2011届高三数学上册第一次阶段考试试题1

岳阳县一中2011届高三第一次阶段考试

数 学 试 题（理科）

分值：150分 时间：120分钟

一、选择题（每小题5分，共40分）

A?{x|x2?9x?0,x?N*},B?{y|1、若集合

（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

4?N*},则A?By中元素个数为

2y2?x??xy?x|??1?y|??1???94?，?，2、已知集合M=?N=?32则M?N? （ ）

A．?

B．{(3,0),(2,0)}

D．?3,2?

C．??3,3?

3、在?ABC中，sin A＝sin B是△ABC为等腰三角形的

（ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4、已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且那

么

f(x?1)?1f(x),若f(x)在[?1,0]上是减函数,[2,3]上

f(x)在是

( )

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 5、如下图，已知

f(x)?ax3?bx2?cx?d?a?0?,的y 大

y 致

记

??4?b2?3ac?,图

象y 则当

??0且ay ?0时，f(x)为

o A （ ）.

x o B x o C x o D x 1y?()|1?x|?m26、若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是 （ ）

A．m≤－1

B．－1≤m<0

C．m≥1 D．0

7、若f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f(x?4)?f(x)?4和

f(x?2)?f(x)?2（ ）

A．2008

且

f(1)?2，则

f(2)00的9值

是

B．2009 C．2010 D．2011

5[]?1*8、设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]?2,4),对于给定的n?N,定义

Cnx?n(n?1)?(n?[x]?1)3x?[,3)C8xx(x?1)?(x?[x]?1),x?[1,??),则当2时,函数的值域是

（ ）

1616281628A.[,28]B.[,56)C.(4,)?[28,56)D.(4,]?(,28]33333

二、填空题（每小题5分，共35分） 9、满足

?0,1,2?A?{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是_______个。

210、已知命题p:?x?R，x?2ax?a?0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围

是 ．

11、按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断 框中的整数M的值是 ．

12、某同学在借助计算器求“方程lgx=2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4个值分别依次是 ．

开始 A 1, S 1 N A≤M Y S 2S+1 A A+ 1 输出S 结束 （11题）

13、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，当

x1,x2?[0,3]，

且

x1?x2时，都有

f(x1)?f(x2)?0x1?x2给出下列命题：①f(3)=0；②直线x=一6是函数y=f(x)

的图象的一条对称轴；③函数y=f(x)在[一9，一6]上为增函数； ④函数y=f(x)在[一9，

9]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上)

14、设含有集合A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合A的所有子集记为B1,B2,B3,…,Bn(其中n

∈N*),又将Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为ak,则k?1?ank=_____

15、设函数成立，则称

f?x?f?x?2的定义域为R，若存在常数k?0，使为“海宝”函数. 给出下列函数：

f?x??k2010x对一切实数x均

①

f?x??xf?x?；②

f?x??sinx?cosx；③

f?x??xx2fx?3?1??x?x?1；④

其中是“海宝”函数的序号为 ．

三、解答题（75分） 16、（本题满分12）若集合

A?{x|loga(x2?x?2)?2，a?0且a?1}

（1）若a?2，求集合A；

9?A4（2）若，求a的取值范围．

17、（本题满分12）如右图所示，定义在D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数A，都有f(x)?A成立，则称函数f(x)在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）

f(x)?x3?（1）试判断函数

（2）已知某质点的运动方程为

48x在(0,??)上是否有下界？并说明理由； S(t)?at?2t?1，要使在t?[0,??)上的每一

A?时刻该质点的瞬时速度是以

12为下界的函数，求实数a的取值范围

3218、（本题满分12）已知f(x)?ax?3x?x?1，a?R． （Ⅰ）当a??3时，求证：f(x)在R上是减函数；

?（Ⅱ）如果对?x?R不等式f(x)?4x恒成立，求实数a的取值范围．

19．（本小题满分13分）

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产

?1, 1?x?20,x?N?f(x)??1x, 21?x?60,x?N?10?品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多

的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率

f(3)第x个月的利润g(3)?g(x)?81?f(1)?f(2)． 第x个月前的资金总和，例如：

（Ⅰ）求第x个月的当月利润率g(x)的表达式；

（Ⅱ）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

2f(x)?ax?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程20、（本小题满分13分）已知二次函数

f(x)?x的两个实数根为x1和x2.

x?x0x??1（1）如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为，求证：0；

（2）如果

21、（本小题满分13分）已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1。 （I）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围；

x1?2，

x2?x1?2，求b的取值范围.

（Ⅲ）证明：i?2?(nlnin(n?1))?,(n?N?,n?1)(i?1)4

岳阳县一中2011届高三第一次阶段考试（答案） 数 学 试 题（理科）

分值：150分 时间：120分钟 命题人：唐 亮 审题人：晏桂保 一、选择题（每小题5分，共40分）

A?{x|x2?9x?0,x?N*},B?{y|1、若集合

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案 D

4?N*},则A?By中元素个数为（ ）

2y2?xy??x??1??y|??1??x|?4?，N=?32?，则M?N? （ ） 2、已知集合M=?9A．?

