金老师教育培训---中考数学压轴题专题17函数动点问题中平行四边形存在性答案解析

专题17 函数动点问题中平行四边形存在性

类型一、平行四边形存在性

结论：A C B D A C B D

x x x x y y y y +=+??+=+? 类型二、特殊平行四边形存在性

1. 矩形存在性

常用解题思路：构造一线三直角（借助相似或三角函数求解）；利用矩形对角线相等（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半）借助勾股定理求解等.

2. 菱形存在性

常用解题思路：利用菱形四条边相等，对角线互相垂直，借助勾股定理等求解.

3. 正方形存在性

常用解题思路：兼具矩形和菱形二者.

1.如图，直线y =334x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线y =234

ax x c ++经过B 、C 两点. （1）求抛物线的解析式；

（2）如图，点E 是直线BC 上方抛物线上的一个动点，当△BEC 的面积最大时，求出点E 的坐标和最大值；

（3）在（2）条件下，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，连接AM ，点Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵直线y =334

x -+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ， ∴B (0,3)，C (4,0)，

将B (0,3)，C (4,0)代入y = 234

ax x c ++得： 16303a c c ++=??=?，解得：383

a c ?=-???=?， ∴抛物线的解析式为：233384

y x x =-++. （2）过点E 作EF ⊥x 轴于F ，交BC 于M ，

设E （x ，233384x x -++），则M （x ，334

x -+）， ∴ME =233384x x -++－（334x -+）=23382x x -+ ∴S △BEC =12

×EM ×OC =2EM =2(23382

x x -+) =()23234x --+

,

∴当x =2时，△BEC 的面积取最大值3，此时E (2，3).

（3）由题意得：M (2，32

)，抛物线对称轴为：x =1，A (－2,0), 设P (m ，y )，y =233384

m m -++，Q (1，n ) ①当四边形APQM 为平行四边形时，

有：212m -+=+，解得：m =－3，

即P (－3，218

-)； ②当四边形AMPQ 为平行四边形时，

有：－2+m =2+1，即m =5

即P (5, 218

-)； ③当四边形AQMP 为平行四边形时，

有：2－2=1+m ，得：m =－1，

即P (－1，158

)； 综上所述，抛物线上存在点P ，使以点P 、Q 、A 、M 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为：(－3，218-)，(5, 218

-)，(－1，158). 2.如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)、B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，－

3).

（1）求抛物线的解析式与顶点M 的坐标；

（2）求△BCM 的面积与△ABC 面积的比；

（3）若P 是x 轴上一个动点，过P 作射线PQ ∥AC 交抛物线于点Q ，随着P 点的运动，在x 轴上是否存在这样的点P ，使以点A 、P 、Q 、C 为顶点的四边形为平行四边形？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析.

【解析】解：（1）将A (－1，0)，B (3，0)， C (0，－3)代入y =ax 2

+bx +c ，得： 09303a b c a b c c -+=??++=??=-?，

解得：a=1，b=－2，c=－3，

即抛物线的解析式为：y=x2－2x－3，顶点M的坐标为：（1，－4）；（2）连接BC，BM，CM，过M作MD⊥x轴于D，如图所示，

S△BCM=S梯形ODMC+S△BDM－S△BOC=3，

S△ACB=6，

∴S△BCM：S△ACB=1：2；

（3）存在.

①当点Q在x轴上方时，过Q作QF⊥x轴于F，如图所示，

∵四边形ACPQ为平行四边形，

∴QP∥AC，QP=AC

∴△PFQ≌△AOC，

∴FQ=OC=3，

∴3=x2﹣2x﹣3，

解得x或x=1，

∴Q，3)或(1，3)；

②当点Q在x轴下方时，过Q作QE⊥x轴于E，如图所示，

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