高中数学题型分析手册

2012高考数学重点题型分析

1高考数学分类讨论重点题型分析 2高考数学函数重点题型分析 3高考数学排列与组合重点题型分析 4三角函数定义与三角变换题型分析 5正、余弦函数的有界性之解题作用 6高考数学数列重点题型分析 7高考数学数列专项训练题 8高考数学知识点考点常见结论详解 9既准又快中档题训练---确保不丢分

1

1高考数学分类讨论重点题型分析

复习目标:

1．掌握分类讨论必须遵循的原则 2．能够合理，正确地求解有关问题 命题分析:

分类讨论是一种重要的逻辑方法，也是一种常用的数学方法，这可以培养学生思维的条理性和概括性，以及认识问题的全面性和深刻性，提高学生分析问题，解决问题的能力.因此分类讨论是历年数学高考的重点与热点.而且也是高考的一个难点.

重点题型分析: 例1．解关于x的不等式:x2?a3?(a?a2)x(a?R)(黄冈，二模 理科）

2

解:原不等式可分解因式为:(x-a)(x-a)<0 （下面按两个根的大小关系分类）

222

（1）当a>a?a-a<0即 0

222

（2）当a0即a<0或a>1时，不等式的解为:x?(a, a)

2222

（3）当a=a?a-a=0 即 a=0或 a=1时，不等式为x<0或(x-1)<0 不等式的解为 x??.

2

综上，当 0

2

当a<0或a>1时，x?(a,a) 当a=0或a=1时，x??.

评述:抓住分类的转折点，此题分解因式后，之所以不能马上写出解集，主要是不知两根谁大谁小，那么就按两个根之间的大小关系来分类.

2

例2．解关于x的不等式 ax+2ax+1>0(a?R) 解:此题应按a是否为0来分类.

（1）当a=0时，不等式为1>0, 解集为R. （2）a?0时分为a>0 与a<0两类

??a?0?a?0?a?0??2???a?1时，方程ax2+2ax+1=0有两 ①?????0?4a?4a?0?a(a?1)?0根

a(a?1)?2a?4a2?4a?a?a2?a x1,2?. ???1?2aaaa(a?1)a(a?1) 则原不等式的解为(??,?1?)?(?1?,??).

aa??a?0?a?0?a?0??2???0?a?1时， ②?????0?4a?4a?0?0?a?1 方程ax+2ax+1=0没有实根，此时为开口向上的抛物线，则不等式的解为（-?，+?）.

2

??a?0?a?0?a?0??2???a?1时， ③ ?????0?4a?4a?0?a?0或a?1 方程ax+2ax+1=0只有一根为x=-1，则原不等式的解为(-?,-1)∪(-1,+?).

2

2

④??a?0??????0?a?0?a?0??4a2?4a?0???a?0时， ?a?0或a?1 方程ax2

+2ax+1=0有两根，x?2a?a(a?1)a1,2?2a??1?(a?1)a 此时，抛物线的开口向下的抛物线，故原不等式的解为:

(?1?a(a?1)a(a?1)a,?1?a). ⑤??a?0???????0?a?0a?0?2?4a?0???a?? ?4a?0?a?1综上:

当0≤a<1时，解集为（-?，+?）. 当a>1时，解集为(??,?1?a(a?1)a)?(?1?a(a?1)a,??). 当a=1时，解集为(-?,-1)∪(-1,+?). 当a<0时，解集为(?1?a(a?1)a,?1?a(a?1)a).

例3．解关于x的不等式ax2

-2≥2x-ax(a∈R)(黄冈，二模 理科）

解:原不等式可化为? ax2

+(a-2)x-2≥0, (1)a=0时，x≤-1，即x∈(-∞,-1]. (2)a?0时，不等式即为(ax-2)(x+1)≥0. ① a>0时， 不等式化为(x?2a)(x?1)?0， ?a?0 当??2，即a>0时，不等式解为(??,?1]?[2,??).

??a??1a?a?0 当??2，此时a不存在.

??a??1② a<0时，不等式化为(x?2a)(x?1)?0，

?a? 当?0??2，即-2

?a?0 当???2，即a<-2时，不等式解为[?1,2].

?a??1a?a? 当?0?2，即a=-2时，不等式解为x=-1.

??a??1综上:

3

a=0时，x∈(-∞,-1).

a>0时，x∈(??,?1]?[2a,??).

-2

a<-2时，x∈[?1,2a].

a=-2时，x∈{x|x=-1}.

评述:通过上面三个例题的分析与解答，可以概括出分类讨论问题的基本原则为: 10

:能不分则不分； 20

:若不分则无法确定任何一个结果； 30

:若分的话，则按谁碍事就分谁.

例4．已知函数f(x)=cos2x+asinx-a2

+2a+5.有最大值2，求实数a的取值. 解:f(x)=1-sin2

x+asinx-a2

+2a+5??(sinx?a2)2?34a2?2a?6. 令sinx=t, t∈[-1,1]. 则f(t)??(t?a2)2?34a2?2a?6(t∈[-1,1]). (1)当

a?1即a>2时，t=1，y32max??a?3a?5?2 解方程得:a?3?213?212或a?2（舍）. (2)当?1?a2?1时，即-2≤a≤2时，t?a2,y32max??4a?2a?6?2,

解方程为:a??43或a=4（舍）.

(3)当a2??1 即a<-2时， t=-1时，y=-a2

max+a+5=2

即 a2

-a-3=0 ∴ a?1?13?1?132, ∵ a<-2, ∴ a?2全都舍去.

综上，当a?3?212或a??43时，能使函数f(x)的最大值为2.

例5．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明:

log0.5Sn?log0.5Sn?22?log0.5Sn?1.

证

明

:

（

1

）

当

q=1

时

，

Sn=na1

从

S?S22nn?2?Sn?1?na1?(n?2)a1?(n?1)2a1??a21?0 （2）当q≠1时，Sa1(1?qn)n?1?q， 从而

a1?qn)(1?qn?2)?a S1(1?qn?1)2n?S212(2n?2?Sn?1???a12(1?q)2qn?0.