B．{(3,0),(2,0)}

D．?3,2?

C．??3,3?

答案 C

3、在?ABC中，sin A＝sin B是△ABC为等腰三角形的 （ ）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A

4、已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,且那么f(x)在[2,3]上是 ( )

f(x?1)?1f(x),若f(x)在[?1,0]上是减函数,

A. 增函数 B. 减函数 C. 先增后减的函数 D. 先减后增的函数 答案 A

5、如下图，已知

f(x)?ax3?bx2?cx?d?a?0?,记

??4?b2?3ac?,则当

??0且ay ?0时，f(x)的大致图象为（ ）.

y y y o A 答案 C

x o B x o C x o D x ?(x)?3x2?2bx?cf解析：，由??0,a?0可知选C。

1y?()|1?x|?m26、若函数的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（ ）

A．m≤－1

B．－1≤m<0

C．m≥1 D．0

1?y?()|1?x|2解：

?1x?1?(2)???2x?1?(x?1)(x?1)，

画图象可知－1≤m<0。 答案为B。

7、若f(x)是定义在R上的函数，对任意的实数x，都有f(x?4)?f(x)?4和

f(x?2)?f(x)?2且f(1)?2，则f(2009)的值是（ ）

A．2008 答案 C

B．2009 C．2010 D．2011

5[]?1*8、设[x]表示不超过x的最大整数(如[2]?2,4),对于给定的n?N,定义

Cnx?n(n?1)?(n?[x]?1)3x?[,3)xx(x?1)?(x?[x]?1),x?[1,??),则当2时,函数C8的值域是 D

1616281628A.[,28]B.[,56)C.(4,)?[28,56)D.(4,]?(,28]33333

二、填空题（每小题5分，共35分） 9、满足

?0,1,2?A?{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是_______个。

答案 7

210、已知命题p:?x?R，x?2ax?a?0．若命题p是假命题，则实数a的取值范围

是 ． 答案 (0,1).

11、按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是 ．

答案 5

12、某同学在借助计算器求“方程lgx=2－x的近似解（精确到0.1）”时，设f(x)=lgx＋x－2，算得f(1)＜0，f(2)＞0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8．那么他再取的x的4个值分别依次是 ．

答案 1．5，1．75，1．875，1．8125；

13、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)成立，当

x1,x2?[0,3]，

f(x1)?f(x2)?0x?x2x1?x2且1时，都有给出下列命题：

①f (3)=0；

②直线x=一6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴； ③函数y=f(x)在[一9，一6]上为增函数； ④函数y=f (x)在[一9，9]上有四个零点．

其中所有正确命题的序号为______________(把所有正确命题的序号都填上) 答案 ①②④

14、设含有集合A={1,2,4,8,16}中三个元素的集合A的所有子集记为B1,B2,B3,…,Bn(其中n

∈N*),又将Bk(k=1,2,……,n)的元素之和记为ak,则k?1?aknk=_____

解析 五个元素中，每个元素都出现

2C4=6次，

?ak?1n=6×(1+2+4+8+16)=186,填186

15、设函数成立，则称

f?x?f?x?2的定义域为R，若存在常数k?0，使为“海宝”函数. 给出下列函数：

f?x??k2010x对一切实数x均

①

f?x??xf?x?；②

f?x??sinx?cosx；③

f?x??xxx2?x?1；④f?x??3?1

其中是“海宝”函数的序号为 ③ ．

三、解答题（75分） 16、（本题满分12）若集合

A?{x|loga(x2?x?2)?2，a?0且a?1}

（1）若a?2，求集合A；

9?A（2）若4，求a的取值范围．

2log(x?x?2)?2，则x2?x?2?4 ………………2分 a?22答案：[解]（1）若，

x?x?6?0，(x?3)(x?2)?0，得x??2或x?3 ………………4分

2 所以

A?{xx??2,或x?3} ………………5分

999?Aloga[()2??2]?244（2）因为4，所以 ………………7分

loga1313?2loga?2?01616， 因为 所以 0?a?1 ………………9分

13?a?14 ………………12分

13?a2且16 ………………11分

17、（本题满分12）如右图所示，定义在D上的函数f(x)，如果满足：对?x?D，?常数A，都有f(x)?A成立，则称函数f(x)在D上有下界，其中A称为函数的下界．（提示：图中的常数A可以是正数，也可以是负数或零）

f(x)?x3?（1）试判断函数

48x在(0,??)上是否有下界？并说明理由；

（2）已知某质点的运动方程为S(t)?at?2t?1，要使在t?[0,??)上的每一时刻该质点

A?的瞬时速度是以

12为下界的函数，求实数a的取值范围．

解：1）求导或基本不等式的推广都可以证明有下界（A=32）存在． （2）质点在t?[0,??)上的每一时刻该质点的瞬时速度

v?S'(t)?a?1t?1。

a?1t?1?12

依题意得对?t?[0,??)有

a? 即：

1t?1?13

a?

