新课标高二数学选修2-2导数单元测试题(有答案)(十五)

新课标选修2-2高二数学理导数测试题

一．选择题

(1) 函数f(x) x3 3x2 1是减函数的区间为

( D )

A．(2, ) B．( ,2) C．( ,0) D．（0，2） （2）曲线y x3 3x2 1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）

A．y 3x 4 B。y 3x 2 C。y 4x 3 D。y 4x 5a

(3) 函数y＝ax＋1的图象与直线y＝x相切，则a＝ ( )

111

A． B． C． D．1

842

2

(4) 函数f(x) x3 ax2 3x 9,已知f(x)在x 3时取得极值，则a= ( )

D．5

(5) 在函数y x3 8x的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是

4

( ) A．3 B．2 C．1 D．0 （6）函数f(x) ax3 x 1有极值的充要条件是 （ ）

A．a 0 B．a 0 C．a 0 D．a 0 （7）函数f(x) 3x 4x3 （x 0,1 的最大值是（ ） A．

1

B． -1 C．0 D．1 2

A．2 B．3 C．4

（8）函数f(x)=x（x－1）（x－2）…（x－100）在x＝0处的导数值为（ ） A、0 B、1002 C、200 D、100！

1 4

（9）曲线y x3 x在点 1 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ）

3 3 1212Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

9933

二．填空题 （1）．垂直于直线2x+6y＋1=0且与曲线y = x3＋3x－5相切的直线方程是 。

123

（2）．设f ( x ) = x－x－2x＋5，当x [ 1,2]时，f ( x ) < m恒成立，则实数m的取

2

值范围为 .

（3）．函数y = f ( x ) = x＋ax＋bx＋a，在x = 1时，有极值10，则a = ,b = 。

3

（4）．已知函数f(x) 4x3 bx2 ax 5在x ,x 1处有极值，那么a ；b 2

（5）．已知函数f(x) x3 ax在R上有两个极值点，则实数a322

（6）．已知函数f(x) x3 3ax2 3(a 2)x 1 既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围（7）．若函数f(x) x3 x2 mx 1 是R是的单调函数，则实数m（8）．设点P是曲线y x3 3x 上的任意一点，P点处切线倾斜角为 ，则角 的取值范围是 。 三．解答题

1．已知函数f(x) x3 bx2 ax d的图象过点P（0,2）,且在点M( 1,f( 1))处的切线方程为6x y 7 0.（Ⅰ）求函数y f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y f(x)的单调区间.

2．已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x 1处取得极值.

（Ⅰ）讨论f(1)和f( 1)是函数f(x)的极大值还是极小值； （Ⅱ）过点A(0,16)作曲线y f(x)的切线，求此切线方程.

3

3．已知函数f(x) ax3 (a 2)x2 6x 3

2

（1）当a 2时，求函数f(x)极小值；（2）试讨论曲线y f(x)与x轴公共点的个数。

23

4．已知x 1是函数f(x) mx3 3(m 1)x2 nx 1的一个极值点，其中m,n R,m 0， （I）求m与n的关系式； （II）求f(x)的单调区间；

（III）当x 1,1 时，函数y f(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围.

5．设函数f(x) 2x3 3ax2 3bx 8c在x 1及x 2时取得极值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若对于任意的x [0，3]，都有f(x) c2成立，求c的取值范围．

6．已知f(x) ax3 bx2 cx在区间[0,1]上是增函数,在区间( ,0),(1, )上是减函数,又

13f () . 22

(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在区间[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.

7．设函数f(x) ax3 bx c(a 0)为奇函数，其图象在点(1,f(1)处)的切线与直线x 6y 7 0垂直，导函数f'(x)的最小值为 12． （Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调递增区间，并求函数f(x)在[ 1,3]上的最大值和最小值．

参考解答

一．BBDDD CDDA

1

二．1、y=3x-5 2、m>7 3、4 -11 4、 18, 3 5、( ,0) 6、 , )7、

3

2

( , 1) (2, ) 8、[0,] [, )

23

三．1．解：（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d=2，所以

f(x) x3 bx2 cx 2,f (x) 3x2 2bx c.由在M( 1,f( 1))处的切线方程是6x y 7 0

3 2b c 6, 2b c 3,

知 6 f( 1) 7 0,即f( 1) 1,f( 1) 6. 即 解得b c 3.故

1 b c 2 1.b c 0, 所

求

的

解

析

式

是

f(x) x3 3x2 3x 2.

（2）

f (x) 3x2 6x 3.

令3x2 6x 3 0,即x2 2x 1 0.解得 x1 1 2,x2 1 2. 当

当

1 2 x 1 2时,f (x) 0.

x 1 2,或x 1 2时,f (x) 0;故

在(1 2,1 2)内是减函数，在(1 2, )内f(x) x3 3x2 3x 2在( ,1 2)内是增函数，

是增函数.

