高考数学《圆锥曲线》试题汇编（51页含答案）

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

2007年高考数学试题汇编

圆锥曲线

重庆文

（12）已知以F1（2,0），F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x?长轴长为

（A）32

（B）26

（C）27

（D）42

3y?4?0有且仅有一个交点，则椭圆的

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（21）图，倾斜角为a的直线经过抛物线y?8x的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。

（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；

（Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P，

证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值。

重庆理 （16）过双曲线x为__________.

(22) (本小题满分12分)如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F（3，0），右准线l的方程为x = 12。 （1）求椭圆的方程；

（2）在椭圆上任取三个不同点

22

?y2?4的右焦点F作倾斜角为1050的直线，交双曲线于P、Q两点，则|FP||FQ|的值

Y P2 P1 l P1,P2,P3O ，使

F P3 X 第 1 页 共 51 页

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?P1FP2??P2FP3??P3FP1，证明

111为定值，并求此定值。 ??|FP1||FP2||FP3| 浙江文

x2y2（10）已知双曲线2?2?1 (a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是准线上一点，且P

abF1⊥P F2，｜P F1｜?｜P F2 ｜＝4ab，则双曲线的离心率是

(A)2 (B) 3 (C)2 (D)3

yx2?y2?1(21)(本题15分)如图，直线y＝kx＋b与椭圆4交于A、B两点，记△AOB的面积为S．

(I)求在k＝0，0＜b＜1的条件下，S的最大值； （Ⅱ)当｜AB｜＝2，S＝1时，求直线AB的方程．

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AOBx2007年高考试题汇编----圆锥曲线 浙江理

x2y2（9）已知双曲线2?2?1(a?0，b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是准线上一点，且

abPF1?PF2，PF1?PF2?4ab，则双曲线的离心率是（

Ａ． ） Ｄ．3

2

Ｂ．

3

Ｃ．2

天津文

x2y22（7）设双曲线2?2?1(a?0，b?0)的离心率为3，且它的一条准线与抛物线y?4x的准线

ab重合，则此双曲线的方程为（ ）

x2y2Ａ．??1

1224

x2y2x22y2??1 Ｃ．??1 Ｂ．

489633

x2y2Ｄ．??1

36（22）（本小题满分14分）

x2y2，F2，A是椭圆上的一点，AF2?F1F2，设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F原点O1ab到直线

1AF1的距离为OF13．

（Ⅰ）证明a?2b；

2（Ⅱ）求t?(0，b)使得下述命题成立：设圆x?y2?t2上任意点M(x0，y0)处的切线交椭圆于Q1，

Q2两点，则OQ1?OQ2．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 天津理

22．（本小题满分14分）

x2y2，F2，A是椭圆上的一点，AF2?F1F2，设椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F原点O1ab到直线

1AF1的距离为OF13．

（Ⅰ）证明a?2b；

?OQ2，过原点O作直线Q1Q2的垂线OD，垂足为D，

，Q2为椭圆上的两个动点，OQ1（Ⅱ）设Q1求点D的轨迹方程． 四川文

x2y2?（5）如果双曲线42(A)

＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是

46 3 (B)

26 3

(C)26

(D)23

(10)已知抛物线y=x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

A.3 B.4 C.3

2 D.42

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?y??x2?3?x2?x?b?3?0?x1?x2??1，解析：选C．设直线AB的方程为y?x?b，由??y?x?b进而可求出∴x21111AB的中点M(?,??b)，又由M(?,??b)在直线x?y?0上可求出b?1，

2222?x?2?0，由弦长公式可求出AB?1?1212?4?(?2)?32．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．

（21）(本小题满分12分)

x2?y2?1的左、右焦点. 求F1、F2分别是椭圆4????2?????25（Ⅰ）若r是第一象限内该数轴上的一点，PF，求点P的作标； ?PF??124（Ⅱ）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且∠ADB为锐角（其中O为作标原点），求直线l的斜率k的取值范围.

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 四川理

x220）（本小题满分12分）设F1、F2分别是椭圆?y2?1的左、右焦点.

4（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求PF1·PF2的最大值和最小值; （Ⅱ）设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点求直线l的斜率k的取值范围. 上海理

且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），A、B，

x2y2??1，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为_____ 8、已知双曲线45x2y2y2x221、已知半椭圆2?2?1?x?0?与半椭圆2?2?1?x?0?组成的曲线称为“果圆”，其中

abbca2?b2?c2,a?0,b?c?0，F0,F1,F2是对应的焦点。

（1）若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形，求“果圆”的方程； （2）若

A1A?B1B，求

b的取值范围； a第 6 页 共 51 页

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

（3）一条直线与果圆交于两点，两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数k，使得斜率为k的直线交果圆于两点，得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上？若存在，求出所有k的值；若不存在，说明理由。

