数学与应用数学毕业论文——正交矩阵及其应用

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本科生毕业设计（论文）正交矩阵及其应用

学院：

专业：数学与应用数学

学号：

学生姓名：

指导教师：

二〇一一年六月

摘要

如果n阶实矩阵A满足T

,那么称A为正交矩阵．正交矩阵是由内积引出的．

A A E

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三个应用．在线性代数中,求标准正交基一般用Schimidt正交化方法．本文论证了一种特殊的正交矩阵——初等旋转矩阵——也可以求任一向量空间的标准正交基,并通过实例说明此方法的应用．在化学上,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化为另一组相互正交的单位基向量．而线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,因此可以利用正交矩阵的性质求原子轨道的杂化轨道式．在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵,本文证明了曲线作刚体运动时曲率和挠率是两个不变量．

关键词：正交矩阵;初等旋转矩阵;标准正交基;原子轨道的杂化;曲率;挠率

Abstract

Orthogonal matrices and its applications

If a n-dimensional real matrix A satisfies E

AA T ,we call it orthogonal matrix. Orthogonal matrix is extracted by inner product.

This paper enumerats the applications of orthogonal matrix in linear algebra, chemistry, and physics. Schimidt method is always used to find the standard orthogonal basis in linear algebra. A special kind of orthogonal matrix, namely elementary rotational matrix, is established to find the standard orthogonal basis in this paper. The orbital atom heterozygous is actually made by a team of mutually orthogonal unit basis vector, through linear transformation into another group of mutually orthogonal unit basis in linear algebra. The transition matrix of a group of standard orgthogonal basis to another group of standard orthogonal basis is an orthogonal matrix. Therefore, properties of orthogonal basis can be used to find the orbital atom heterozygous. In physics, any rigid motion corresponds with an orthogonal matrix. The curvature and torsion rate are proved to be two invariants when a curve is in rigid motion.

Keywords:Orthogonal matrix; Elementary rotation matrix; Standard orthogonal basis; The orbital atom heterozygous; Curvature;Torsion rate

1.引言 (1)

2.正交矩阵的基本知识 (3)

2.1正交矩阵的定义与判定 (3)

2.2 正交矩阵的性质 (3)

3.正交矩阵的应用 (5)

3.1 正交矩阵在线性代数中的应用 (5)

3.2正交矩阵在化学中的应用 (11)

3.3正交矩阵在物理学中的应用 (14)

参考文献 (18)

致谢 (19)

III

正交矩阵及其应用

姓名：学号：班级：

1.引言

因为行列式要求行数等于列数,排成的表总是正方形的,通过对它的研究又发现了矩阵的理论.矩阵也是由数排成行和列的数表,可以行数和烈数相等也可以不等.

矩阵和行列式是两个完全不同的概念,行列式代表着一个数,而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法.利用矩阵这个工具,可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量;这样对于一个多元线性方程组的解的情况,以及不同解之间的关系等等一系列理论上的问题,就都可以得到彻底的解决.

矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研究和应用的一个重要工具.“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的,他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个述语.而实际上,矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了.从行列式的大量工作中明显的表现出来,为了很多目的,不管行列式的值是否与问题有关,方阵本身都可以研究和使用,矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的.在逻辑上,矩阵的概念应先于行列式的概念,然而在历史上次序正好相反.

凯莱先把矩阵作为一个独立的数学概念提出来,同研究线性变换下的不变量相结合,首先引进矩阵以简化记号并发表了关于这个题目的一系列文章.1858年,他发表了关于这一课题的第一篇论文《矩阵论的研究报告》,系统地阐述了关于矩阵的理论.文中他定义了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的转置以及矩阵的逆等一系列基本概念,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性.另外,凯莱还给出了方阵的特征方程和特征根（特征值）以及有关矩阵的一些基本结果.凯莱出生于一个古老而有才能的英国家庭,剑桥大学三一学院大学毕业后留校讲授数学,三年后他转从律师职业,工作卓有成效,并利用业余时间研究数学,发表了大量的数学论文.

1855年,埃米特(C.Hermite,1822～1901)证明了别的数学家发现的一些矩阵类的特征根的特殊性质,如现在称为埃米特矩阵的特征根性质等.后来,克莱伯施(A.Clebsch,1831.1872)、布克海姆(A.Buchheim)等证明了对称矩阵的特征根性质.泰伯(H.Taber)引入矩阵的迹的概念并给出了一些有关的结论.