由（1）（2）得:S2n?Sn?2?Sn?1.

而4

x ∵ 函数y?log0.5为单调递减函数.∴

log0.5Sn?log0.5Sn?2?log0.5Sn?1.

2

例6．设一双曲线的两条渐近线方程为2x-y+1=0, 2x+y-5=0，求此双曲线的离心率. 分析:由双曲线的渐近线方程，不能确定其焦点位置，所以应分两种情况求解.

(x?1)2(y?3)2??1，解:（1）当双曲线的焦点在直线y=3时，双曲线的方程可改为

ab2bcb2?a25a2一条渐近线的斜率为?2， ∴ b=2.∴ e????5.

aaa5 （2）当双曲线的焦点在直线x=1时，仿（1）知双曲线的一条渐近线的斜率为此时e?a?2，b5. 25. 2 综上（1）（2）可知，双曲线的离心率等于5或评述:例5，例6，的分类讨论是由公式的限制条件与图形的不确定性所引起的，而例1-4是对于含有参数的问题而对参数的允许值进行的全面讨论.

例7．解关于x的不等式 5解:原不等式 ?5

a(1?x)?1x?2a(1?x)?1x?2?1.(黄冈2010，二模 理科）

?50

?a(1?x)(1?a)x?a?2?1?0??0?(x?2)[(1?a)x?(2?a)]?0

x?2x?2

?1?a?0?1?a?0?1?a?0?? ?(1)?或(2)?或(3)?2?a2?a)?0)?0?(x?2)(1?2)?0?(x?2)(x??(x?2)(x?1?a1?a?? 由(1) a=1时，x-2>0, 即 x∈(2,+∞). 由(2)a<1时，

2?a?0，下面分为三种情况. 1?a?a?1?a?12?a?). ①?2?a 即a<1时，解为(2,??1?a?2?a?0??1?a?a?1?a?1? ②?2?a???a?0时，解为?.

?2?a?0??1?a?a?1

?a?12?a?

,2). ③ ?2?a ? ? 即0

?1?a

2?a 由（3）a>1时，的符号不确定，也分为3种情况.

1?a 5

?a?1?a?1? ①?2?a ? a不存在. ???2?a?0?1?a??a?1?a?12?a?)?(2,??). ② ?2?a???当a>1时，原不等式的解为:(??,1?a?2?a?0??1?a综上:

a=1时，x∈(2,+∞). a<1时，x∈(2, a=0时，x??.

2?a) 1?a2?a,2) 1?a2?a)?(2,??). a>1时，x∈(??,1?a 0

评述:对于分类讨论的解题程序可大致分为以下几个步骤: 0

1:明确讨论的对象，确定对象的全体； 0

2:确定分类标准，正确分类，不重不漏； 0

3:逐步进行讨论，获得结段性结记； 0

4:归纳总结，综合结记.

课后练习:

1．解不等式logx(5x2?8x?3)?2 2．解不等式|log1x|?|log1(3?x)|?1

233．已知关于x的不等式

ax?5?0的解集为M.

x2?a（1）当a=4时，求集合M:

（2）若3?M，求实数a的取值范围.

2

4．在x0y平面上给定曲线y=2x, 设点A坐标为(a,0), a?R，求曲线上点到点A距离的最小值d，并写成d=f(a)的函数表达式.

参考答案:

1325392.[，]

44（，）?（，??）1.

32（??，2）?（，2）3. (1) M为 53??2a?1当a?1时4. d?f(a)??.

?当a?1时?|a| (2)a?(??,)?(9,??)

6

542高三数学函数重点题型分析

复习重点：函数问题专题，主要帮助学生整理函数基本知识，解决函数问题的基本方法体系，函数问题中的易错点，并提高学生灵活解决综合函数问题的能力。

复习难点：树立数形结合的思想，函数方程的思想解决有关问题。

主要内容：

（一）基本问题 1.定义域 2.对应法则 3.值域 4.图象问题 5.单调性 6.奇偶性（对称性） 7.周期性 8.反函数 9.函数值比大小 10.分段函数 11. 函数方程及不等式 （二）基本问题中的易错点及基本方法 1．集合与映射

<1>认清集合中的代表元素

<2>有关集合运算中，辨清：子集，真子集，非空真子集的区别。还应注意空集的情形，验算端点。

2．关于定义域

<1>复合函数的定义域，限制条件要找全。 <2>应用问题实际意义。

<3>求值域，研究函数性质（周期性，单调性，奇偶性）时要首先考察定义域。 <4>方程，不等式问题先确定定义域。 3．关于对应法则

注：<1>分段函数，不同区间上对应法则不同 <2>联系函数性质求解析式 4．值域问题

基本方法：<1>化为基本函数——换元（新元范围）。化为二次函数，三角函数，??并结合函数单调性，结合函数图象，求值域。

<2>均值不等式：——形如和，积，及f(x)?xb?形式。注意识别及应用条件。 ax<3>几何背景：——解析几何如斜率，曲线间位置关系等等。 易错点：<1>考察定义域

<2>均值不等式使用条件 5．函数的奇偶性，单调性，周期性。 关注问题：<1>判定时，先考察定义域。

<2>用定义证明单调性时，最好是证哪个区间上的单调性，在哪个区间上任取x1及x2。 <3>求复合函数单调区间问题，内、外层函数单调区间及定义域，有时需分类讨论。 <4>由周期性及奇偶性（对称性）求函数解析式。

<5>“奇偶性”+“关于直线x=k”对称，求出函数周期。 6．比大小问题

基本方法：<1>粗分。如以“0”，“1”，“-1”等为分界点。 <2>搭桥 <3>结合单调性，数形结合 <4>比差、比商 <5>利用函数图象的凸凹性。 7．函数的图象 <1>基本函数图象

<2>图象变换 ①平移 ②对称（取绝对值） ③放缩 易错点：复合变换时，有两种变换顺序不能交换。如下： 取绝对值（对称）与平移

7

例：由y?x图象，经过如何变换可得下列函数图象？

<1> y?|x|?1 <2>y?|x?1| 分析：<1> y?x?x?1x?|x|x?????y?x?1?????y?|x|?1.