上海文

21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．

x2y2y2x2我们把由半椭圆2?2?1 (x≥0)与半椭圆2?2?1 (x≤0)合成的曲线称作“果圆”，

abbc其中a2?b2?c2，a?0，b?c?0．

如图，设点F0，F1，F2是相应椭圆的焦点，A1，A2和B1，B2是“果圆” 与x，y轴的交点，My 是线段

A1A2的中点．

B2（1）若△F0F1F2是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；

y2x2（2）设P是“果圆”的半椭圆2?2?1

bc(x≤0)上任意一点．求证：当PM取得最小值时，

A1 . F. . O M . F20A2x F1 B1 P在点B1，B2或A1处；

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 （3）若P是“果圆”上任意一点，求 陕西

3.抛物线x?y的准线方程是 （A）4x?1?0 （C）2x?1?0

（B）4y?1?0 （D）2y?1?0

2PM取得最小值时点P的横坐标．

x2y29.已知双曲线C∶2?2?1(a＞0,b＞0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是

ab（A）a

(B)b

(C)

ab

(D)

a2?b2

22. (本小题满分14分)

x2y2已知椭圆C:2?2ab(Ⅰ)求椭圆C的方程;

=1(a＞b＞0)的离心率为

63,短轴一个端点到右焦点的距离为

3.

(Ⅱ)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为

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32，求△AOB面积的最大值.

2007年高考试题汇编----圆锥曲线 山东理

????（13）设O是坐标原点，F是抛物线y?2px(p?0)的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向

2的夹角为60，则

?????OA为 ．

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （Ⅰ）求椭圆C的标准方程； （Ⅱ）若直线l:，且以AB为直径的圆y?kx?m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点）

过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 全国2理

x2y211．设F1，F2分别是双曲线2?2ab的左、右焦点，若双曲线上存在点

A，使?F1AF2?90?且

AF1?3AF2A．

，则双曲线的离心率为（ ）

52 B．

10 2C．

15 2D．5 12．设

F为抛物线

????????????y?4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA?FB?FC?0，则

2????????????FA?FB?FC?（ ）

A．9

B．6

C．4

D．3

20．（本小题满分12分）

在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x?（1）求圆O的方程； （2）圆O与x轴相交于范围．

全国2文

11．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ）

3y?4相切．

A，B两点，圆内的动点P使

????????PA，PO，PB成等比数列，求PA?PB的取值

A．

1 3 B．33 C．

1 2 D．32

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?????????y212．设F?1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且PF1?PF2?0，则1，F2分别是双曲线x?9?????????PF1?PF2?（ ）

2A．10

B．210

C．5

D．25 全国1理

（4）已知双曲线的离心率为2，焦点是(?4，0)，(4，0)，则双曲线方程为（ ）

x2y2A．??1

412（11）抛物线交于点A．4

x2y2B．??1

124

x2y2C．??1

106

x2y2D．??1

610y2?4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相

）

A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（

B．33

C．43

D．8

（21）（本小题满分12分）

x2y2??1的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，过F2的直线交已知椭圆32椭圆于

A，C两点，且AC?BD，垂足为P．

22x0y0??1； （Ⅰ）设P点的坐标为(x0，y0)，证明：32（Ⅱ）求四边形

ABCD的面积的最小值．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 宁夏理 6．已知抛物线

y2?2px(p?0)的焦点为F，

，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上， 点P1(x1且2x2Ａ．

?x1?x3， 则有（

）

Ｂ．Ｄ．

FP1?FP2?FP3FP?FP31?FP2FP2?FP·FP312222

Ｃ．2FP2?FP1?FP3

13．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 ．3 19．（本小题满分12分）

x2?y2?1有两个不同的交点P在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆2和Q．

（I）求k的取值范围；

????????（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量OP?OQ与

????AB共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 宁夏文

21．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系xOy中，已知圆x线与圆Q相交于不同的两点（Ⅰ）求k的取值范围；

2?y2?12x?32?0的圆心为Q，过点P(0，2)且斜率为k的直

A，B．

????????????（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量OA?OB与PQ共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

辽宁理

y2?1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|:|PF2|?3:2，则11．设P为双曲线x?122△PF1F2的面积为（ ）

A．63 B．12

C．123

D．24

14．设椭圆

x2y2??1上一点P2516到左准线的距离为10，

F是该椭圆的左焦点，若点

M满足

?????1?????????????OM?(OP?DF)，则|OM|= ．

220．（本小题满分14分）

已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线

y2?2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点

C为圆心）

（I）求圆C的方程；

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 （II）设圆M的方程为(x?4?7cos?)2?(y?7cos?)2?1，过圆M上任意一点P分别作圆C的