在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849～1917)的贡献是不可磨灭的.他讨论

了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1854年,约当研究了矩阵化为标准型的问题.1892年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式.傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需要而开始的.

矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支——矩阵论.而矩阵论又可分为矩阵方程论、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论.矩阵的应用是多方面的,不仅在数学领域里,而且在化学、力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用.

本文主要介绍正交矩阵与其应用.

我们把n阶实数矩阵A满足E

AA T ,称A为正交矩阵.尽管我们在这里只考虑实数矩阵,但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵.

正交矩阵是由内积自然引出的,要看出其与内积的联系,考虑在n维实数内积空间中的关于正交基写出的向量v.v的长度的平方是2v.如果矩阵形式为Qv的线性变换保持了向量长度,所以有限维线性等距同构,比如旋转、反射和它们的组合,都产生正交矩阵.

本文例举了正交矩阵在线性代数、化学和物理中的三大应用.其中,在线性代数中,求标准正交基除了用Schimidt正交化方法外,本文论证了正交矩阵的其中一种矩阵...初等旋转矩阵也可以求任一矩阵的标准正交基,此法用实例与Schimidt正交化方法对比;在化学上,根据原子轨道的杂化理论,杂化的原子都有其轨道杂化式,对于形成对阵的原子轨道杂化,利用正交矩阵的性质可以求解该原子杂化轨道的杂化轨道式;在物理上,任一刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动,其曲率和挠率是不变的,本文考察了曲线做刚体运动时的不变量——曲率和挠率.

2.正交矩阵的基本知识

本节中在没有特别说明的情况下,A 都表示为正交矩阵,记矩阵A 的秩为()r A ,i α与j α为矩阵A 的第i 列与第j 列,T

i α表示矩阵A 的第i 行. d et A 表示行列式的值即d et A =A .

2.1正交矩阵的定义与判定

定义2.1.1[3] n 阶实数矩阵A 满足E AA T

=（或E A A T =,或E AA

=-1

）,则称A 为正

交矩阵.

判定2.1.2 矩阵A 是正交矩阵?1

T A A -=; 判定2.1.3 矩阵A 是正交矩阵?1()(,1,2,0

(),T

i j i j i j i j αα=?==?

≠? ，)n ;

判定2.1.4 矩阵A 是正交矩阵?1

()(,1,2,,0

(),

T i j

i j i j i j αα

=?==?≠? )n ;

备注：判定一个是方阵A 是否为正交矩阵往往用定义,即E AA

=（或E A A T

=,或

E AA

=-1

）,也可以验证A 的行向量或列向量是否是两两正交的单位向量.当已知A 的正交矩阵

求证其他的结论时,要用正交矩阵的定义及有关性质

2.2 正交矩阵的性质

若A 是正交矩阵,则A 有以下性质

([3])

：

性质2.2.5 1A =±,则A 可逆,且其逆1

-A 也为正交矩阵.

证明显然1±=A . ()

(

)

(

)

---==A

所以1

-A

也是正交矩阵.

性质2.2.6 *

A ,T

A ,也是正交矩阵, 即有:

(1)当1A =时, *

A A T =, 即*

()T

ij A A =;

(2)当1A =-时, *

A A T =, 即*

()T ij A A =-.

证明若A 是正交矩阵,1T A A -=, 由性质2.2.5,T

A 为正交矩阵.

因为A

A T

,1=

=±=-,所以,当1A =时, *

A A T =, 即*

()T ij A A =;当1A =-时.

A =-, 即*()

ij A A =-.从而*

A 为正交矩阵.

性质2.2.7 (1,2,)k

A k = 是正交矩阵. 证明因为()

(

)

A =,所以()

()

A A

E A

==.因此,k

A 也是正交

矩阵

性质2.2.8 lA 是正交矩阵的充分必要条件是1±=l .

证明必要性若lA 是正交矩阵,则另一方面()()

()1

1T lA lA lA lA l

A A --===,一方面

()

l A l A E =,于是,2

1l =,1±=l ;

充分性因为A 是正交矩阵,若1±=l ,显然lA 也是正交矩阵.

性质2.2.9 若B 也是正交矩阵, 则AB ,B A T

AB ,B A 1-,1

-AB

都为正交矩阵.

证明由1

,--==B

可知()()1

1---===AB A B A B AB T T T ,

故AB 为正交矩阵.同理推知B A T

,B A 1-,1

-AB

均为正交矩阵.

