福建省龙岩市非一级达标校2015届高三上学期期末质量检查数学理试

福建省龙岩市非一级达标校2015届高三上学期期末质量检查

数学（理科）试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、已知??yy?x2,x?R，??yx2?y2?1,x?R,y?R，则???????（ ）

A．??2,2? B．?0,2? C．?0,1? D．??1,1? 2、把一个骰子连续抛掷两次，第一次得到的点数为a，第二次得到的点数为b，则事件“a?b”的概率为（ ）

1111A． B． C． D．

6124363、抛物线x2?4y的准线方程是（ ） A．x?1 B．x??1 C．y?1 D．y??1

4、某几何体的三视图如图所示，它的体积为（ ） A．81? B．57? C．45? D．12?

5、甲、乙两位同学在高二5次月考的数学成绩统计如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，则下列正确的是（ ） A．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定 B．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定 C．x甲?x乙，甲比乙成绩稳定 D．x甲?x乙，乙比甲成绩稳定 6、阅读如右图所示的程序框图，则该算法的功能是（ ） A．计算数列?2n?1?前5项的和 B．计算数列?2n?1?前5项的和 C．计算数列?2n?1?前6项的和 D．计算数列?2n?1?前6项的和 7、下列结论正确的是（ ）

A．命题“若sin??sin?，则???”是真命题

B．若函数f?x?可导，且在x?x0处有极值，则f??x0??0 C．向量a，b的夹角为钝角的充要条件是a?b?0

D．命题p:“?x?R，ex?x?1”的否定是“?x?R，ex?x?1” 8、等差数列?an?的前n项和为Sn，a3?11，S14?217，则a12?（ ）

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A．18 B．20 C．21 D．22

x?f?x1??f?x2??a,x?09、已知函数f?x???满足对任意x1?x2，都有?0x1?x2???a?3?x?4a,x?0成立，则实数a的取值范围是（ ）

1??1?A． C． D．0,0,3?0,1? B．?????0,? ?4???4?10、若两条异面直线所成的角为60，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连结正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有（ ）

A．48对 B．24对 C．12对 D．66对 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分．） 11、已知随机变量?服从正态分布??2,?2?，则????0 ????4??0.84，?? ．x2y212、过双曲线2?2?1（a?0，b?0）的一个焦点F作一条渐近线的垂线，若

ab垂足恰在线段?F（?为坐标原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为 ．

13、某老师从课本上抄录一个随机变量?的概率分布列如下表：

请甲同学计算?的数学期望，尽管“!”处完全无法看清，且两个“?”处字迹模糊，但能断定这两个“?”处的数值相同，据此，该同学给出了正确答案

??? ．

C的对边分别为a，b，14、在???C中，内角?，且满足2acos??bcos??c，c，?，

则?? ．

15、已知定义在区间?0,1?上的函数y?f?x?的图象如图所示，对于满足

0?x1?x2?1的任意x1，x2，给出下列结论： ①f?x2??f?x1??x2?x1；②x2f?x1??x1f?x2?； ③

f?x1??f?x2??2f?x2??f?x1??x?x?f?12?；④?0．

x2?x1?2?其中正确结论的序号是 ．（把所有正确结论的序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、证明过程或演

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算步骤．） 16、（本小题满分13分）某同学用“五点法”画函数f?x???sin??x???在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

???求x1，x2，x3的值及函数f?x?的表达式；

????将函数f?x?的图象向左平移?个单位，可得到函数g?x?的图象，求函数

?5?y?f?x??g?x?在区间?0,?3??的最小值． ?

x2y217、（本小题满分13分）已知椭圆C:2?2?1（a?b?0）的右焦点与抛物线

ab6． y2?86x的焦点重合，且椭圆C的离心率e?3???求椭圆C的标准方程；

????若直线x?t（t?0）与椭圆C交于不同的两点?，?，以线段??为直径作圆

?．若圆?与y轴相切，求直线x?3y?1?0被圆?所截得的弦长． 18、（本小题满分13分）我国东部某风景区内住着一个少数民族部落，该部落拟投资1500万元用于修复和加强民俗文化基础设施．据测算，修复好部落民俗文化基础设施后，任何一个月（每月均按30天计算）中第n天的游客人数an近似满足

10（单位：千人），第n天游客人均消费金额bn近似满足bn?162?n?18n（单位：元）．

???求该部落第n天的日旅游收入cn（单位：千元，1?n?30，n???）的表达式；an?10?

