概率论与数理统计试题(05_1220+A)与答案及评分标准

大学本科概率论与数理统计期末考试试题与答案及评分标准

________________级班 ________________系院在所 ______________号学 ______________名姓生学

烟台大学2005～2006学年第一学期

概率论与数理统计试卷A

考试时间为120分钟

提示：需要用到的数据包含在下面的表格中.

一、(本题15分) 设袋中有10个白球和5个红球,每次从袋中任取一球,然后放回袋中,并且再加入5个与取到的球具有相同颜色的球.(1)求第二次抽取时取到的是红球的概率; (2)若已知第二次取到的是红球,求第一次取到的是红球的概率.

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二、(本题15分) 设随机变量X的概率密度为

3x2e x,

f(x)

0,

求随机变量Y X的概率密度fY(y).

3

3

x 0,x 0.

Y是正值变量,且对任意的x,y 0, P(X x) e三、(本题15分) 设X、Y的联合密度函数. P(Y y) e y, P(X x,Y y) e x y. 求X、

x

,

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四、(本题10分) 某种出口商品的需求量X(单位: 吨)服从区间[2000, 4000]上的均匀分布. 每售出1吨该商品,可赚到利润3千美元,售不出去的部分,每吨需花费仓储费用1千美元. 问外贸部门应组织多少货源,才能使平均利润最大？

五、(本题15分) 假设自动生产线组装每件产品的时间是随机变量,平均组装时间为10小时,标准差为8小时. 设各件产品的组装时间相互独立,服从相同的分布. 试求组装100件产品需要的时间在800到1200小时之间的概率.

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六、(本题15分) 设X1,X2, ,X2n是来自正态总体N(0, 2)的容量为2n的 简单随机样本,求统计量Y

七、(本题15分) 设X1,X2, ,Xn是总体X的简单随机样本,X的概率分布为

Xn 1 X2nX X

2

1

2n

的分布.

P(X k) p(1 p)k 1, k 1,2, .

其中未知参数0 p 1. 求参数p的极大似然估计量.

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烟台大学2005~2006学年第一学期 学年第一学期 烟台大学

试卷A参考答案及评分标准 概率论与数理统计试卷 参考答案及评分标准考试方式: 院系: 闭卷笔试 年级: (开卷,闭卷,其他) 专业: 理工经济

…………………………………………………………………………………………….. , 一,解: 设 A = "第一次取到红球" B = "第二次取到红球". (1)第二次取到红球的概率

P( B) = P ( A) P ( B | A) + P( A) P( B | A) = 5 10 10 5 × + × 15 20 15 20

4分 3分

1 = . 3(2)若第二次取到的是红球,则第一次取到的是红球的概率

1分

P( A | B ) = = =

P ( AB ) P( B ) P ( A) P ( B | A) P( B) 5 10 1 × ×3= 15 20 23

3分

2分

2分

二,解: 先求随机变量 Y 的分布函数:

FY ( y ) = P (Y ≤ y ) = P ( X ≤ y ) = P ( X ≤ y ) = ∫3 3

y

∞

f ( x)dx ,

4分 2分

(ⅰ)当 y < 0 时,因为 3 y < 0 , 显然 FY ( y ) = 0 ; (ⅱ)当 y ≥ 0 时,

FY ( y ) = P ( X ≤ 3 y ) = ∫故有

3

y

∞

f ( x)dx = ∫

3

y

0

3 x 2 e x dx = 1 e y .3

4分

e y , f ( y ) = FY′ ( y ) = 0,

y ≥ 0, y < 0.

5分

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三, : 依定义, X , 的联合分布函数 F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) , 解 Y (ⅰ)当 x < 0 或 y < 0 时, 显然 F ( x, y ) = 0 ; (ⅱ)当 x ≥ 0 且 y ≥ 0 时,

4分 2分

F ( x, y ) = P ( X ≤ x, Y ≤ y ) = 1 P ( { X > x} U {Y > y} ) = 1 [ P ( X > x) + P (Y > y ) P ( x > x, Y > y )] = 1 e x e y + e x y . x y 2 F ( x, y ) e f ( x, y ) = = x y 0

4分

x ≥ 0, y ≥ 0,

其他.

5分

四,解: 设应组织货源(供应量) a 吨,利润是需求量 X 和供应量 a 的函数

3a, X > a, 3a, g ( X , a) = = 3 X (a X ) X ≤ a. 4 X a,从而

X > a, X ≤ a.

3分

E [g ( X , a )] = ∫ g ( x, a ) f X ( x)dx = ∫+∞ ∞

4000

2000

g ( x, a )

1 dx 2000

3分

= =

4000 1 a (4 x a )dx + ∫ 3a dx a 2000 ∫2000

1 2a 2 + 1400a 2 × 2000 2 . 2000

[

]

3分 1分

即平均利润是供应量 a 的二次函数,易知 a = 3500 时, E [g ( X , a )] 达到最大. 五,解: 设组装各件产品所需的时间为 X i , i = 1, 2, L, 100 . 依题意, X 1 , X 2 , L, X 100 独立同分布,且 = EX i = 10 ,

σ = DX i = 8 . 故根据独

立同分布的中心极限定理,组装 100 件产品需要的时间在 800 到 1200 小时之间的概率为

P(800 ≤ ∑ X i ≤ 1200)i =1

100

2分

1 100 = P ( 2.5 ≤ ∑ X i n ≤ 2.5) nσ i=1 = Φ (2.5) Φ ( 2.5) = 1 2Φ ( 2.5) = 0.9876 .

4分 4分

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六,解: 依题意, X 1 , X 2 , L, X 2 n 独立同分布 N ( 0 , σ ) .2

(ⅰ)因 X n +1 + X n+ 2 + L + X 2 n ~ N ( 0 , nσ ) , 故2

X n+1 + X n+ 2 + L + X 2 n ~ N ( 0 , 1) ; nσ(ⅱ)易见

4分

X 12 + L + X n2

σ2

X X X = 1 + 2 + L + n ~ χ 2 ( n) ; σ σ σ

2

2

2

4分 4分

(ⅲ)显然 X n +1 + X n+ 2 + L + X 2 n 与 X 1 + X 2 + L + X n 独立,故

X n +1 + L + X 2 n X + L + X 2n nσ Y = n+12 = ~ t ( n) . 2 2 X1 + L + X n X 1 + L + X n2 nσ 2七,解: (1)似然函数为

3分

L( p) = ∏ f ( xi , p) = ∏ p (1 p) xi 1 = p n (1 p) n x n ,i =1 i =1

n

n

4分

故对数似然函数为

ln L( p) = n ln p + (n x n) ln(1 p) .令

4分

d ln L ( p ) n n x n = = 0. dp p 1 p得参数 p 的极大似然估计值 p =^

4分

1 1 ^ . 参数 p 的极大似然估计量为 p = . x X

3分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7cmi.html