正交矩阵的性质主要有以上几点, 还有例如它的特征值的模为1, 且属于不同特征值的特征向量相互正交; 如果λ是它的特征值, 那么λ

也是它的特征值, 另外正交矩阵可以对角化, 即

存在复可逆矩阵T , 使

11n A T

T λλ-?? ?

= ? ??

, 其中n λλ,,1 为A 的全部特征值, 即()11,2,,i i n λ== . 这些性质证明略.

3.正交矩阵的应用

3.1 正交矩阵在线性代数中的应用

在线性代数中我们通常用施密特方法求标准正交基,现在可以用正交矩阵中的一种殊矩阵求标准正交基---初等旋转矩阵即Givens 矩阵.

定义3.1[1]

设向量(

)12,,,,0,,,T

i k

n t t

T t t t s c d s

≠=

则称n 阶矩阵

10001000000100100000

1ik

c d i G d c k i

?? ? ? ? ? ? ? ?= ?

? ?- ? ? ? ? ???

为向量T 下的Givens 矩阵或初等旋转矩阵,也可记作(),ik ik G G c s =.

下面给出Givens 矩阵的三个性质

[2],[10]

性质3.1.1 Givens 矩阵是正交矩阵.

证明由2222

1i k t t c d s

=,则G T

ik ik G E =,故ik G 是正交矩阵.

性质3.1.2 设()()1212,,,,,,,T T

n ik n T t t t y G T y y y === ,则有

,0,(,)i k j j y s y y t j i k ===≠.

证明由ik G 的定义知, (,)j j y t j i k =≠,且

i i k t t y ct d t s s

=+=

=0i k i k k i k t t t t y d t ct s

=-+=-

即ik G 右乘向量T ,只改变向量T 第i 和第k 个元素,其他元素不变.

性质 3.1.3 任意矩阵A 右乘ik G ,ik A G 只改变A 的第i 列和k 列元素; 任意矩阵左乘

ik G ,ik G A 只改变A 的第i 行和k 行元素.

证明由性质3.1.2和矩阵乘法易得结论. 引理3.1.4[2]

任何n 阶实非奇异矩阵 , ()

n ij

a A ?= 可通过左连乘初等旋转矩阵化为上三

角矩阵, 且其对角线元素除最后一个外都是正的.

定理3.1.5

[10]

设Q 是n 阶正交矩阵

()I 若1Q =, 则P 可表示成若干个初等旋转矩阵的乘积, 即12r Q Q Q Q = ;

()II 若1Q =-, 则Q 可以表示成若干个初等旋转矩阵的乘积再右乘以矩阵n E -, 即

12r n Q Q Q Q E -= , 其中(1,2,)i Q i r = 是初等旋转矩阵.

（11

n n

E -??? ? ? ?= ? ? ?-?

）. 证明由于Q 是n 阶正交矩阵,根据引理3.1.4知存在初等旋转矩阵12,,,r S S S , 使

121r r S S S S Q R -= （这里R 是n 阶上三角阵）,

而且R 的主对角线上的元素除最后一个外都是正的,于是

12T

r Q S S S R = （3-11）

注意到Q 是正交矩阵,由（3-11）式得,112T

r r Q Q R S S S S S R E == ,即

E R R =' （3-12）

设R =11

12122

2n n

n n r r r r r r ??

? ? ? ??

,其中,0(1,2,,1)ii

r i n >=- ,则

R R =1112

2212n

n n r r r r r r ?? ?

? ? ? ???

12122

2n n

n n r r r r r r ?? ? ? ? ? ??

=11

1??

? ? ?

? ??

. 由上式得

,(,1,2,,1)1,

(,1,2,,1)

11,1 1.

ij i j i j n i j i j n r i j n Q i j n Q ≠=-??==-?=?

===??-===-?

且且

所以

1,1n

E Q R E Q -?=?=?=-??，

当当 , （3-13）

即,当1Q =时,12T T T r Q SS S S = ;当1Q =-时, 12T T T

r Q S S S = n E -.

记(1,2,,)T

i i S Q i r == ,注意到i Q 是初等旋转矩阵,故定理1结论成立.

引理 3.1.6[1]

设1()ij n m R A a A m A Q O ???

=== ???

，秩（），则其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是

m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(零矩阵.

定理3.1.7

[10]

设()ij n m A a A m ?==，r （）,则A 可以通过左连乘初等旋转矩阵,把T

A 变为

R O ??

???

的形式,其中R 是m 阶上三角阵,O 是m m n ?-)(矩阵. 证明由引理3.1.6知1R A Q O ??

