复数的三角形式(二)

复数的三角形式(二)

复数的三角形式( 复数的三角形式(二)

复数的三角形式(二)

例题： 例题： 例 1 . 复 数 z1 与 2+4i 的 积 是 2-16i , 复 数 z2 满 足z 1 z 2 (7 16i ) = 1 .如果复数 z1 的辐角主值是α,z2 的辐角 如果复数 的辐角主值是α i

主值是β β的值. 主值是β,求α+β的值 分析与解答： 分析与解答： β 的一个辐角； ①α+β是 z1z2 的一个辐角； 并由此确定α 的范围； ②必须先求出 z1 和 z2,并由此确定α、β的范围；

2 16i 1 8i 将其代入另一个条件， 将其代入另一个条件 由已知 z 1 = = = 3 2i ,将其代入另一个条件， 2 + 4i 1 + 2i 7 17i = 1 + 5i ,∴ z2=1-5i, 解得 z 2 = 3 2i

∴ α = arg z 1 = arg(3 2i ), π < α <

3π , 2

3π β = arg z 2 = arg(1 5i ), < β < 2π , 2 5π 7π < α+β< , ∴ 2 2

复数的三角形式(二)

又 z1z2=(-3-2i)(1-5i)=-13+13i.13 = 1 . 的一个辐角， α+β是 z1z2 的一个辐角，且 tg(α + β ) = β 13 11π π . ∴ α+β = 4

解该题时，很多同学由于不注意α 以及α β 解该题时，很多同学由于不注意α、β以及α+β的范 从而得出错误结论. 围，从而得出错误结论 分别在[0, π 内 α、β分别在 2π)内，但α+β不一定在这个范围内， β不一定在这个范围内， 对应的点在第二象限内， 要结合 z1z2=-13+13i 对应的点在第二象限内，且5π 7π < α+β < 最后确定α β的值. ,最后确定α+β的值 2 2

复数的三角形式(二)

3 1 2 2 i ,复数 zω, z 2 ω 3 在 例 2.已知复数 z = . i, ω = + 2 2 2 2

求证： 复平面上所对应的点分别为 P、Q.求证：ΔOPQ 是等腰 、 求证 直角三角形( 为原点) 直角三角形(其中 O 为原点).分析与解答： 分析与解答： 从复数的角度，证一个三角形是等腰直角三角形， 从复数的角度，证一个三角形是等腰直角三角形， 一是用到模相等， 一是用到模相等，另一是用到复数除法的几何意义或 三角形中的角就是两个有共同始点的复数辐角的差. 三角形中的角就是两个有共同始点的复数辐角的差

解法一： 解法一： z =

3 1 π π i = cos( ) + i sin( ) 2 2 6 6 2 2 π π i = cos + i sin , ω= + 2 2 4 4

复数的三角形式(二)

π π π π π π ∴ zω = cos( + ) + i sin( + ) = cos + i sin , 6 4 6 4 12 12 π π ∴ zω = cos( ) + i sin( ) 12 12 3π 3π π π 2 3 又 z ω = [cos( ) + i sin( )](cos + i sin ) 3 3 4 4 5π 5π . = cos + i sin 12 12 5π π π 因此 OP,OQ 的夹角为 ( ) = , , 12 12 2

∵ OP⊥OQ,又∵ |OP|=|z ω |=1, |OQ|=|z2 ω 2|=1, ⊥ , ∴ΔOPQ 为等腰直角三角形 为等腰直角三角形. ∴ |OP|=|OQ|, ∴Δ

复数的三角形式(二)

解法二： 解法二：π π 由题 z = cos( ) + i sin( ), | z |= 1 6 6 π π ω = cos + i sin , | ω |= 1 , 4 4

∴

z 2ω3 zω

=

z 2 ω 3 zω zω zω

z 3 ω4 = = z 3 ω4 | z |2 | ω |2

π π = [cos( ) + i sin( )][cos π + i sin π ] 2 2 π π = cos + i sin = i 2 2

∴ OP⊥OQ, |OP|=|OQ|,即ΔOPQ 为等腰直角 ⊥ , ,

三角形. 三角形 解法二在做除法前先化简， 解法二在做除法前先化简，用到了复数的模及共轭 复数的性质： 复数的性质： z z =| z | 2 =| z |2 ,|z ω |=|z||ω |.

复数的三角形式(二)

例 3.设 ω =z+ai(a∈R), z = . ∈

| ω |≤ 2 ,求 ω 的辐角主值θ的取值范围 的辐角主值θ的取值范围.