2对?t?[0,??)恒成立 ．所以 2．

32f(x)?ax?3x?x?1，a?R． 18、（本题满分12）已知

（Ⅰ）当a??3时，求证：f(x)在R上是减函数；

?（Ⅱ）如果对?x?R不等式f(x)?4x恒成立，求实数a的取值范围．

32f(x)??3x?3x?x?1 a??3解：（Ⅰ）当时，/2f(x)??9x?6x?1 ∵

??(3x?1)2?0

∴f(x)在R上是减函数

?（Ⅱ）∵?x?R不等式f(x)?4x恒成立

2即?x?R不等式3ax?6x?1?4x恒成立

2∴?x?R不等式3ax?2x?1?0恒成立

当a?0时，?x?R 2x?1?0不恒成立

23ax?2x?1?0恒成立 a?0?x?R当时，不等式

即??4?12a?0

a??∴

13

23ax?2x?1?0不恒成立 a?0?x?R当时，不等式

1(??，?]3 综上所述，a的取值范围是

19．（本小题满分13分）

某企业投入81万元经销某产品，经销时间共60个月，市场调研表明，该企业在经销这个产

?1, 1?x?20,x?N?f(x)??1x, 21?x?60,x?N??10品期间第x个月的利润（单位：万元），为了获得更多

的利润，企业将每月获得的利润投入到次月的经营中，记第x个月的当月利润率

g(x)?f(3)第x个月的利润g(3)?81?f(1)?f(2)． 第x个月前的资金总和，例如：

（Ⅰ）求第x个月的当月利润率g(x)的表达式；

（Ⅱ）该企业经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求该月的当月利润率．

?1, 1?x?20,x?N??x?80g(x)??2x?, 21?x?60,x?N2?x?x?1600?19．解：(Ⅰ) --------------------------------6分

(Ⅱ)

g(x)max?279

…………………12分

2答：该企业经销此产品期间，第40个月的当月利润率最大，最大值为79……………13分

2f(x)?ax?bx?1(a,b?R,a?0)，设方程20、（本小题满分13分）已知二次函数

f(x)?x的两个实数根为x1和x2.

x?x0x??1（1）如果x1?2?x2?4，设函数f(x)的对称轴为，求证：0；

（2）如果

x1?2，

x2?x1?2，求b的取值范围.

2g(x)?f(x)?x?ax?(b?1)x?1，则g(x)?0的二根为x1和x2。 解析：设

?4a?2b?1?0?g(2)?0??16a?4b?3?0， g(4)?0x?2?x?42（1）由a?0及1，可得 ?，即?b3?3?3???0,??2a4a???4?2?b?3?0,?2a4a即?

b?1x??1两式相加得2a，所以，0；

(x1?x2)2?(b?124)?2aa, 可得 2a?1?(b?1)?1。

（2）由

又

x1x2?1?0a，所以x1,x2同号。

??0?x1?2?x2?2a?1?(b?1)2?1?x1?2x2?x1?2?∴ ，等价于

??x2??2?x1?0?22a?1?(b?1)?1?或?,

?g(2)?0?g(?2)?0?????g(0)?0?g(0)?0??22a?1?(b?1)?12a?1?(b?1)2?1????即 或

b?解之得

17b?4或4。

点评：条件x1?2?x2?4实际上给出了f(x)?x的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化。

21、（本小题满分13分）已知函数f(x)?ln(x?1)?k(x?1)?1。 （I）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若f(x)?0恒成立，试确定实数k的取值范围； （Ⅲ）证明：①ln(x?1)?x?2在(2,??)上恒成立

②i?2?((i?1))?nlnin(n?1),(n?N?,n?1)4

f(x)的定义域为(1,??),f'(x)?解：（I）函数

1?kx?1

当k?0时

f'(x)?1?k?0x?1，则f(x)在(1,??)上是增函数

11x?(1,1?)f'(x)??k?0k时有x?1当k?0时，若 x?(1?111,??)f'(x)??k?0f(x)在(1,1?)kx?1k上是增函数，在时有则

若

(1?1,??)k上是减函数 ……………………（4分）

（Ⅱ）由（I）知k?0，时f(x)在(1,??)递增，而f(2)?1?k?0,f(x)?0不成立，故k?0

1ymax?f(1?)??lnkk又由（I）知，要使f(x)?0恒成立，

1ymax?f(1?)??lnk?0k则即可。 由?lnk?0得k?1…………………（8分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k?1时有f(x)?0在(1,??)恒成立，且f(x)在[2,??)上是减函数，f(2)?0，?x?(2,??),f(x)?0恒成立，

即ln(x?1)?x?2在(2,??)上恒成立 。……………………（10分）

lnnn?1?2222lnn?(n?1)(n?1)x?1?nlnn?n?1n?12， 令，则，即，从而

ln2ln3ln4lnn123n?1n(n?1)????????????345n?122224成立……（13分）

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