平移对称 <2> y?评述：要由y?x?|x|x?x?1x?????y?|x|?????y?|x?1|.

对称x得到y?|x|?1只能按上述顺序变换，两顺序不能交换。

平移与关于y=x对称变换

-1

例：y=f(x+3)的反函数与y=f(x+3)是否相同？

??f(x?3)的反函数。 分析：①y?f(x)????y?f(x?3)????平移对称x?x?3(x,y)?(y,x)??y?f ②y?f(x)??????对称(x,y)?(y,x)?x?3?1(x)?x?????f?1(x?3).

平移 ∴两个函数不是同一个函数（也可以用具体函数去验证。） （三）重点题型例题：

例1．判断函数f(x)?(1?tgx?tg)?sinx的奇偶性及周期性。

x2??x?k???x?2k?????2?2??分析：<1>定义域：??(k?Z)

x?k???x?k????2??2? ∴ f(x)定义域关于原点对称，如图： 又f(x)?(1?tgx?1?cosx)sinx?tgx sinx ∴ f(-x)=-f(x),

∴ f(x)周期?的奇函数。

评述：研究性质时关注定义域。

例2．<1>设f(x)定义在R上的偶函数，且f(x?3)??1，又当x∈[-3,-2]时，f(x)f(x)=2x，求f(113.5)的值。

<2>已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

1 f(x)1?f(x)， ∴ f(x)周期T=6， ∴ f(x?6)??f(x?3)解：<1>∵ f(x?3)?? ∴ f(113.5)=f(6?19-0.5)=f(-0.5). 当x∈(-1,0)时，x+3∈(2,3).

∵ x∈(2,3)时，f(x)=f(-x)=2x. ∴ f(x+3)=-2(x+3).

8

11, ?f(x?3)2(x?3)111 ∴ f(?)??.

1252?(??3)2 ∴ f(x)?? <2>（法1）（从解析式入手） ∵ x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1), ∴ 2-x∈(0,1), ∵ T=2.

∵ f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. ∴ f(x)=3-x, x∈(1,2).

小结：由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 （法2）（图象） f(x)=f(x+2)

如图：x∈(0,1), f(x)=x+1. x∈(-1,0)→f(x)=-x+1.

x∈(1,2)→f(x)=-(x-2)+1=3-x. 注：从图象入手也可解决，且较直观。

2

例3．<1>若x∈(1,2)时，不等式(x-1)

2

<2>已知二次函数f(x)=x+ax+5对任意t都有f(t)=f(-4-t)，且在闭区间Z[m,0]上有最大值5，最小值1，求m的取值范围。

2

分析：<1>设 y1=(x-1), y2=logax

x∈(1,2)，即x∈(1,2）时，曲线y1在y2的下方，如图： ∴ a=2时，x∈(1,2)也成立，∴a∈(1,2]. 小结：①数形结合 ②变化的观点

③注意边界点，a=2，x取不到2， ∴仍成立。 <2>∵f(t)=f(-4-t), ∴ f(-2+t)=f(-2-t)

2

∴ f(x)图象关于x=-2对称， ∴ a=4, ∴ f(x)=x+4x+5.

2

∴ f(x)=(x+2)+1, 动区间：[m,0], ∵ x∈[m,0], [f(x)]max=5, [f(x)]min=1, ∴ m∈[-4,0].

小结：函数问题，充分利用数形结合的思想，并应用运动变化的观点研究问题。如二次函数问题中常见问题，定函数动区间及动函数和定区间，但两类问题若涉及函数最值，必然要考虑函数的单调区间，而二次函数的单调性研究关键在于其图象对称轴的位置。以发展的眼光看，还可解决一类动直线定曲线相关问题。

例4．已知函数f(x)?logax?5,(a?0且a?1).(黄冈2011，二模 理科） x?5 (I)判定f(x)在x∈(-∞,-5)上的单调性，并证明。

(II)设g(x)=1+loga(x-3)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围。 分析：(I)任取x1

又 (x1-5)(x2+5)>0 且(x1+5)(x2-5)>0 0?(x1?5)(x2?5)?1,

(x1?5)(x2?5) ∴ 当a>1时，f(x1)-f(x2)<0, ∴ f(x)单调递增， 当00,∴f(x)单调递减。

9

(II)若f(x)=g(x)有实根，即：logax?5?1?loga(x?3)。 x?5?x?5?0? ∴ ?x?5?x?5.

??x?3?0x?5?a(x?3)有大于5的实根。 ∴ 即方程：

x?5x?5(x?5) （法1）a? （∵ x>5） ?(x?3)(x?5)(x?5?2)(x?5?10)

?x?5?2(x?5)?12(x?5)?20 ∴ a?(0,1(x?5)?20?12(x?5)?112?220?3?5 163?5]. 16x?5?a(x?3)(1)有大于5的实根， （法2）（实根分布）

x?5 方程(1)化为：ax+(2a-1)x-15a+5=0.

2

∵ a>0, ∴Δ=64a-24a+1≥0.