???

,其中Q 是n 阶正交矩阵,1R 是m 阶上三角阵.又根据定理1知：11

,1r n r Q Q E Q Q Q Q Q -?=-?=?=?? ,则12,i

Q i r = （，）是初等旋转矩阵. (I)当1Q =时,11211 T T

r r R R A Q Q Q R R Q Q A O O ????===

? ?????

令，; (II)当1Q =-时,112r n

R A Q Q Q E O -??= ??? ,则111.T T

r n n R R R Q Q A E E O O O --??????== ? ? ???????

记.

显然,R 是m 阶上三角阵,当n m =时,R 与1R 除最后一行对应元素绝对相等、符号相反外,其余元素对应相等.当时n m >时,

1R R =.

综上,知本定理的结论成立.

设112111n a a a α?? ? ?= ?

? ?

,1222

22n a a a α?? ? ?= ? ? ??? , ,12m

n m

a a

a α??

?= ? ? ???

是欧氏空间n R 的子空间n V 的一组基, 记

1112121

222121

()m m

m n n n m a a a a a a A a a a ααα??

?== ?

? ???

是秩为的n m ?的矩阵.

若()ij n m A a ?=满足定理2的条件,则存在初等旋转矩阵12,,,r Q Q Q ,使

T T

r R Q Q A O ??

= ???

（3-14）

且 12()T

r E Q Q Q Q Q == 21()T

r Q Q Q

所以

2121T

r r Q Q Q E Q Q Q Q == （3-15）由（3-14）（3-15）两式知,对A 、E 做同样的旋转变换,在把A 化为????

??O R 的同时,就将E 化

成了T Q ,而Q 的前m 个列向量属于子空间n

V .

综上所述可得化欧氏空间的子空间n

V 的一组基12,,,m ααα 12((,,,),1,T

i i i ni a a a i α==

2,,)m 为一组标准正交基的方法:

（1）由已知基12,,,m ααα 为列向量构成矩阵()ij n m A a ?=;

（2）对矩阵)(E A 施行初等旋转变换,化A 为???

??O

,同时E 就被化为正交矩阵T Q ,这里R 是

m 阶上三角阵;

（3）取Q 的前m 个列向量便可得n

V 的一组标准正交基. 显然,上述方法是求子空间n

V 的一组标准正交基的另一种方法. 下面,我们通过实例对比Schimidt 正交化求标准正交基.

例求以向量1(1,1,0,0)α=-,2(1,0,1,0)α=-,3(1,0,0,1)α=-为基的向量空间3

V 的一组标准正交基.

解方法一用Schimidt 正交化把它们正交化：

11(1,1,0,0)εα==-,

'2122'

11(,)11(,,1,0)(,)2

αεεαεε=-

31323312'

1122(,)(,)111(,,,1)(,)

(,)

αεαεεαεεεεεε=-

再把每个向量单位化,得

11'

(0,0)εεε=

22'

11(0)εεε=

33'

εεε=

即,

ε,2T

ε,3T

ε就是由123,,T

ααα,得到的3

V 的一组标准正交基.

方法二（利用连乘初等旋转矩阵）设

矩阵1231111

(,,)0100

1A ααα---?? ?

?== ? ???

, 对分块矩阵)(E A 依次左乘12T ,23T ,34T ,

022*********

1??- ? ? ?--

? ? ? ??

,23

0000000000

1?? ?

? ? ?- ?

? ??

?,34T

0000100100

221002

2??

? - ?

? -

-??

, 得

34T 23T 12

T )(E A

01100

0023111100

22??- ? ? ?-- ?

---

? ?-

--- ??

则

00211112

22T

? ?

? = -

? ?

---- ???

,1212

210

2P ??

- ? ? ?--- ?

?= ?-- ?

? ?- ??

, 取

1(0,0)T

P =-

2(0)T

P =-

3(2

P =-

那么321,,P P P 就是由123,,T T T

ααα,得到的3

V 的一组标准正交基.

对比两者的解法,用Schimidt 正交化把它们正交化需要的是记公式,若向量的维数比较多的,计算比较麻烦,而用初等旋转矩阵则可根据向量组成的矩阵的特点来求其标准正交基.