- 3 -

????若以一个月中最低日旅游收入金额的1%作为每一天应回收的投资成本，试问

该部落至少经过几年就可以收回全部投资成本． 19、（本小题满分13分）如图，在四棱锥????CD中，侧棱???底面??CD，?D//?C，???C?90，???????C?2，?D?1，?是棱??中点． ???求证：??//平面?CD；

????设点?是线段CD上一动点，且D???DC，当直线??与平面???所成的角

最大时，求?的值．

20、（本小题满分14分）已知函数f?x??ax2?x?lnx（a?R）．

???当a?1时，求函数f?x?的图象在点?1,f?1??处的切线方程； ????设a?0，求证：当x?0时，f?x??2x?1；

，求实数a的取值范围． ?????若函数y?f?x?恰有两个零点x1，x2（x1?x2）

21、（本小题满分14分）

本题有?1?、?2?、?3?三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．

?1?（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知线性变换?把点?1,?1?变成了点?1,0?，把点?1,1?变成了点?0,1?．

???求变换?所对应的矩阵?；

????求直线y??1在变换?的作用下所得到的直线方程．

- 4 -

?2?（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已

???知直线l的极坐标方程为?sin?????m（m为常数），圆C的参数方程为

?6???x??1?2cos?（?为参数）． ???y?3?2sin????求直线l的直角坐标方程和圆C的普通方程；

????若圆心C关于直线l的对称点亦在圆上，求实数m的值．

?3?（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

已知x?2y?3z?4（x，y，z?R）．

???求x2?y2?z2的最小值； ????若a?2?取值范围．

72x?y2?z2?对满足条件的一切实数x，y，z恒成立，求实数a的?2

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龙岩市非一级达标校2014～2015学年第一学期期末高三教学质量检查 数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：

一、本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如

果考生的解法与本解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准指定相应的评分细则.

二、对计算题，当考生的解答在某一部分解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程

度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.

三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.

一、选择题：本涂考察基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分.

1-5 CADBD 6-10 CBBBB

二、填空题：本题考察基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分.

11．0.16 12．2 13．3 14．

?2 15．②③④

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由

2?8?1? ……2分 ????0,????0可得 :??,???3323 1??1?3?1?由x1??;x2??;x3??2?可得: 232232235?11?14? x1?,x2?,x3?33315??又?Asin(??)?2 ?A?2

2331??f(x)?2sin(x?) ……6分

231?（Ⅱ）由f(x)?2sin(x?)的图象向左平移?个单位

231??x?得g(x)?2sin(x??)?2cos(?)的图象, ……8

23223x?x?2?……10分 ?y?f(x).g(x)?2?2sin(?)?cos(?)?2sin(x?)23233

5?2?2??x?(0,)时, x??(?,?)

3332???ymin??2 ……13分 ?当x???时，即x?时，3261?1?注：若用f(x)?4sin(x?)sin(x?)运算，请参照给分.

2326分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）因为抛物线y2?86x的焦点坐标为(26,0)，所以C?26 ………2分

- 6 -

c266222，所以a?6,b?a?c?12 ??aa3x2y2所以椭圆方程为：……5分 ??13612

（Ⅱ）由题意知M，圆心M为线段AB中点，且位于x轴的正半轴，

故设M的坐标为(t,0)

因为圆M与y轴相切，不妨设点B在第一象限，又MA?MB?t，所以B(t,t)

又椭圆的离心率e?t2t2???1(t?0) 解得t?3 ……8分 3612?圆心M(3,0),半径r?3

?圆M的方程为：(x?3)2?y2?9 ……10分

3?0?1又圆心M到直线x?3y?1?0的距离d??2

2所以，直线x?3y?1?0被圆M所截得的弦长为：

2r2?d2?29?4?25 ………13分

18.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）当1?n?18时，cn?anbn?10(1?)(144?n)?1450?当19?n?30时，

1n1440?10n……2分 n11801800cn?anbn?10(1?)(180?n)?10(179??n)?1790??10n …4分

nnn1440?1450??10n,1?n?18??n综上，cn?? ……6分

?1790?1800?10n,19?n?30?n?（Ⅱ）当1?n?18时，cn?1450?14401440?10n?1450?2?10n?1690（当且仅nn1800?10n n当n?12时取等号） ……8分

当19?n?30时，cn?1790?∵y?1800?10n在[19,30]上为减函数， n1800∴cn?1790??10?30?1550 ……10分

30于是(cn)min?c30?1550（千元），即日最低收入为1550千元.

该村一年可收回的投资资金为1550?1%?30?12=5580（千元）=558（万元）， 两年可收回的投资资金为558?2?1116（万元）， 三年可收回的投资资金为558?3=1674（万元）.