2

???5 ①有一根大于5 ???.

f(5)?0?????0?3?5?a?(0,]. ②两根均大于?f(5)?016?1?2a??5?2a 小结：实根分布即利用二次函数图象及不等式组解决问题。用此数形结合方法解决问题时，具体步骤为：①二次函数图象开口方向。②图象对称轴的位置。③图象与x轴交点。④端点函数值的符号。此题(2)中，也可以用韦达定理解决。

小结：

函数部分是高考考察重点内容，应当对其予以充分的重视，并配备必要例题，理顺基本方法体系。

练习：

已知f(x)是定义在[-1，1]上的奇函数，且f(1)=1,若m,n∈[-1,1]，m+n≠0时,有

f(m)?f(n)?0。

m?n<1>用定义证明f(x)在[-1，1]上是增函数。

2

<2>若f(x)≤t-2at+1对所有x∈[-1,1]，a∈[-1,1]恒成立，求实数t的取值范围。 参考答案：

(2)|t|≥2或t=0.

10

sin(???)?5cos(2???)5 （2）1+cos2?-sin2?.

3??23sin(??)?cos(??)22解：由已知：-sin?=2cos?，有 tg?=-2, 则

?sin??5cos??tg??57（1）原式===-。

5?3cos??sin??3?tg?52

（2）1+cos?-sin2?

255sin2??2cos2??sin2?tg2??2??2tg?22== 222sin??cos?tg??1（1）

(?2)2?2?5(?2)16==. 25(?2)?1asin??bcos?评述：对于形如为关于sin?与cos?的一次分式齐次式，处理的方法，

csin??dcos?52

就是将分子与分母同除以cos?，即可化为只含tg?的式子。而对于1+cos?-sin2?属于

222

关于sin?与cos?的二次齐次式。即sin?+2cos?-5sin?cos?. 此时若能将分母的“1”用22

sin?+cos?表示的话，这样就构成了关于sin?与cos?的二次分式齐次式，分子分母同除以2

cos?即可化为只含有tg?的分式形式。

例7．求函数y=25?x2+logsinx(2sinx-1)的定义域。(黄冈，二模 理科）

??25?x?0??5?x?5???5???sinx?0(k?Z) 解：使函数有意义的不等式为：? ? ?2k???x?2k??66??sinx?1???2sinx?1?0?x?2k??(k?Z)?2?将上面的每个不等式的范围在数轴上表示出来，然后，取公共部分，由于x?[-5,5]，故下面的不等式的范围只取落入[-5，5]之内的值，即

2∴因此函数的定义域为：

3?3?7????5?)∪(-,-)∪(,)∪(,)。

2266226sec??tg??11?sin?例8．求证：=.

sec??tg??1cos?[-5,-证法一（左边化弦后再证等价命题） 1sin???11?sin??cos?左边=cos?cos?=

1sin???11?sin??cos?cos?cos?要证

1?sin??cos?1?sin?=

1?sin??cos?cos?只需证：(1+sin?+cos?)cos?=(1-sin?+cos?)(1+sin?)

2

左边=cos?+sin?cos?+cos?

16

右边=1-sin?+cos?+cos?sin?=cos?+cos?+sin?cos? ∵左边=右边，∴原等式成立。 或证等价命题：

22

1?sin??cos?1?sin?-=0

1?sin??cos?cos?证法二（利用化“1”的技巧）

sec??tg??(sec2??tg2?)左边=

sec??tg??1=

?sec??tg??(1?sec??tg?)=sec?+tg?=1?sin?=右边。

sec??tg??1cos?证法三（利用同角关系及比例的性质）

22

由公式 sec?-tg?=1

?(sec?-tg?)(sec?+tg?)=1

1sec??tg??=.

sec??tg?1sec??tg??11?sin?=sec?+tg?=.

1?sec??tg?cos?证法四（利用三角函数定义）

yyrx证sec?=, tg?=, sin?=, cos?=.

xrxr然后代入所证等式的两边，再证是等价命题。 其证明过程同学自己尝试一下。

评述：证明三角恒等式的实质，就是逐步消除等号两边结构差异的过程，而“消除差异”的理论依据除了必要三角公式以外，还需要有下列等式的性质：

(1)若A=B，B=C则A=C（传递性） (2)A=B?A-B=0

A(3)A=B?=1 (B?0)

BAC(4)=? AD=BC (BD?0)

BD(5)比例：一些性质，如等比定理：

aa?a2???ana1a2aaa若1=2=??=n，则1===??=n。 b1b2bnb1?b2???bnb1b2bn由等比定理有：

1．如果?是第二象限角，则限

2．在下列表示中正确的是（ ） A、终边在y轴上的角的集合是{?|?=2k?+

?所在的象限是（ ） 2A、第一象限 B、第一或第三象限 C、第二象限 D、第二或第四象

?2, k?Z}

B、终边在y=x的直线上的角的集合是{?|?=k?+C、与(-

?43, k?Z} , k?Z}

?3)的终边相同的角的集合是{?|?=k?-

?D、终边在y=-x的直线上的角的集合是{?|?=2k?-3．若?

?4, k?Z}

3logsin??, 则22等于（ ） 217

A、sin(?-?) B、-sin? C、cos(?-?) D、-csc? 4．函数y=2sin(

x??)在[?，2?]上的最小值是（ ） 26A、2 B、1 C、-1 D、-2 5．已知函数y=cos(sinx)，下列结论中正确的是（ ） A、它的定义域是[-1，1] B、它是奇函数； C、它的值域是[0, 1] D、它是周期为?的函数 6．设0

?4，下列关系中正确的是（ ）

A、sin(sinx)

?3?4=，cos=-，则??[0, 2?]，终边在（ ）

5252A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

8．如果一弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是（ ）

11?1A、sin B、 C、 D、2sin

1226sin22k?16?+?) (k?Z), 结果是（ ） 72??6??A、tg B、ctg C、ctg D、-tg

77779．化简三角函数式tg(10．设??(0,

?2)，A??cos???sin?，B??sec??tg?的大小是（ ）

A、A>B B、A≥B C、A

答案: B B D C D A D C B C

5正、余弦函数的有界性之解题作用

正、余弦函存在着有界性，即sinx?1，cosx?1，在一些数学问题中灵活地加以运用，沟通三角函数与数值间的关系，能大大简化解题过程。

例1．若实数x满足log2x?2sin??3，求x?2?x?32的值。(黄冈，二模 理科） 解：原方程可化为sin??3?log2x， 2 18

因为?1?sin??1，所以?1?3?log2x?1， 2所以1?log2x?5，所以2?x?32 所以x?2?x?32?x?2?32?x?30。

例2．在?ABC中，cos?A?B??sin?A?B??2，试判定三角形的形状。 解：因为cos?A?B??1，sin?A?B??1，又cos?A?B??sin?A?B??2， 所以cos?A?B??1，sin?A?B??1 而???A?B??，0?A?B??， 于是A?B?0，A?B?所以，A?B??2