(1 4i )(1 + i ) + 2 + 4i 且 3 + 4i

分析与解答： 分析与解答：z= (1 4i )(1 + i ) + 2 + 4i 3 + 4i 5 3i + 2 + 4i = 3 + 4i 7+i = = 1 i. 3 + 4i

∵ ω =z+ai=1-i+ai=1+(a-1)i 且 | ω |≤ 2 , ∴ 1 + (a 1) 2 ≤ 2 , 解得 0≤a≤2, ≤ ≤又 tgθ=a-1, θ ∴

ω 的辐角主值 θ ∈ [0, π ] U [ 7π ,2π ) .4 4

∴ -1≤tgθ≤1, ≤ θ

复数的三角形式(二)

此题首先要算对了，还要会算模以及辐角 其中 其中， 此题首先要算对了，还要会算模以及辐角.其中，最容 易出问题的是θ的范围的确定.仅有 仅有-1≤ θ 是不够的， 易出问题的是θ的范围的确定 仅有 ≤tgθ≤1 是不够的，还 ， , 内 应当注意到 ω =1+(a-1)i 的实部为 1,虚部 a-1 在[-1,1]内， 所对的辐角只能在第一和第四象限. 所以 ω 所对的辐角只能在第一和第四象限

复数的三角形式(二)

例 4.在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方 .在复平面上， 为原点) 已知 ( 向依次为 Z1,Z2,Z3,O(其中 O 为原点).已知 Z2 对应 所对应的复数. 复数 Z2=1+ 3i ,求 Z1 和 Z3 所对应的复数分析与解答： 分析与解答： 根据题意我们不妨画出草图，以便分析. 根据题意我们不妨画出草图，以便分析 根据平面几何的知识， 根据平面几何的知识，我们知道正方形的一条对角线 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形，而且斜边是直 将正方形分成两个全等的等腰直角三角形， 角边的 2 倍.

由复数运算的几何意义知： 由复数运算的几何意义知：z1 = 1 π π z 2 [cos( ) + i sin( )] 4 4 2

2 2 2 i) = (1 + 3i )( 2 2 2 3 +1 3 1 i = + 2 2

复数的三角形式(二)

z3 =

1

π π z 2 (cos + i sin ) 4 4 2

时是将OZ ° 求 z1 时是将 → 2 向顺时针方向旋转 45°,且模缩短到原 来长度的1

2 2 2 i) = (1 + 3 )( + 2 2 2 1 3 1+ 3 i = + 2 2

,符合复数除法的几何意义，也可以直接写成 符合复数除法的几何意义，

2 1 1 + 3i . π π 2 cos + i sin 4 4

也可将OZ °得到， 而在求 z3 时，也可将 → 1 逆时针旋转 90°得到，因此用 z3=z1i 算更方便 算更方便.

复数的三角形式(二)

θ θ 求函数 θ 例 5.设复数 z=3cosθ+i2sinθ,求函数 y=θ-argz( 0 < θ < . 最大值以及对应的θ 最大值以及对应的θ值.

π )的 的 2

分析与解答： 分析与解答： 求角的最值， 求角的最值， 我们只会通过求某一三角函数在单调区间上 的最值来完成.而此题中 是用的正切表示的， 的最值来完成 而此题中 tg(argz)是用的正切表示的，因此， 是用的正切表示的 因此， 两边分别取正切. 我们不

妨对 y=θ-argz 两边分别取正切 θπ 由题， 由题，∵ 0 < θ < ∴ sinθ>0, cosθ>0, tgθ>0, θ θ θ 2

θ 又 z=3cosθ+i2sinθ θπ 2

∴ arg z ∈ (0, ) 且 tg(arg z ) = ∴

2 sin θ 2 = tgθ , 3 cos θ 3 tgθ tg(arg z ) tgy=tg(θ-argz) = θ 1 + tgθ tg(arg z ) 1 tgθ 1 = = 3 2 3 1 + tg 2 θ + 2tgθ tgθ 3

复数的三角形式(二)

3 3 + 2tgθ ≥ 2 2tgθ = 2 6 , ∵ tgθ tgθ

2 6 3 2 此时 tg θ = , 2 π 6 由于 0 < θ < ,∴ θ = arctg , 2 2 π π 又∵ 0 < θ < , 0 < arg z < , 2 2 π π π π ∴ < θ arg z < 即 y ∈ ( , ) . 2 2 2 2 π π 正切函数是单调增函数，因此， 由于在 ( , ) 内，正切函数是单调增函数，因此， 2 2 6 6 y max = arctg ,此时 θ = arctg . 12 2

∴ tgy ≤

1

=

6 3 = 2tgθ 时等号成立， ,当且仅当 当且仅当 时等号成立， 12 tgθ

复数的三角形式(二)

最大值的过程中， 在求 tgy 最大值的过程中，我们用到了平均不等式的 知识， 知识，而将所有的变量均变化到分母中是必不可少的工 的最值，必须用单调性， 的最值， 作. 有了 tgy 的最值，必须用单调性，才可求出 y 的最值， 这是同学们最易丢掉的一环. 这是同学们最易丢掉的一环

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7d3n.html