矛盾，所以an?0(n?N*)．

故数列{an}是首项为1，公比为1的等比数列． ???????????????4分

2【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符题意，舍去． (ii) 若k=1，设f1(n)?bn?c（b，c为常数）， 当n≥2时，an?Sn?bn?c， ③ an?1?Sn?1?b(n?1)?c， ④

③－④得 2an?an?1?b(n?N，n≥2)．????????????????????7分 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有an?b?d（常数）， 而a1=1，故{an}只能是常数数列，通项公式为an =1n?N*，

故当k=1时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an =1n?N*，此时f1(n)?n?1．?9分

(iii) 若k=2，设f2(n)?an2?bn?c（a?0，a，b，c是常数）， 当n≥2时，an?Sn?an2?bn?c， ⑤ an?1?Sn?1?a(n?1)2?b(n?1)?c， ⑥

⑤－⑥得 2an?an?1?2an?b?a(n?N，n≥2)， ???????????????12分 要使数列{an}是公差为d（d为常数）的等差数列，必须有 an?2an?b?a?d，且d=2a，

????考虑到a1=1，所以an?1?(n?1)?2a?2an?2a?1n?N*．

故当k=2时，数列{an}能成等差数列，其通项公式为an?2an?2a?1n?N*， 此时f2(n)?an2?(a?1)n?1?2a（a为非零常数）．?????????????14分 (iv) 当k≥3时，若数列{an}能成等差数列，则an?Sn的表达式中n的最高次数为2，故数列{an}

不能成等差数列．

综上得，当且仅当k=1或2时，数列{an}能成等差数列． ???????????16分

数学Ⅱ

????-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- ?m0??1?21．设矩阵A??，若矩阵的属于特征值1的一个特征向量为A??0?，属于特征值20n????的一个特

?0?征向量为??，求实数m, n的值．

?1???m0??1??1? ????0??1?0?,0n??????? 【解】由题意得? ???????6分

??m0??0??2?0?,?1? ??0n??1???????? ?m?1,?0?n?0, ?m?1,?化简得?所以? ??????10分

0?m?0, n?2.??? ?n?2,

22．已知⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别是??2cos?和??2asin?(a是非零常数)． (1) 将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程； (2) 若两圆的圆心距为5，求a的值．

解：(1)由ρ＝2cosθ，得ρ＝2ρcosθ． 所以⊙O1的直角坐标方程为x＋y＝2x． 即 (x－1)＋y＝1．(3分)

由 ρ＝2asinθ，得ρ＝2aρsinθ． 所以⊙O2的直角坐标方程为x＋y＝2ay， 即 x＋(y－a)＝a．(6分)

(2)⊙O1与⊙O2的圆心之间的距离为±2． ??????????10分

23．在四棱锥P – ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA?底面

1＋a＝

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

P

M

A

5，解得B 第23题图

z P a＝C ABCD，点M是棱PC的中点，AM?平面PBD．

⑴求PA的长；

⑵求棱PC与平面AMD所成角的正弦值．

解:以A为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,a)．

11a11a→因为M是PC中点,所以M点的坐标为(,,)，所以AM = (,,)，

222222→A B x M D C y BD = (–1,1,0)，BP = ( – 1,0,a)．

→→→→→⑴因为AM?平面PBD,所以AM·BD = AM·BP = 0．即

→-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- -------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 1a – + = 0,所以a = 1,即PA = 1． ?????????????4分

22

111→→⑵由AD = (0,1,0),M = (,,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又

222→→n·CP26→CP = ( – 1,–1,1)．所以cos = = = ．

→32·3|n|·|CP|所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为

6

．???????????10分 3

2

a2， ???， a2n)同时满足下列条件： 24．设n是给定的正整数，有序数组(a1， ①ai??1,?1?,i?1,2,?,2n； ②对任意的1≤k≤l≤n,都有

i?2k?1?2lai≤2．

a2， ???， a2n)（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，的个数，求An；

a2， ???， a2n)的（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，个数，求Bn．

【解】（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a2k?1?a2k?0， 所

以

nn个2相乘，

An?2??2； ??????????4分 ???2（2）因为存在1≤k≤n，使得a2k?1?a2k?0， 所以a2k?1?a2k?2或a2k?1?a2k??2， k2, ???km(1≤m≤n)， 设所有这样的k为k1,2kj?1不妨设a2kj?1?a2kj?2(1≤j≤m)，则a2kj?1?1?a2kj?1??2（否则同理，若a2kj?1?a2kj??2(1≤j≤m)，则a2kj?1?1?a2kj?1?2，

i?2kj?1?； ai=4?2）

这说明a2kj?1?a2kj的值由a2k1?1?a2k1的值（2或?2）确定， ???????6分 又其余的(n?m)对相邻的数每对的和均为0，

n?1n?2n所以，Bn?2C1 ???????8分 ?2C2?????2Cnn?2n?2n?1n?2n?2(2n+C1?C2?????Cnn?2n?2n)?2?2

?2(1?2)n?2?2n

?2(3n?2n)． ???????10分

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有-------------- 1a – + = 0,所以a = 1,即PA = 1． ?????????????4分

22

111→→⑵由AD = (0,1,0),M = (,,),可求得平面AMD的一个法向量n = ( – 1,0,1)．又

222→→n·CP26→CP = ( – 1,–1,1)．所以cos = = = ．

→32·3|n|·|CP|所以,PC与平面AMD所成角的正弦值为

6

．???????????10分 3

2

a2， ???， a2n)同时满足下列条件： 24．设n是给定的正整数，有序数组(a1， ①ai??1,?1?,i?1,2,?,2n； ②对任意的1≤k≤l≤n,都有

i?2k?1?2lai≤2．

a2， ???， a2n)（1）记An为满足对“任意的1≤k≤n，都有a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，的个数，求An；

a2， ???， a2n)的（2）记Bn为满足“存在1≤k≤n，使得a2k?1?a2k?0”的有序数组(a1，个数，求Bn．

【解】（1）因为对任意的1≤k≤n，都有a2k?1?a2k?0， 所

以

nn个2相乘，

An?2??2； ??????????4分 ???2（2）因为存在1≤k≤n，使得a2k?1?a2k?0， 所以a2k?1?a2k?2或a2k?1?a2k??2， k2, ???km(1≤m≤n)， 设所有这样的k为k1,2kj?1不妨设a2kj?1?a2kj?2(1≤j≤m)，则a2kj?1?1?a2kj?1??2（否则同理，若a2kj?1?a2kj??2(1≤j≤m)，则a2kj?1?1?a2kj?1?2，

i?2kj?1?； ai=4?2）

这说明a2kj?1?a2kj的值由a2k1?1?a2k1的值（2或?2）确定， ???????6分 又其余的(n?m)对相邻的数每对的和均为0，

n?1n?2n所以，Bn?2C1 ???????8分 ?2C2?????2Cnn?2n?2n?1n?2n?2(2n+C1?C2?????Cnn?2n?2n)?2?2

?2(1?2)n?2?2n

?2(3n?2n)． ???????10分

-------------各类专业好文档，值得你下载，教育，管理，论文，制度，方案手册，应有尽有--------------

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7dkw.html