?4。故?ABC为等腰直角三角形。

2例3．已知四边形ABCD中的角A、C满足cos求证：B?D?? 证明：由已知条件有cos2A?CAC3?sin2?sin2? 3324A?C1?2A?1?2C?3??1?cos???1?cos?? 32?3?2?3?4所以cos?由于cos2A?CA?C1?A?C?cos??0 ??cos3334??A?CA?CA?C1?1。从而cos2?cos??0 333422A?C1?A?C1???所以?cos???0，但?cos???0，

3232????A?C1A?C1??0，cos?。 3232所以A?C??，故B?D??。

所以cos例4．已知函数f?x??ax?b，2a?6b?3，求证：对于任意x???1,1?，有

22f?x??2。

证明：因为2a?6b?3，所以?22?2???3a????2?2b?2?1。

令

221cos? a?sin?，2b?cos?，则a?sin?，b?33219

所以f?x??31sin?x?cos??22?3x2?11?sin????????arctg??? 23x??3x2?13x2?1从而f?x?? sin??????22又x?1，故f?x??例5．证明：1?证明：设

23x?122?4?2 234sin??cos??2。

34sin??cos??k，则只须证明1?k?2。

因为k?sin??cos??2sin?cos?? ?1?sin2???sin??cos??2?2sin2?

2sin2?

2因为0?sin2??1，所以1?k?从而1?k?2。故1?342?2?22，

cos??2。

34sin??例6．复数z1，z2，z3的幅角分别为?、?、?，z1?1，z2?k，z3?2?k，且z1?z2?z3?0，问k为何值时，cos?????分别取得最大值和最小值，并求出最大值和最小值。

解；因为z1?cos??isin?，z2?k?cos??isin??，z3??2?k??cos??isin??， 因为z1?z2?z3?0，

所以?cos??kcos???2?k?cos???i?sin??ksin???2?k?sin???0。 因而cos???kcos???2?k?cos?，sin???ksin???2?k?sin?。 两式平方相加得1?k2??k?2??2k?k?2?cos?????

2由题设知k?0，k?2，

2?k?2??k2?13所以cos????????（＊） ?1?22k?k?2?2?k?1??2因为cos??????1，所以?2?32?k?1??22?0，

20

解之得

13?k?。 221。 2由（＊）知，当k?1时，?cos??????min??又由（＊）及

1313?k?知，当k?、时，?cos??????min??1。

2222例7．设a为无理数，求证：函数f?x??cosx?cosax不可能是周期函数。 证明：假设f?x?是周期函数，则存在常数T?0，使对于任意的x，

cos?x?T??cosa?x?T???cosx?cosax都成立。

令x?0得，cosT?cosaT??cos0?cos0?2 因为cosT?1，cosaT?1，所以cosT?cosaT?1 从而T?2K?，aT?2L?K,L为整数 所以a???aTL?。 TKL为有理数，但a为无理数，这是不可能的，故命题成立。 K此时K，L为整数，则

1．（2010年全国）在(0,2?)内，使sinx>cosx成立的x取值范围为（ ）。

?5?,)?(?,) B、(,?)

4424?5??5?3?) D、(,?)?(,) C、(,44442 A、(解：在(?????5?,)内，sinx>cosx，在[,?]内sinx>cosx；在(?,)内，sinx>cosx；综4224上，∴ 应选C。

2．（2011年黄冈） tg3000?ctg4050的值为（ ）。

A、1?3 B、1?3 C、?1?3 D、?1?3 解：tg3000?ctg4050

?tg(3600?600)?ctg(3600?450) ??tg60?ctg4500

??3?1∴ 应选B。

3．(黄冈，二模 理科）已知点P(sin?-cos?,tg?)在第一象限，则在[0，2?]内?的取值范围是（ ）

5???5?) B、(,)?(?,)

244424?3?5?3???4?)?(,) D、(,)?(,?) C、(,2442423 A、(?3?,)?(?, 21

?sin??cos??0?sin??cos???解：由题设，有?tg??0 ???3?

??(0,)?(?,)?0???2??22?? 在[0，2?）的范围内，在同一坐标系中作出y=sinx和y=cosx的图像，可在??(?5?4,4)时，sin?>cos?。

∴??(??5?,)?(?,) 424 应选B。

4．（1998年全国）sin600?的值是（ ）。 A、

1133 B、? C、 D、? 2222解：sin600?=sin(360?+240?)=sin240?

=sin(180?+60?)=-sin60? =? ∴应选D。

3 26高考数学数列重点题型分析

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.