????????CF的最大值和最小值． 两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE， 江西理

x2y219．设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，右焦点为F(c，0)，方程ax2?bx?c?0的两

ab2个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ） Ａ．必在圆x形都有可能

21．（本小题满分12分） 设动点P到点

2?y2?2内

Ｂ．必在圆x2?y2?2上 Ｃ．必在圆x2?y2?2外

Ｄ．以上三种情

yA(?1，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，?APB?2?，且存?1)，使得d1d2sin2???．

d1 2?P d2在常数?(0??A O B （1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

?????????ON?0，其中点O为（2）过点B作直线双曲线C的右支于M，N两点，试确定?的范围，使OM?坐标原点．

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y2007年高考试题汇编----圆锥曲线 江西文

7．连接抛物线x2?4y的焦点F与点M(1，0)所得的线段与抛物线交于点A，设点O为坐标原点，则三

角形OAM的面积为（ ） Ａ．?1?2

Ｂ．

3?2 2

Ｃ．1?2 Ｄ．

3?2 2x2y2112．设椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为e?，右焦点为F(c，0)，方程ax2?bx?c?0的

ab2两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)（ ） Ａ．必在圆x形都有可能

22．（本小题满分14分） 设动点

2?y2?2上

Ｂ．必在圆x2?y2?2外Ｃ．必在圆x2?y2?2内

Ｄ．以上三种情

P到点

0)的距离分别为d1和d2F1(?1，0)和F2(1，，且存在常数

，

yA P ∠F1PF2?2??(0???1)，使得

d1d2sin2???．

（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程； （2）如图，过点F2的直线与双曲线C的右支交于

F1 O F2x B A，B两点．问：

是否存在?，使△FA1B是以点B为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出?的值；若不存在，说明理由．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 江苏理

3．在平面直角坐标系xOy中，双曲线中心在原点，焦点在的离心率为

y轴上，一条渐近线方程为x?2y?0，则它

A．

5 B．

52 C．3 D．2

x2y2??1上，15．在平面直角坐标系xOy中，已知?ABC顶点A(?4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆

2516sinA?sinC则? .

sinB19、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，过抛物线

y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线，与

y?x2相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线l:y??c交于P,Q，

y B ????????（1）若OA?OB?2，求c的值；（5分）

（2）若P为线段（5分）

（3）试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。（4分）

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AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；

C P A O Q x l 2007年高考试题汇编----圆锥曲线 江苏文

x2y29．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，若在其右准线上存在P,使线段PF1ab的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）

A．?0，???2?? 2?2B．?0，???3?? 3?

C．??2?，1? ??2?

D．??3?，1? ??3?20．（本小题满分12分） 已知双曲线x?y2?2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的动直线与双曲线相交于A，B两点．

?????????????????（I）若动点M满足F1M?F1A?F1B?FO，求点M的轨迹方程； 1（其中O为坐标原点）

????????（II）在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理

由． 湖南文

x2y29．设F1，F2分别是椭圆2?2?1（a?b?0）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（cab为半焦距）的点，且|F1F2|?|F2P|，则椭圆的离心率是（ ） 1 2

C．A．3?1 2 B．

5?1 2 D．22

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 19．（本小题满分13分） 已知双曲线

x2?y2?2的右焦点为F，过点F的动直线与双曲线相交于

A，B两点，点C的坐标是

(1，0)．

????????（I）证明CA，CB为常数；

?????????????????（II）若动点M满足CM?CA?CB?CO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程．

湖北理

x2y27．双曲线C1:2?2?1(a?0，b?0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；抛物线C2的

ab准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则

F1F2MF1

?MF1MF2等于（ ）

A．?1

B．1

C．?1 2 D．

12

10．已知直线

xy??1（a，b是非零常数）与圆x2?y2?100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐ab

B．66条

C．72条

D．78条

标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A．60条

19．（本小题满分12分）

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2?2py（p?0）相交于A，B两点．

（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； （II）是否存在垂直于

y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的

y 方程；若不存在，说明理由．（此题不要求在答题卡上画图） ， 湖北文

C A O N B x

12．过双曲线

x2y2??1左焦点F1的直线交曲线的左支于M，N43的值为______．

两点，

F2为其右焦点，则

MF2?NF2?MN 广东理

11．在平面直角坐标系xoy中，有一定点该抛物线的方程是 ． 18． (本小题满分14分)

A(2,1),若线段OA的垂直平分线过抛物线y2?2px(p?0)则

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2第 19 页 共 51 页

2的圆C与直线y?x相切于

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

x2y2坐标原点O．椭圆2??1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．

a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 广东文

11．在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2，4)，则该抛物线的方程是 ． 19(本小题满分14分)

在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2／2的圆C与直线

y?x相切于

x2y2?1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 坐标原点O．椭圆2?a9 (1)求圆C的方程；

(2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 福建理

x2y26．以双曲线??1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）

916A．xC．x2?y2?10x?9?0 ?y2?10x?16?0

B．xD．x2?y2?10x?16?0 ?y2?10x?9?0

l y 2220．（本小题满分12分）如图，已知点F(1，0)， 直线l:x??1，P为平面上的动点，过P作直线

????????????????QF?FP?FQ． l的垂线，垂足为点Q，且QP?（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；

F ?1 O 1 x ????????????????（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线l于点M，已知MA??1AF，MB??2BF，