∴至少经过3年可以收回全部投资成本. ……13分

19.（本小题满分13分） 解：（1）以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(1,0,0),P(0,0,2),M(0,1,1)

P则AM?(0,1,1),PD?(1,0,?2),CD?(?1,?2,0) M - 7 - BCAD设平面PCD的法向量是n?(x，，yz)，则

??PD?n?0?x?2z?0,即? ??x?2y?0,??CD?n?0?令z?1，则x?2,y??1，于是n?(2，?11)，

∵AM?n?0，∴AM?n，

∴AM//平面PCD ……6分 （2）因为点N是线段CD上的一点，可设DN??DC??(1,2,0)

AN?AD?DN?(1,0,0)??(1,2,0)?(1??,2?,0) MN?AN?AM?(1??,2?,0)?(0,1,1)?(1??,2??1,?1)

又面PAB的法向量为错误！未找到引用源。 设MN与平面PAB所成的角为? 则sin??(1??,2??1,?1)?(1,0,0)(1??)?(2??1)?11??222?1??5??2??32 ?5(1??)?12(1??)?10

137121210(?)2??10()1??551??1??213?当? 时， 即5?3?3?，??时，sin?最大，

1??532所以MN与平面PAB所成的角最大时?? ……13分

35?20. （本小题满分14分）

解：（Ⅰ）当a?1时,f(x)?x?x?lnx, f?(x)?2x?1?2?1?1

1 x?f(1)?2,f?(1)?4

函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y?2?4(x?1)

即4x?y?2?0 ……………………4分

（Ⅱ）当a?0时，设g(x)?f(x)?(2x?1)?lnx?x?1(x?0),

11?x， ?1?xx当0?x?1时，g?(x)?0；当x?1时，g?(x)?0.

因此，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上是单调递减

则g?(x)?得g(x)?gmax(x)?g(1)?0，即f(x)?2x?1. …………9分

12ax2?x?1（Ⅲ）由f(x)?ax?x?lnx(x?0)得f?(x)?2ax?1??.

xx当a?0时f?(x)?0则f(x)在(0,??)上是单调递增， 因此函数f(x)至多只有一个零点，不符合题意. …………10分

2

- 8 -

当a?0时，由2ax2?x?1?0得x3??1?1?8a?0

4a因此，f(x)在(0,x3)上是单调递增，在(x3,??)上是单调递减， 所以fmax(x)?f(x3).

一方面，当x从右边趋近于0时，f(x)???；

当x???时，f(x)?ax?x?lnx?ax?x?x?1?ax?2x?1(a?0) 因此，f(x)??? …………11分

222x3?1 2x?1x?1?2lnx3因此，f(x3)?ax32?x3?lnx3??3 ?x3?lnx3?322很明显f(x3)在(0,??)上是单调递增且f(1)?0

另一方面，由f?(x3)?0得2ax32?x3?1?0，即ax32??根据题意得 f(x3)?0?f(1) ，

?x3?1即方程2ax2?x?1?0有且只有一个大于1的正实数根.

2设h(x)?2ax?x?1，由a?0且h(0)?1?0,得h(1)?0解得a??1

所以，实数a的取值范围是(?1,0) ………………14分

21．（本小题满分14分） 解：（1）（Ⅰ）解：设M???ab??，依题意 cd???ab??1??1??ab??1??0????????，??????? cd?10cd?????????1??1?1?a??2??a?b?11??1?b??1??c?d?0?2???22所以?，所以?，所以M??? ……3分

a?b?0111????c??????22?2c?d?1??1?d??211??1?1x?y?x'??2??x??x'???222（Ⅱ）由? ??????得?11??y??y'??1?1x?y?y'????22?22??x?x'?y'所以?，代入y??1得y'?x'??1，即x'?y'?1?0

?y?y'?x'所以所求直线方程为x?y?1?0 …………7分

???（2）（Ⅰ）由?sin(??)?m得?sincos???cossin??m

666所以直线的直角坐标方程为x?3y?2m?0

圆C的普通方程为(x?1)2?(y?3)2?4 …………3分

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（Ⅱ）圆C的圆心C的坐标C(?1,3)，依题意，圆心C到直线的距离为1，

|?1?3?3?2m|?1，解得m??1或m??3 …………7分

22222222（3）（Ⅰ）因为(x?2y?3z)?(1?2?3)(x?y?z)且|x?2y?3z|?4

88222所以x2?y2?z2?，即x?y?z的最小值为 …………3分

778（Ⅱ）因为x2?y2?z2的最小值为,

7所以a?2?4

所以所以?4?a?2?4 所以?6?a?2，即a的取值范围为[?6,2]. …………7分

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