3.2正交矩阵在化学中的应用

原子轨道的杂化是在一个原子中不同原子轨道的线性组合.在结构化学原子轨道杂化理论中,原子中能级相近的几个原子轨道可以相互混合,从而产生新的原子轨道.杂化过程的数学表达式

为1

k ki

i i c

φφ==

∑1,2,;1,2,i n k == ,k φ为新的杂化轨道,i φ为参加杂化的旧轨道,k i c 为第k

个杂化轨道中的第i 个参加杂化轨道的组合系数[4]

在杂化过程中,轨道数是守恒的,并且杂化轨道理论有三条基本原则[5]

：（1）杂化轨道的归一性.杂化轨道(1,2,)k k n φ= 满足1k k d τφφ=?; （2）杂化轨道的正交性.0()k l d k l τφφ=≠?; （3）单位轨道贡献.

每个参加杂化的单位轨道,在所有的新杂化轨道中该轨道成分之和必须为一个单位,即

2222

121

i i n i k c

c c c ==+++∑ =1.

由杂化轨道原理,原子轨道的杂化,实际是由一组相互正交的单位基向量,通过线性变换转化成为另一组相互正交的单位基向量.在线性代数中由一组标准正交基到另一组标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵,那么原子轨道的杂化,就可以转化为求出正交矩阵,作线性变换的过程. （A ）3

sp 杂化轨道.

以甲烷分子的结构为例,激发态碳原子的电子组态为21111

*(1)(2)(2)(2)(2)x y z c s s p p p ,这样在形成4C H 分子时,激发态碳原子的一个2s 原子轨道和3个2p 原子轨道进行杂化形成4个等同的3

sp 杂化轨道.设在激发态碳原子中四个能量相近的原子轨道2s φ,2x

p φ,2y p φ,2z

p φ是一组相互

正交的基向量,再通过线性变换将它们转化成另一组相互正交的基向量a φ,b φ,c φ,d φ,那么线性变换系数矩阵A 必为正交矩阵,即

21112131422122232423132333441

442x

a p

b p

c d

p a a a a a a a a a a a a a a a a φφφφφφφφ??

???? ? ?

? ?

= ? ? ? ? ? ? ? ? ?

??????

= 2222x y

z s p p p A φφφ

φ??

? ? ?

? ???

. A 为正交矩阵,111213142144,,,,,,a a a a a a 分别是a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴的分量.在等性

杂化中,四个基向量a φ,b φ,c φ,d φ在四个坐标轴上的分量是相等的,即由四个能量相近的原子轨道2s φ,2x

p φ,2y p φ,2z

p φ进行杂化时形成四个等同的3

sp 杂化轨道,在四个杂化轨道上,原子轨道

s 和p 成份完全相同.根据这些理论,我们来求正交矩阵A .

因为A 是正交矩阵,由定义可得2222

111213141a a a a +++=,即11121314a a a a ===, 所以11

41a =,得

11121314a a a a ====

(取正值).

又因为是等性杂化轨道.有

11213141a a a a === ,2

11121314a a a a +++=1,

所以

11213141a a a a ====

（取正值）.

即得到

22232432333442

4411112222121212

a a a A a a a a a a ?? ? ? ?

? ?

? ? ?

. 又因

22232411111

2a a a ?

=,2222

2223241()12

a a a +++=,222324a a a ==, 取符合条件的

2212

a =

,2312

a =

,2412

a =

同理,

32333411111022222

a a a ?++

22322333243411022

a a a a a a ?+++=,

即

32333412

a a a ++=-

,32333412

a a a --=-

得

3212

a =-

,3334a a =-,

取3312

a =,3412

a =-

又

42434411111022222a a a ?+++=, 42434411111022222a a a ?+--=, 4243441111102

a a a ?-

得4212

a =-,4312

a =-,4412

a =-

所以,

111122*********

21111222211112

2A ?? ? ? ?-- ?=

? ?-- ? ? --??

. 可以写出四个3

sp 杂化轨道的杂化轨道式为

22221()2x

a s p p p φφφφφ=+++,

22221()2x

b s p p p φφφφφ=+--,

22221()2x

c s p p p φφφφφ=

-+-,

22221()2

d s p p p φφφφφ=--+.

（B ）sp 杂化轨道

一个2s 和一个2p 原子轨道杂化形成两个sp 杂化轨道.

同样,线性变换2111

122221

22x s p a a a a φφφφ??????=

? ?

???????的系数矩阵11

1221

22a a A a a ??

= ???

是正交矩阵. 根据等性杂化理论有

11211a a +=,1121a a =,2

11121a a +=,

于是,

14 1121a a ==

,12a =.

又

220a =,故,

22a =-,即

1A ?? ?