求?1??2的值；

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 福建文 10．以双曲线xＡ．xＣ．x22?y2?2的右焦点为圆心，且与其右准线相切的圆的方程是（

Ｂ．xＤ．x2 ）

?y2?4x?3?0 ?y2?4x?5?0

?y2?4x?3?0 ?y2?4x?5?0

2222．（本小题满分14分） 如图，已知

F(1，0)，直线l:x??1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且

????????????????． QP?QF?FP?FQ（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于

A，B两点，交直线l于点M．

????????????????（1）已知MA??1AF，MB??2BF，求?1??2的值；

（2）求 北京理

17．（本小题共14分） 矩形

????????MA?MB的最小值．

ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在

AD边所在直

y直线的方程为x?3y?6?0，点T(?11，)在线上．

AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（I）求

TD O NA 第 22 页 共 51 页

C M B x 2007年高考试题汇编----圆锥曲线 （III）若动圆P过点N(?2，0)，且与矩形 北京文

ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

4．椭圆

x2y2??1(a?b?0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，Na2b2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）

，若

MN≤?F1F2Ａ．?0，

??1?2??

Ｂ．?0，???2?? 2? Ｃ．

?1?，1? ??2?

Ｄ．??2?，1? ??2?19．（本小题共14分） 如图，矩形

ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x?3y?6?0点

T(?11)，在AD边所在直线上．

AD边所在直线的方程； （II）求矩形ABCD外接圆的方程；

（I）求

（III）若动圆P过点N(?2，0)，且与矩形

第 23 页 共 51 页

ABCD的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．

2007年高考试题汇编----圆锥曲线 安徽理

x2y2（9）如图，F1和F2分别是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个焦点，

abA和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，

且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为

（A）

3

（B）

5

（C）

52

（14）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1,P2,?,Pn-1,过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，?，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1, △Q2P1P2,?, △Qn-1Pn-1Pn-1,当n→∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .

(19) (本小题满分12分)

如图，曲线G的方程为y2=2x（y≥0）.以原点为圆心，以t（t >0）为半径的圆分别与曲线G和y轴的正半轴相交于点A与点B.直线AB与x轴相交于点C.

（Ⅰ）求点A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； （Ⅱ）设曲线G上点D的横坐标为a＋2，求证：

直线CD的斜率为定值.

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D）1?3

（2007年高考试题汇编----圆锥曲线 安徽文 （2）椭圆x2?4y2?1的离心率为

（B）

（A）

323 4 （C）

22 （D）

2 3（18）（本小题满分14分） 设F是抛物线G:x2=4y的焦点.

（Ⅰ）过点P（0，-4）作抛物线G的切线，求切线方程：

（Ⅱ）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足FA·FB?0,延长AF、BF分别交抛物线G于

点C,D，求四边形ABCD面积的最小值.

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

2007年高考数学试题汇编 圆锥曲线参考答案

重庆文（21）（本小题12分）

（Ⅰ）解：设抛物线的标准方程为y?2px，则2p?8，从而p?4.

因此焦点F(2p,0)的坐标为（2，0）. 2p。从而所求准线l的方程为2又准线方程的一般式为x??x??2。

（Ⅱ）解法一：如图（21）图作AC⊥l，BD⊥l，垂足为C、D，则由抛物线的定义知

|FA|=|FC|,|FB|=|BD|. 记A、B的横坐标分别为xxxz，则 |FA|＝|AC|＝xx?ppp4， ?|FA|cosa???|FA|cosa?4解得|FA|?2221?cosa4。

1?cosa类似地有|FB|?4?|FB|cosa，解得|FB|?记直线m与AB的交点为E，则

|FE|?|FA|?|AE|?|FA|?

|FA|?|FB|11?44?4cosa?(|FA|?|FB|)?????222?1?cosa1?cosa?sin2a|FE|444·2sin2a所以|FP|?。 故|FP|?|FP|cos2a??(1?cos2a)??8。

22cosasin2asinasina解法二：设A(xA,yA)，B(xB,yB)，直线AB的斜率为k?tana，则直线方程为y?k(x?2)。 将此式代入y?8x,得kx?4(k2222?2)x?4k?0，故xA?xB?2k(k2?2)k2。

xA?xB2(k2?2)4记直线m与AB的交点为E(xE,yE)，则 xE?， yE?k(xE?2)?，?2kk241?2k2?4??. 故直线m的方程为y????x?2??kk?k?令y=0,得P的横坐标xP?2k2?4k24sina2?4

故 |FP|?xP?2?4(k2?1)k2?4sin2a。

从而|FP|?|FP|cos2a?(1?cos2a)?4·2sin2asina2?8为定值。

浙江文（21）本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

x2(I)解：设点A的坐标为((x1,b)，点B的坐标为(x2,b)， 由?y2?1，解得x1,2??21?b24所以S 21时，．S取到最大值1． ?b|x1?x2|?2b1?b2?b2?1?b2?1 当且仅当b?22?y?kx?b?222（Ⅱ）解：由?x2得 (4k?1)x?8kbx?4b?4?0