2．（Ⅰ）解：f (x) 3ax2 2bx 3，依题意，f (1) f ( 1) 0，即

3a 2b 3 0,

解得a 1,b 0.

3a 2b 3 0.

∴f(x) x3 3x,f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1). 令f (x) 0，得x 1,x 1.

若x ( , 1) (1, )，则f (x) 0，

故f(x)在( , 1)上是增函数，f(x)在(1, )上是增函数. 若x ( 1,1)，则f (x) 0，故f(x)在( 1,1)上是减函数. 所以，f( 1) 2是极大值；f(1) 2是极小值.

（Ⅱ）解：曲线方程为y x3 3x，点A(0,16)不在曲线上.

3

设切点为M(x0,y0)，则点M的坐标满足y0 x0 3x0.

22

因f (x0) 3(x0 1)，故切线的方程为y y0 3(x0 1)(x x0)

32

注意到点A（0，16）在切线上，有16 (x0 3x0) 3(x0 1)(0 x0) 3化简得x0 8，解得x0 2.

所以，切点为M( 2, 2)，切线方程为9x y 16 0.

a2

3．解：（1）f'(x) 3ax2 3(a 2)x 6 3a(x )(x 1),f(x)极小值为f(1)

2a

（2）①若a 0，则f(x) 3(x 1)2， f(x)的图像与x轴只有一个交点； ②若a 0， f(x)极大值为f(1)

f(x)的图像与x轴有三个交点；

a

0，22

f(x)的极小值为f() 0，

a

③若0 a 2，f(x)的图像与x轴只有一个交点；

④若a 2，则f'(x) 6(x 1)2 0， f(x)的图像与x轴只有一个交点；

2133

⑤若a 2，由（1）知f(x)的极大值为f() 4( )2 0， f(x)的图像与x轴只有

aa44

一个交点；

综上知，若a 0,f(x)的图像与x轴只有一个交点；若a 0，f(x)的图像与x轴有三个交点。 4．解(I)f (x) 3mx2 6(m 1)x n因为x 1是函数f(x)的一个极值点,

所以f (1) 0,即3m 6(m 1) n 0，所以n 3m 6

2

（II）由（I）知，f (x) 3mx2 6(m 1)x 3m 6=3m(x 1) x 1

m

当m 0时，有1 1

2

，当x变化时，f(x)与f (x)的变化如下表： m

2

故有上表知，当m 0时，f(x)在 ,1 单调递减，

m

在(1

2

,1)单调递增，在(1, )上单调递减. m

（III）由已知得f (x) 3m，即mx2 2(m 1)x 2 0

2222

(m 1)x 0即x2 (m 1)x 0,x 1,1 ① mmmm12

设g(x) x2 2(1 )x ，其函数开口向上，由题意知①式恒成立，

mm

又m 0所以x2

22

g( 1) 0 1 2 0所以 解之得 mm

g(1) 0 1 04

m又m 0 3

4

所以 m 0

3

4

即m的取值范围为 ,0

3

5．解：（Ⅰ）f (x) 6x2 6ax 3b，

因为函数f(x)在x 1及x 2取得极值，则有f (1) 0，f (2) 0． 6 6a 3b 0，即 24 12a 3b 0．解得a 3，b 4．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，f(x) 2x3 9x2 12x 8c， f (x) 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2)． 当x (0，1)时，f (x) 0； 当x (1，2)时，f (x) 0； 当x (2，3)时，f (x) 0．

所以，当x 1时，f(x)取得极大值f(1) 5 8c，又f(0) 8c，f(3) 9 8c． 则当x 0，3 时，f(x)的最大值为f(3) 9 8c． 因为对于任意的x 0，3 ，有f(x) c2恒成立，

所以 9 8c c2， 解得 c 1或c 9， 因此c的取值范围为( ， 1)(9， )． 6．解：（Ⅰ）f (x) 3ax2 2bx c，由已知f (0) f (1) 0，

c 0，

c 0， 即 解得 3

3a 2b c 0，b a． 2

1 3a3a3

f (x) 3ax2 3ax， f ， a 2， f(x) 2x3 3x2．

2 422

（Ⅱ）令f(x)≤x，即 2x3 3x2 x≤0，

1

x(2x 1)(x 1)≥0， 0≤x≤或x≥1．

2

1

又f(x)≤x在区间 0，m 上恒成立， 0 m≤

2

7.（Ⅰ）∵f(x)为奇函数，

∴f( x) f(x)

即 ax3 bx c ax3 bx c ∴c 0

∵f'(x) 3ax2 b的最小值为 12

∴b 12

1

又直线x 6y 7 0的斜率为

6

因此，f'(1) 3a b 6 ∴a 2，b 12，c 0． （Ⅱ）f(x) 2x3 12x．

2

∵f( 1) 10，f f(3) 18

∴f(x)在[ 1,3]上的最大值是f(3) 18，最小值是f

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