?= - ?. 所以sp

杂化轨道式为122)x

s p φφφ=

+. 3.3正交矩阵在物理学中的应用

任意刚体运动都对应一个正交矩阵, 三维空间一条曲线经过刚体运动, 其曲率和挠率是不变的, 称它们为运动不变量.

首先我们来简单认识曲率和挠率.

曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.

lim K s α

?=?（α?为角变量,s ?为弧长）s ?趋向于0的时候,定义K 就是曲率.即

''''3||||

r r K r ?= . 而挠率,它的绝对值度量了曲线上邻近两点的次法向量之间的夹角对弧长的变化率.平面曲线是挠率恒为零的曲线.空间曲线如不是落在一平面上,则称为挠曲线,又由于挠率体现了密切平面的扭转状况,通常说它表示了曲线的扭曲程度.

曲线在某点的挠率记为τ,τ=''''2(,,)()

r r r r r ? . 下面, 我们来考察曲线作刚体运动时的不变量[6],[9].

设曲线()()()(){}1111,,r t x t y t z t = 与曲线()()()(){},,r t x t y t z t = 只差一个运动, 从曲线

()1r t 到曲线()1r t

的变换为

111213x x b y A y b z z b ?????? ? ? ?

=+ ? ? ? ? ? ???????

(3-21) 其中,

121321

222331

33a a a A a a a a a a ??

?= ? ???

是三阶正交矩阵, 123,,b b b 是常数. 对(3-21)两边求n 阶导数,得

()

()()()()

()111

n n n n n n x x y A y z z ????

?= ? ? ? ? ? ????

. 从而有

'''

1111213'''''''''''''''1212223'''''''''''''''1313233x x a x a y a z y A y a x a y a z z z a x a y a z ??????++ ? ? ?==++ ? ? ? ? ? ?

++??????

. (3-22) 因为A 是正交矩阵, 所以也有()()1r t r t =

. (3-23)

另一方面, 由一阶, 二阶, 三阶导数, 可作成矩阵

111''''''''''''111''''''

'''''''''

'''1

x y z x

y z x y z x y z A x y z x y

z ????

?= ? ? ? ????

. 两边取行列式, 由det 1A =±,得

''''''111

''''''

''''''''''''111''''''

'''

x y z x

y z x

y z x y z x y z A

y z x y z x

==±.

现在取()()()()()()()()

111,,,,r t r t r t r t r t r t =

可类似地讨论.

因为

111

''''''

'''

11111111111

''''''

'''1

x y z y z z x x y x y z x y z y z z x x y x y z =++, (3-24)

''''''''''''''''''

'''

x y z y z z x x y x y z x

=++, (3-25)

(3-22)代入(3-24)的右边,得

()

'''''''''

'''

11111111

1213212223313233''

y z z x x y a

x a y a z

a x a y a z

y z z x z y ++++++++

'''

11111112131''''

''11

1y z z x x y a x a x

a x

y z z x x y ??++ ? ??

? +'

'''

''''''1

11111122232''''

''''

''11

1y z z x x y a y a y

a y

y z z x x y ??++ ? ??

+ '

''''

'''

11111132333''''

1y z z x x y a z a z

a z

y z z x x y ??

++ ? ??

. （3-26）因(3-24)与(3-25)右边相等, 有(3-25)右边与(3-26)式右边相等,得

''11111111

''''

y z z x x y y z a a a y z z x x y y

=++,

''111111122232

'''''''''''''

1y z z x x y z x a a a y z z x x y z x =++,

''''''11111113

'''

y z z x x y z x a a a y z z x x y z

=++.

由正交矩阵的性质 2.2.6知, *

()T

ij A A =且由1

(,1,2,3)n

ji kj jk

i A A j k δ

===∑,将上面三式左右分

别平方相加,

''''''''

y z z x x y y

''222

1111

1()y z A

y z ++

''2221121

'11

()

z x A

z x ++

''222

1131

1()x y A

x y ++

111111''

''1

y z z x x y y z z x x y +

写成矢量函数, 即得

11()()()()r t r t r t r t →→→→?=?.

于是我们可推得

1113

1()()()()()

()

r t r t r t r t K K r t r t →→→→→→??=

'''

1111'

11((),(),())

((),(),())

(()())

r t r t r t r t r t r t r t r t r t r t ττ→→→→→→→→→→=

=??.

这里的11,;,K K ττ分别是曲线1(),()r t r t →

→

的曲率与挠率.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7coq.html

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