2??y?1?4??16(4k2?b2?1)

2 ①

｜AB｜＝1?k|x1?x2|?1?k?|b|1?k2216(4k2?b2?1)?2 ②

4k2?12S?1

|AB| 所以b2又因为O到AB的距离d??k2?1

③

③代入②并整理，得4k4?4k2?1?0 解得，k2?123,b?，代入①式检验，△＞0 2226x?22或

故直线AB的方程是

y?26x?22或

y?y??26x?22或

y??26x?22．

天津文（22）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分． （Ⅰ）证法一：由题设

AF2?F1F2及F1(?c，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y?0，由于点

c2y2a2?b2y2b2?2?1， 解得y?A在椭圆上，有2?2?1，

aba2ba?b2?，从而得到A?c，?，

?a?yb2(x?c)，整理得 b2x?2acy?b2c?0． 直线AF2的方程为y?2ac1由题设，原点O到直线AF的距离为OF113，即

HA F2cb2c?， 4223b?4acF1 O x 第 27 页 共 51 页

2007年高考试题汇编----圆锥曲线 将c2?a2?b2代入原式并化简得a2?2b2，即a?2b．

?b2?证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?，

?a?过点O作OB?AF1，垂足为H，易知△F1BC∽△F1F2A， 故

1OF13BOOF1?F2AF1A

由椭圆定义得

AF1?AF2?2a，又BO?，所以

F2A1F2A??3F1A2a?F2A，

解得

b2aF2A?，而F2A?a22b2a?，即a?2b． ，得

a2（Ⅱ）解法一：圆x?y2?t2上的任意点M(x0，y0)处的切线方程为x0x?y0y?t2．

2当t?(0，b)时，圆x?y2?t2上的任意点都在椭圆内，故此圆在点A处的切线必交椭圆于两个不同的

点Q1和Q2，因此点Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标是方程组

2?t2?x?x0x?y0y?t ①0xy?y?0的解．当时，由①式得 ?2022y0??x?2y?2b ②?t2?x0x?22222222?24t?2b0代入②式，得x?2? ??2b， 即 (2x0?y0)x?4tx0x0y?，

?y0?24t2x0于是x1?x2?222x0?y022t4?2b2y0，x1x2?222x0?y0

t2?x0x1t2?x1x2y1y2??y0y1

4224t2x01?4222t?2by0??2?t?x0t?x02222?y0?2x0?y02x0?y0?142?2?t?x0t2(x1?x2)?x0x1x2???y02t4?2b2x0?222x0?y0

．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

22222t4?2b2y0t4?2b2x03t4?2b2(x0?y0)???0． 若OQ1?OQ2，则x1x2?y1y2?2222222x0?y02x0?y02x0?y0所以，3t42222?2b2(x0?y0)?0．由x0?y0?t2，得3t4?2b2t2?0．在区间(0，b)内此方程的解

为t?6b． 36b． 3当

y0?0时，必有x0?0，同理求得在区间(0，b)内的解为t?另一方面，当t?6b时，可推出x1x2?y1y2?0，从而OQ1?OQ2． 3综上所述，t?6b?(0，b)使得所述命题成立． 3天津理22．本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）证法一：由题设

AF2?F1F2及F1(?c，0)，F2(c，0)，不妨设点A(c，y)，其中y?0．由

c2y2a2?b2y2b2于点A在椭圆上，有2?2?1，即?2?1． 解得y?2ababa?b2?，从而得到A?c，?．

?a?b2(x?c)，整理得b2x?2acy?b2c?0． 直线AF1的方程为y?2ac1由题设，原点O到直线AFOF11的距离为

3将c2cb2c，即?3b4?4a2c2， yB ?a2?b2代入上式并化简得a2?2b2，即a?2b． A F2?b2?证法二：同证法一，得到点A的坐标为?c，?．

?a?过点O作OBF1 O x ?AF1，垂足为B，易知△F1BO∽△F1F2A，故BOOF1?F2AF1A． 由椭圆定义得

AF1?AF2?2a，又BO?1OF13，

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

所以

F2A1F2A??3F1A2a?F2A，

解得

b2aF2A?，而F2A?a2b2a，得?，即a?2b．

a2（Ⅱ）解法一：设点D的坐标为(x0，y0)．

当

y0?0时，由

OD?Q1Q2知，直线

Q1Q2的斜率为

?x0y0，所以直线

Q1Q2的方程为

xxy??0(x?x0)?y0，或y?kx?m，其中k??0y0y02x0，m?y0?y0．

，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组?点Q1(x1将①式代入②式，得x2?y?kx?m，222?x?2y?2b．