一、等差数列与等比数列

例1．A＝{递增等比数列的公比}，B＝{递减等比数列的公比}，求A∩B． 解：设q∈A，则可知q>0（否则数列为摆动数列）．

nn－1n－1

由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)>0，得 当a1＞0时，那么q＞1；当a1＜0时，则0＜q＜1． 从而可知 A＝{q | 01}．

nn－1n－1

若q∈A，同样可知q>0．由an＋1－an＝a1·q－a1·q＝a1·q(q－1)＜0，得 当a1＞0时，那么0＜q＜1；当a1＜0时，则q＞1． 亦可知 B＝{q | 01}． 故知A∩B＝{q | 01}．

说明：貌似无法求解的问题，通过数列的基本量，很快就找到了问题的突破口！

22n－1

例2．求数列1，(1＋2)，(1＋2＋2)，??，(1＋2＋2＋??＋2)，??前n项的和．

分析：要求得数列的和，当务之急是要求得数列的通项，并从中发现一定规律．而通项又是一等比数列的和．设数列的通项为an，则an＝1＋2＋2＋??＋2－1．从而该数列前n项的和

23n

Sn＝(2－1)＋(2－1)＋(2－1)＋?＋(2－1)

2

n－1

1·(1－2)n＝ ＝2

1－2

n

22

2·(1－2)n＋1

＝(2＋2＋2＋?＋2)－n＝ －n＝2－n－2．

1－2

2

3

n

n

说明：利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn?n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22(q?1)?na1?n2、等比数列求和公式：Sn??a1(1?q)a1?anq

?(q?1)?1?q?1?q3、 Sn?1k?n(n?1) ?2k?112k?n(n?1)(2n?1) ?6k?113k?[n(n?1)]2 ?2k?1nnn4、Sn?5、 Sn?常用的数列求和方法有：利用常用求和公式求和；错位相减法求和；反序相加法求和；

分组法求和；裂项法求和；合并法求和；利用数列的通项求和等等。

1

例3．已知等差数列{an}的公差d＝ ，S100＝145．设S奇＝a1＋a3＋a5＋??＋a99，S＇

2＝a3＋a6＋a9＋??＋a99，求S奇、S＇．

解：依题意，可得 S奇＋S偶＝145，

即S奇＋(S奇＋50d)＝145， 即2 S奇＋25＝145， 解得，S奇＝120．

(a1＋a100)100

又由S100＝145，得 ＝145，故得a1＋a100＝2.9

2S＇＝a3＋a6＋a9＋??＋a99 ＝

(a3＋a99)33(a2＋a100)33(0.5＋a1＋a100)33(0.5＋2.9)33

＝ ＝ ＝ ＝1.7·33＝2222

56.1．

说明：整体思想是求解数列问题的有效手段！

例4．在数列{an}中，a1＝b(b≠0)，前n项和Sn构成公比为q的等比数列。 （1）求证：数列{an}不是等比数列；

（2）设bn＝a1S1＋a2S2＋?＋anSn，|q|<1，求limbn。

n??解：（1）证明：由已知S1＝a1＝b ∵{Sn}成等比数列，且公比为q。

n－1n－2

∴Sn＝bq，∴Sn－1＝b·q(n≥2)。

n－1n－2n－2

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝bq－bq＝b·(q－1)·q an＋1b(q－1)·q

故当q≠1时， ＝n－2 ＝q，

anb(q－1)·qa2b(q－1)

而 ＝ ＝q－1≠q，∴{an}不是等比数列。 a1b

n－1

23

当q＝1，n≥2时，an＝0，所以{an}也不是等比数列。 综上所述，{an}不是等比数列。

（2）∵|q|<1，由（1）知n≥2，a2，a3，a4，?，an构成公比为q的等比数列，∴a2S2，

2

a3S3，?，anSn是公比为q的等比数列。

2242n－4

∴bn＝b＋a2S2·(1＋q＋q＋?＋q) ∵S2＝bq，a2＝S2－S1＝bq－b

2

∴a2S2＝bq(q－1)

1－q

∴bn＝b＋bq(q－1)·2 1－q

2

2

2n－2

∵|q|<1 ∴limq

n??2n－2

＝0

2

2

2

1b

∴limbn＝b＋bq(q－1)· 2 ＝

1－q1＋qn??说明： 1＋q＋q＋?＋q的最后一项及这个式子的项数很容易求错，故解此类题时

要细心检验。数列的极限与数列前n项和以及其他任何有限多个项无关，它取决于n→∞时，数列变化的趋势。

二、数列应用题

例5． (2001年全国理)从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，1

并以此发展旅游产业. 根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少 .本

5年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游1

业收入每年会比上年增加 。(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总

4收入为bn万元. 写出an，bn的表达式(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入? 15

解：第1年投入800万元，第2年投入800×(1－ )万元??，

541n－1

第n年投入800×(1－ )万元

5

11n－14n所以总投入an＝800＋800(1－ )＋??＋800×(1－ )＝4000［1－( )］

5551

同理：第1年收入400万元，第2年收入400×(1＋ )万元，??，

41n－1

第n年收入400×(1＋ )万元

4

2

4

2n－4

bn＝400＋400×(1＋ )＋??＋400×(1＋ )n－1＝1600×［( )n－1］

5n4n(2)∴bn－an＞0，1600［( )－1］－4000×［1－( )］＞0

454n5n化简得，5×( )＋2×( )－7＞0

54

1

41454

24

4n24n22

设x＝( )，5x－7x＋2＞0 ∴x＜ ，x＞1(舍) 即( )＜ ，n≥5.

5555

说明：本题主要考查建立函数关系式，数列求和，不等式等基础知识，考查综合运用数学知

识解决实际问题的能力。解数学问题应用题重点在过好三关：(1)事理关：阅读理解，知道命题所表达的内容；(2)文理关：将“问题情景”中的文字语言转化为符号语言，用数学关系式表述事件；(3)数理关：由题意建立相关的数学模型，将实际问题数学化，并解答这一数学模型，得出符合实际意义的解答。

例6．某县位于沙漠地带，人与自然长期进行着顽强的斗争，到2001年底全县的绿化率已达30%。从2002年开始，每年将出现这样的局面，即原有沙漠面积的16%将被绿化，与此同时，由于各种原因，原有绿化面积的4%又被沙化。 3

(1)设全县面积为1，2001年底绿化面积为a1＝ ，经过n年绿化总面积为an＋1

1044

求证an＋1＝＋ an

255

(2)至少需要多少年(年取整数，lg2＝0.3010)的努力，才能使全县的绿化率达到60%？ (1)证明：由已知可得an确定后，an＋1表示如下：an＋1= an(1－4%)＋(1－an)16%

44

即an＋1=80% an +16%= an +

525

44

(2)解：由an＋1= an+可得：

525

4444244n4an＋1－ = (an－ )=( )(an－1－ )=?=( )(a1－ )

5555555

14n4314n4314n－1

故有an＋1＝－ ( )＋ ，若an＋1≥ ，则有－ ( )＋ ≥ 即 ≥( )

2555255525

两边同时取对数可得－lg2≥(n－1)(2lg2－lg5)＝(n－1)(3lg2－1)

lg2

故n≥ ＋1＞4，故使得上式成立的最小n∈N＋为5，

1－3lg2

故最少需要经过5年的努力，才能使全县的绿化率达到60%.

