算术平均数与几何均数

更新时间：2023-11-10 05:53:01 阅读量：教育文库文档下载

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6.2 算术平均数与几何均数的应用

一、基础知识

1、算术平均数：如果a,b?R?，那么

a?b叫做这两个正数的算术平均数。 22、几何平均数：如果a,b?R?，那么ab叫做这两个正数的几何平均数。 3、定理：如果a,b?R?，那么a?b?2ab（当且仅当a=b时取“=”号） 4、推论：如果a,b?R?，那么

22a?b?ab（当且仅当a=b时取“=”号） 2a2?b2a?b2??ab?5、基本不等式：若a,b?R，则

1122?ab? 当且仅当a=b时取“=”号二、例题选讲

（一）利用基本不等式证明不等式

1例1、设实数x、y满足y?x2?0,0?a?1.求证:loga(ax?ay)?loga2?

8证明：?ax?0,ay?0,?ax?ay?2ax?y?2ax?x. ?x?x2?111?(x?)2?,0?a?1, 4241a42?a?a?2xy?12a8.?loga(ax?a)?logay12a81?loga2?.

8例2、已知a,b,c?R，求证a2?b2?b2?c2?c2?a2?2?a?b?c?

a2?b2?a?b?证明：????

22???a2?b2?22?a?b? a?b?2222同理?b?c?22?b?c?,?c2?a2?2?c?a? 22三式相加得a2?b2?b2?c2?c2?a2??2?a?b?c?

例3已知a、、b、?R，且a?b?c?1,求证：

(1?a)(1?b)(1?c)?8(1?a)(1?b)(1?c).

1 / 4

证明：?a、、b、?R，且a?b?c?1, 所以要证原式只要证：

?[(a?b?c)?a][(a?b?c)?b][(a?b?c)?c]?8[(a?b?c)?a][(a?b?c)?b][(a?b?c)?c].

即证：

[(a?b)?(c?a)][(a?b)?(b?c)][(c?a)?(b?c)]?8(b?c)(c?a)(a?b), (1)

?(a?b)?(b?c)?2(a?b)(b?c)(b?c)?(c?a)?2(b?c)(c?a)(c?a)?(a?b)?2(c?a)(a?b)三式相加得(1)式成立,故原不等式成立.

练习：已知a,b,c为不等正数，且abc=1，求证：a?b?证一：? a,b,c为不等正数，且abc=1

c?111?? abc?a?b?c?111111???111bcacab?1?1?1 ?????bcacab222abc证二：? a,b,c为不等正数，且abc=1

111bc?caba?cabc?ba????bc?ac?ab???abc222 ?abc2?a2bc?ab2c?a?b?c所以a?b?c?111?? abc小结：根据不等式结构特点灵活选用基本不等式。 (二)、利用基本不等式求最值例4、(P180)已知x?51，求函数y?4x?2?的最大值。 44x?5分析：利用基本不等式求最值要注意一正、二定、三等号相等。解?x?5,?5?4x?0 4?y?4x?2?11?????5?4x???3??2?3?1

4x?55?4x??1，即x=1时”=”成立

5?4x当且仅当5?4x??当x=1时ymax?1

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例5 已知a?0,求函数y?x2?a?1x?a2的最小值.

解:y?x2?a?1x?a2,

当0?a?1时,y?x2?a?1x?a2?2,当且仅当x??1?a时取等号,ymin?2.

11当a?1时,令t?x2?a(t?a).y?f(t)?t?.f/(t)?1?2?0

tt?f(t)在[a,??)为增函数.

?y?f(a)?a?1a,等号当t?a即x?0成立, ymin?a?1a.

a?1a.综上所述, 0?a?1时,

ymin?2;a?1时ymin?结论：满足一正、二定、三相等和定积最大，积定和最小

(三)、基本不等式的综合应用