?2(kx?m)2?2b2， 整理得(1?2k2)x2?4kmx?2m2?2b2?0，

4km于是x1?x2??1?2k2由①式得

2m2?2b，x1x2?． 21?2ky1y2?(kx1?m)(kx2?m)?k2x1x2?km(x1?x2)?k2

2m2?2b2?4kmm2?2b2k22?k·?km·?m?21?2k1?2k1?2k22．

由

OQ1?OQ2知

x1x2?y1y2?0．将③式和④式代入得

3m2?2b2?2b2k2?01?2k2，

3m2?2b2(1?k2)．

2x0x0，m?y0?将k??y0y0代入上式，整理得x0222?y0?b2．

3当

y0?0时，直线

Q1Q2的方程为

x?x0，Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组

．

2?x?x0，2b2?x0所以x1?x2?x0，y1，?22??222?x?2y?2b．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

22b2?x022由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0，即x??0， 解得x0?b2．

2320这时，点D的坐标仍满足x02222?y0?b2． 综上，点D的轨迹方程为 x2?y2?b2．

33y0x?x0y?0，由OD?Q1Q2，垂足为

解法二：设点D的坐标为(x0，y0)，直线OD的方程为

22． ?y0D，可知直线Q1Q2的方程为x0x?y0y?x022m?x0?y0记（显然

m?0），点

Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)的坐标满足方程组

??x0x?y0y?m， ① ?222x?2y?2b． ②??由①式得将

③

y0y?m?x0x．

式

2y0③ 由②式得式

得

2y0222222y0x?2y0y?2y0b．

④ y

代入④

x?22m 02，

(?m?b0x)2?x20．0yb整

理得

2(x02?)x?24m0?x2x2?22m2?2b2y0于是x1x2?222x0?y0． ⑤

由①式得x0x将

⑥

式

?m?y0y．

代

入

⑦

⑥ 由②式得x0x式

得

222222?2x0y?2x0b．

20 ⑦ x

(m?y?20y2)y?2x2?y02，

b整

理得

(x2?20y20)y?22m0?y2m2?2b2x0?2m ?by10y2x，于是0222x0?y0． ⑧

222m2?2b2y0m2?2b2x0??0， 由OQ1?OQ2知x1x2?y1y2?0．将⑤式和⑧式代入得22222x0?y02x0?y02222223m2?2b2(x0?y0)?0． 将m?x0?y0代入上式，得x0?y0?22b． 3所以，点D的轨迹方程为x22?y2?b2．

3四川文（21）解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 （Ⅰ）易知a?2，b?1，c?3．

3,0)，F2(3,0)．设P(x,y)(x?0,y?0)．则

∴F1(??????????x2522PF1?PF2?(?3?x,?y)(3?x,?y)?x?y?3??，又?y2?1，

447?222?x?1x?y??x?1?3???4?联立?，解得?，P(1,)． ?33222?y??y??x?y2?1?4?2??4（Ⅱ）显然x?0不满足题设条件．可设l的方程为y?kx?2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)．

?x22??y?1联立?4?x2?4(kx?2)2?4?(1?4k2)x2?16kx?12?0

?y?kx?2?∴x1x2由

?121?4k2，x1?x2??16k1?4k2

??(16k)2?4?(1?4k2)?12?0

16k2?3(1?4k2)?0，

4k2?3?0，得

k2?3．① 4????????????????又?AOB为锐角?cos?AOB?0?OA?OB?0， ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

又

y1y2?(kx1?2)(kx2?2)?k2x1x2?2k(x1?x2)?4

∴x1x2?y1y2?(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4

?(1?k2)?1216k?2k?(?)?4 221?4k1?4k12(1?k2)2k?16k4(4?k2)???4??0 2221?4k1?4k1?4k∴?1?k2?4．② 4333)?(,2)． ?k2?4，∴k的取值范围是(?2,?224第 32 页 共 51 页

综①②可知

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

四川理（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。 解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3所以F1?3,0,F2???23,0?，设P?x,y?，则

x213?x,?y?x?y?3?x?1??3??3x2?8?

44?????????因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值?2

?????????PF1?PF2??3?x,?y,????22?????????当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值1

解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???3,0?，设P?x,y?，则

????2?????2?????2???????????????????????????PF1?PF2?F1F2PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2??????????2PF1?PF2221?2?x?3?y?x?3?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）

???2?????（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，

?y?kx?2??21?2联立?x2，消去y，整理得：?k??x?4kx?3?0

24????y?1?4∴x1?x2??4k1k2?4,x1?x2?31k2?4

由?331?2?或k????4k??4?k???3?4k2?3?0得：k?224??0

????????又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0

0????????∴OA?OB?x1x2?y1y2?0

?8k2?k2?1??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4? 111222k?k?k?44423k2第 33 页 共 51 页

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?k2?133∵或??0，即k2?4 ∴?2?k?2 故由①、②得?2?k???k?2