三、归纳、猜想与证明

12

例7．已知数列{ an}满足Sn＋an＝ (n＋3n－2)，数列{ bn}满足b1＝a1，

2且bn＝an－an－1－1(n≥2).

(1)试猜想数列{ an}的通项公式，并证明你的结论;

112

解：（1）∵Sn＋an＝ (n＋3n－2)，S1＝a1，∴2a1＝ (1＋3×1－2)＝1，

22

1111712

∴a1＝ ＝1－ .当n＝2时，有 ＋2a2＝ (2＋3×2－2)＝4， ∴a2＝ ＝2－2

2222421

猜想，得数列{ an}的通项公式为an＝n－n 2(2)若cn＝b1＋b2＋?＋bn，求limcn的值.

n?? 25

＝?＝(b1)

2n?112n?1＝( ) 2

∴Sn＝b1＋b2＋?＋bn

11212212312412n?11n＝ ＋( )＋( )＋[( )＋( )＋?＋( )]＝1－( ) 2222222777

由此可知，当n＜3时，Sn＜ ，当n＝3时，Sn＝ ，当n＞3时，Sn＞ ．

888又∵2

n－1

＝(1＋1)

n－1

23n－1＝1＋C1n－1＋Cn－1＋Cn－1＋??＋Cn－1

则当n≥4时，2

n－1

2＞1＋C1n－1＋Cn－1

(n－1)(n－2)

＝1＋(n－1)＋ >n＋1

212n?11n＋1∴( )<( ) 22

11212212312412n?11n∴Sn＝ ＋( )＋( )＋[( )＋( )＋?＋( )]＝1－( )

22222227由此可知，当n≥4时，Sn＞ ．

8

112122111137

当n＝3时，Sn＝ ＋( )＋( )＝ ＋ ＋ ＝ ＜ ．

22224161687

故知当n≤3 时，Sn＜ ．

8

说明：本题是一道数列与函数的综合题。首先应准确地求出f(x)及其定义域。搞清定义域是解题成功的一半。根据函数f(x)解析式的特点，也可以利用三角代换x＝asecθ，π3π－1

θ∈[0,)∪[π,) ，求函数f(x)的值域，即f(x)的定义域。

22

4an－2Ban＋C例13．已知数列{an}中，a1＝4，an＋1＝ ，是否存在这样的数列{bn}，bn＝ ，

an＋1an＋A其中A、B、C为实常数，使得{bn}是等比数列而不是等差数列？证明你的结论，并求{an}的

取值范围。

解：假设这样的{bn}存在，则应有

4an－24B＋CC－2BB· ＋Can＋

an＋14＋A4＋ABan＋1＋C

bn＋1＝ ＝ ＝

an＋1＋A4an－2A－2

＋Aan＋an＋14＋ABan＋C

又 bn＝

an＋A

存在q≠0，q≠1，q为常数，使bn＋1＝qbn，对n∈N都成立，于是比较两边的分子和分母，有

－1

31

?????

A－2

＝A (1)4＋A4B＋C

＝Bq (2) 4＋AC－2B

＝Cq (3)4＋A

由（1）可解得A＝－1或－2，由（2）、（3）可解得B＝－C或C＝－2B。

?A＝－11°若? 代入（2）知q＝1（B、C不能为0，否则bn＝0，不合题意要求）舍去。

?B＝－C?A＝－122°若? 代入（2）得q＝ 3?C＝－2B?A＝－23

3°当? 时，q＝ 2?B＝－C?A＝－2

4°当? 时，q＝1（舍去）

?C＝－2B

23

故现只取A＝－1，B＝1，C＝－2，q＝ （不必考虑q＝ 时的情况，因为只证存在性）。

32an－2

得bn＝ an－1

所以满足题设条件的数列存在。

对于{an}的取值范围，我们可以这样解. 4an－2

∵an＋1－an＝ －an

an＋1

(an－2)(an－1)＝－ ，a1＝4>2，故a2

(an＋1)

如果能证明所有的an都大于2，便可用数学归纳法证明{an}是单调递减的。事实上 4an－22(an－2)

∵an＋1－2＝ －2＝ an＋1an＋1

由上式，我们也可用数学归纳法由a1>2，得an>2，所以{an}单调递减。且因为an>2，所以

2(an－2)2

an－2＝ < (an－1－2)

an＋13222n－1

<( )(an－2－2)

n??说明：存在性问题的解法常是假设存在经过推理、运算或是求出结论得出存在或是得出矛盾证明不存在。本题的{an}的范围还可用前半部分的结论来求。解法如下：

a1－222n an－22n

b1＝ ＝ ，故bn＝( )∴ ＝( )

a1－133an＋13∴an＝

12n

1－()3

＋1

由此易得an∈(2，4]。

32

例14． （1）设数列{cn}，其中cn＝2＋3，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p。（2）设数列{an}、{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：{cn}不是等比数列。

证明：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，故有

2

(cn＋1－pcn)＝(cn＋2－pcn＋1)·(cn－pcn－1)

nn

将cn＝2＋3代入上式，得： n＋1n＋1nn2n＋2n＋2n＋1n＋1nnn－1n－1

[2＋3－p(2＋3)]＝[2＋3－p(2＋3)]·[2＋3－p(2＋3)]