1122k2?k2?443上海理21．[解]（1）∵F0（c，0）F1（0，?∴| F0F1 |＝于是c222b2?c2），F2（0，b?c）

(b2?c2)?c2?b?1，| F1F2 |＝2b2?c2?1

37222，a?b?c?，所求“果圆”方程为 4442422，y?x?1（x≤0）． x?y2?1（x≥0）

73???4分

（2）由题意，得a＋c＞2b，即

a2?b2?2b?a．

b4? a5??7分

∵（2b）2＞b2＋c2，∴a2－b2＞（2b－a）2，得

b21b24又b＞c＝a－b，∴2?． ∴?(,)．

a25a22

2

2

2

x2y2y2x2（3）设“果圆”的方程为2?2?1（x≥0）2?2?1（x≤0） 记平行弦的斜率为k．

abbax2y2当k＝0时，直线y＝t（－b≤t≤b）与半椭圆2?2?1（x≥0）的交点是

abt2t2y2x2p(a1?2,t)，与半椭圆2?2?1（x≤0）的交点是Q（?c1?2,t）．

bbba?a?ct2?x?1?2∴P、Q的中点M（x，y）满足?2b?y?t?x2y2 得??1．

a?c2b2()2a?c2a?c?2ba?c?2b∵a＜2b，∴()?b2???0．

222综上所述，当k＝0时，“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆??14分

当k＞0时，以k为斜率过B1的直线l与半椭圆

x2y2??1（x≥0）的交点是a2b2第 34 页 共 51 页

2007年高考试题汇编----圆锥曲线

2ka2bk2a2b?b3(22,) ka?b2k2a2?b2b2由此，在直线l右测，以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线y?2x上，即不在某一椭圆上．

k当k＜0时，可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上． 上海文21．解：（1）? F0(c，0)，F10，?b2?c2，F20，b2?c2，

??18分

?????F0F2??b237?c2??c2?b?1，F1F2?2b2?c2?1，于是c2?，a2?b2?c2?，

44424x?y2?1(x≥0)，y2?x2?1(x≤0)． 732所求“果圆”方程为

（2）设P(x，y)，则

a?c???b222 |PM|??x???y ??1?2c2????2(a?c)2?b2，?c≤x≤0， ?x?(a?c)x?4?b22 ?1?2?0，? |PM|的最小值只能在x?0或x??c处取到．

c 即当

PM取得最小值时，P在点B1，B2或A1处．

x2y2 （3）?|A1M|?|MA2|，且B1和B2同时位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)和半椭圆

aby2x2x2y2??1(x≤0)上，所以，由（2）知，只需研究P位于“果圆”的半椭圆2?2?1(x≥0)上b2c2ab的情形即可．

2

a?c??2|PM|2??x???y

2??c?a2(a?c)?(a?c)2a2(a?c)22?2?x????b?4a?2c2?4c2222．

a(a?c)a2(a?c)2x?|PM|当x?，即时，的最小值在时取到， ≤aa≤2c222c2ca2(a?c)此时P的横坐标是

2c2a2(a?c)?a，即a?2c时，由于|PM|2在． 当x?22cx?a时是递减的，|PM|2的最小值在x?a时取到，此时P的横坐标是a．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

a2(a?c)综上所述，若a≤2c，当|PM|取得最小值时，点P的横坐标是

2c2取得最小值时，点P的横坐标是a或?c． 陕西22．（本小题满分14分）（答案略）

山东理（答案略）

；若a?2c，当|PM|7m2?16mk?4k2?0，解得 m1??2k,m2??当m??2k时，l:当m??2k22，且满足3?4k?m?0. 7y?k(x?2)，直线过定点(2,0),与已知矛盾；

22y?k(x?)，直线过定点(,0).

772综上可知，直线l过定点，定点坐标为(,0).

7时，l:全国2理 20．解：（1）依题设，圆O的半径r等于原点O到直线x?2k73y?4的距离，

即

r?4?2． 得圆O的方程为x2?y2?4． 1?3A(x1，，0)B(x2，，0)x1?x2．由x2?4 即得 A(?2，，0)B(，2．0 )（2）不妨设

设P(x，y)，由即

PA，POP，B成等比数列，得

(x?22)?y2?(x?22)?y2?x2?，y2x2?y2?2．

????????PA?PB?(?2?x，?y)?(2?x，?y)

?x2?4?y2?2(y?1).2

22??????????x?y?4，2由于点P在圆O内，故? 由此得y?1． 所以PA?PB的取值范围为[?2， 0)．

22??x?y?2.全国1理（21）（答案略）

宁夏理19（答案略）．

辽宁理 本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．满分14分．

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

2?y12??y2?（I）解法一：设A，B两点坐标分别为?，y1?，?，y2?，由题设知

?2??2?2?y12??y12??y12y2?222?y??y?????????(y1?y2)222??2??2??2222． 解得

2y12?y2?12，

所以

A(6，23)，B(6，?23)或A(6，?23)，B(6，23)．

设圆心C的坐标为(r，0)，则r解法二：设又因为由x12??6?4，所以圆C的方程为 (x?4)2?y2?16． 4分 322． ?y2A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知 x12?y12?x2220 ?2x2．即 (x1?x2)(x1?x2?2)?．y12?2x1，y2?2x2，可得x12?2x1?x2?0，x2?0，可知x1?x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．

2?3?3?3?3r，r设C点的坐标为(r，，于是有0)，则A点坐标为?r?2?r，解得r?4，所以????22??2?2????圆C的方程为(x?4)（II）解：设?ECF2?y2?16． ··············································································································· 4分

?2a，则

????????????????CE?CF?|CE|?|CF|?cos2??16cos2??32cos2??16． ······················································· 8分

在Rt△PCE中，cos??x4，由圆的几何性质得 ?|PC||PC|12|PC|≤|MC|?1?7?1?8，|PC|≥|MC|?1?7?1?6，所以≤cos?≤，

23????????????????1616CF的最大值为?，最小值为?8． 由此可得 ?8≤CE?CF≤?． 则CE?99江西理 解法一：（1）在△PAB中，

2AB?2，即22?d12?d2?2d1d2cos2?，

4?(d1?d2)2?4d1d2sin2?，即

d1?d2?4?4d1d2sin2??21???2（常数），

x2y2??1． 点P的轨迹C是以A，B为焦点，实轴长2a?21??的双曲线方程为：1???（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线 ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x?1，M(11)，，N(1，?1)在双曲线上．

即

11?1?55?1，因为0???1，所以??． ??1??2???1?0???1???22y?k(x?1)．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为

?x2y2??1?2222???(1??)kx?2(1??)kx?(1??)(k??)?0， 由?1??得：?????y?k(x?1)??2k2(1??)由题意知：????(1??)k???0， 所以x1?x2???(1??)k22?(1??)(k2??)，x1x2?．

??(1??)k2k2?2于是：y1y2?k(x1?1)(x2?1)???(1??)k22?????????ON?0，且M，N在双曲线右支上，．因为OM?所以

(1??)?x1x2?y1y2?0?k2?????(1??)2??5?12??????1??2?????． ?x1?x2?0?????11???23?xx?0?k2????2???1?0??12?1???由①②知，

5?12≤??． 23解法二：（1）同解法一

（2）设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点为E(x0，y0)．

①当x1?x2?1时，MB?2?1?????1??2???1?0，因为0???1，所以??5?1； 2②当

x1?x2时，

?x12y12??1??x0?1????k???2MN21??y0?x2?y2?1??1???． 又

kMN?kBE?y0x0?1．所以

22(1??)y0??x0??x0；

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?MN??22由∠MON?得x0?y0???22??22?MN??e(x1?x2)?2a?，由第二定义得?????2??2??．

22

12?1???x0?1????x0?(1??)?2x0?1???1??2(??y102??)x0所以

?．?2x 0?(1??

)?(1)22?(1??)2?(1??)y0??x0??x0于是由?得x0?2222?3???(1??)y0??x0?2(1??)x0?(1??)(1??)25?125?12因为x0?1，所以又0???1， 解得：由①②知 ?1，???．≤??．

23232?3?江

西

文

22

解

：

（

1

）

在

△PF1F2中，

F1F2?2

的

24?d12?d2?2d1d2cos2??(d1?d2)2?4d1d2sin2?(d1?d2)2?4?4?d1?d2?21??（小于2的常数）故动点P的轨迹C是以F1，F2为焦点，实轴长2a?21??x2y2??1． 双曲线方程为

1???（2）方法一：在△AF1B中，设

AF1?d1，AF2?d2，BF1?d3，BF2?d4．

假设△AF1B为等腰直角三角形，则

??d?d?2a?①?12?d3?d4?2a?②??d3?d4?d2?③ ??d1?2d3?④?2π???⑤?d3d4sin?4由②与③得d2?2a，

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2007年高考试题汇编----圆锥曲线

?d1?4a?则?d3?22a ??d4?d3?2a?2(2?1)a由⑤得

d3d4?2?，

42(?2a2?1)? 2 (8?42)(1??)?2?，

??12?22?(0，1)

17?12?2217满足题设条件．

故存在?方法二：（1）设△AF1B为等腰直角三角形，依题设可得

?2?22??2πAF?AF??，AF?AF?sin???122?π?1?82?1

1?cos???42π?BF?BF??sin??12???4?BF1?BF2?2?所以S△AFF则S△AFB112?1π1AF1?AF2sin?(2?1)?，S△BF1F2?BF1?BF2??． 242?(2?2)?．①

由

S△AF1F2S△BF1F2?AF2BF2?2?1，可设BF2?d，

112AB?(2?2)2d2．② 22则

AF2?(2?1)d，BF1?AB?(2?2)d． 则S△AF1B?2)d2?2?．③

由①②得(2?根据双曲线定义平方得：(BF1?BF2?2a?21??可得，(2?1)d?21??．

2?1)2d2?4(1??)．④

由③④消去d可解得，??12?2212?22?(0，1) 故存在??1717满足题设条件．

江苏理 解：（1）设过C点的直线为

y?kx?c，所以x2?kx?c?c?0?，即x2?kx?c?0，

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