1nn

整理得： (2－p)(3－p)·2·3＝0

6

解之得：p＝2或p＝3。

（2）设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，cn＝an＋bn。

2222222

为证{Cn}不是等比数列，只要证明c2≠c1·c3 事实上： c2＝(a1p＋b1q)＝a1p＋b1q＋2a1b1pq

22

c1c3＝(a1＋b1)(a1p＋b1q)

222222

＝a1p＋＋b1q＋a1b1(p＋q)

222

∵p≠q，∴p＋q>2pq，又a1，b1不为零，∴c2≠c1·c3，故{cn}不是等比数列。

说明： 本题是2000年全国高考数学试题。其证法很多，建议读者从不同的角度审视此题。我们可以得出更一般的结论；

nn

推论1：设数列{cn}，cn＝a＋b且a≠b，则数列{cn＋1－pcn}为等比数列的充要条件是p＝a或p＝b。

推论2：设{an}、{bn}是两个等比数列，则数列{an＋bn}为等比数列的充要条件是，数列{an}，{bn}的公比相等。

推论3：公比为a、b的等比数列{an}，{bn}，且a≠b，s、t为不全为零的实数，cn＝san

＋tbn为等比数列的充要条件是st＝0。

例15．数列{an}中，a1＝8，a4＝2且满足an＋2＝2an＋1－an n∈N(黄冈，三模 理科） （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设Sn＝|a1|＋|a2|＋?＋|an|，求sn;

1

（3）设bn＝ ( n∈N)，Tn＝b1＋b2＋?＋bn( n∈N)，是否存在最大的整数m，

n(12－an)m

使得对任意n∈N，均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由。

32

解：（1）由an＋2＝2an＋1－an?

a4－a1an＋2－an＋1＝an＋1－an，可知{an}成等差数列，d＝ ＝－2

4－1－∴an＝10－2n

（2）由an＝10－2n≥0得n≤5

2

∴当n≤5时，Sn＝－n＋9n

2

当n>5时，Sn＝n－9n＋40

?－n＋9n 1≤n≤5故Sn＝?2 （n∈N）

?n－9n＋40 n＞5

2

nn

11111

（3）bn＝ ＝ ＝ (－ )

n(12－an)n(2n＋2)2nn＋1

33

∴Tn＝ b1＋b2＋?＋bn

1111111111

＝ [(1－ )＋( － )＋( － )＋??＋( － )]＝ (1－ )＝

222334n－1n2n＋1n

2(n＋1)

n－1＞ ＞Tn－1＞Tn－2＞??＞T1. 2n

mm1

∴要使Tn> 总成立，需

323247．

7高考数学数列专项训练{黄冈题库}

一.选择题:

1．lgx，lgy，lgz成等差数列是x，y，z成等比数列的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．(文)在等比数列?an?中,则a7·a11=6，a4?a14?5,则

a20=( ) a10A.

232323 B. C.或 D.?或? 323232(理)若

?an?是等比数列,其中a3,a7是方程2x?3kx?5?0的两根,且

2(a3?a7)2?4a2a8?1,则k的值为( )

A.?282211 B.11 C.?11 D. 33333．数列?an?满足an

A.?>0 B.?<0 C.?=0 D.?>-3 4．设数列1,(1+2),(1+2+2)?(1+2+2+?+2nn22n?1)的前n项和为Sn,则Sn等于( )

n?1A.2 B.2-n C.2-n D.2n?1-n-2

5．某工厂月生产总值平均增长率为p,则年平均增长率为( )

A.12P B.p

12

C.(1?p)?1 D.(1?p)

12126．在数列?an?中,已知a1?1,a2?5,an?2?an?1?an(n?N?),则a2006等于( )

A.5 B.4 C.-1 D.-4

7．(理)给出一系列碳氢化合物的分子式:C6H6,C10H8,C14H10?,则该系列化合物的分子中含碳元素的质量分数最大可无限接近于( )

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A.95% B.96% C.97% D.98% (文)若数列?xn?的前n项和为Sn,且loga(sn?1)?n,则数列?xn?( )

A.只能是递增的等比数列 B.只能是递减的等差数列 C.只能是递减的等比数列 D.可能是常数列 8．已知1是a与b的等比中项,又是

11a?b与的等差中项,则2的值为( ) aba?b21111A.1或-? B.1或- C.1或 D.1或

332222229．若方程x?5x?m?0与x?10x?n?0的四个实根适当排列后,恰好组成一个首项为1的等比数列,则m：n的值为( )

A.4 B.2 C.

?511 D. 24510．等比数列?an?的首项为2,其前11项的几何平均数为2,若在这前11项中抽取一项后的几何平均数为2,则抽出的是( )

A.第6项 B. 第7项 C. 第9项 D. 第11项

11．如图所示,在杨辉三角中,斜线AB上方箭头所示的数组成的一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,?,记这个数列的前n项的和为S(n),则S(16)等于( )

A.128 B.144 C.155 D.164 12．（理）在等比数列?an?中,a1?sec?(?为锐角),且前n项和Sn满足limSn?n??51,那么?的取值范围是( ) a1A.(0,

????) B.(0,) C.(0,) D.(0,) 6432（文）根据调查，预测某家电商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn（万件）近似的满足Sn?n21n?n2?5??n?1,2,3,?,12?，按此预测，在本年度需求量超过1.5万件的月?90

B．6月和7月

10份是（ ）

A．5月和6月 二．填空题:

2C．7月和8月

2D．8月和9月

1013．已知lgx?lgx?...?lgx?110,则lgx?lgx????lgx=_____________ 14. 设数列?an?的前n项和为Sn（n?N*）. 关于数列?an?有下列三个命题： （1）若?an?既是等差数列又是等比数列，则an?an?1(n?N*)；

（2）若Sn?an2?bn?a、b?R?，则?an?是等差数列；

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