高中数学必修一课件：第三章 函数的应用(共18张PPT)

例1 娃哈哈公司准备在2009年投入适当的广告费，对产品进行促销。在一年内，预计年销量Q(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为Q 3x 1 (x 0) x 1

。

已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产一 万件此产品仍需要再投入32万元，若每件售价为 “年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占广

告费的50%”之和。(1).试将利润W万元表示为年广告费x万元的函数； (2).当年广告投入为多少万元时，企业年利润最大， 最大利润为多少？

函数应用问题的解决步骤实际问题读懂问题 抽象概括

数学建模演算推理

实际问题的解审题 建模

还原说明

数学模型的解还原

解模

课堂练习 练习1 有甲乙两种产品,生产这两件产品所能获得的 利润分别为P和Q元,它们与收入资金x(万元)的 关系为:P=(3-x2)/4,Q=3(3-x)/4,今投入3万元 资金生产甲、乙两种产品，为获得最大利润， 对甲、乙两种产品的资金投入分别应为多少？ 最大利润为多少？

练习2.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固 定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与 日均销售量的关系如表所示： 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12

日均销售量/桶 480 440 400 360

320 280 240

请根据以上数据作出分析，这个经营 部怎样定价才能获得最大利润？

分析：由表中信息可知①销售单价每增加1元，日 均销售量就减少40桶②销售利润怎样计算较好？

解：设在进价基础上增加x元后，日均经营利 润为y元，则有日均销售量为

y 480 40( x 1) 520 40 x而

(桶)

x 0, 且520 40x 0,即0 x 13

y (520 40x) x 200 40x 2 520x 200 40( x 6.5)2 1490

当x 6.5时，y有最大值

只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大的利润。

例2

一种产品2009年的年产量是 a件,预计今后 10年内的年产量平均每年比上一年增加5%,

则一年后(即2010年)的年产量为 a(1+5%) 两年后(即2011年)的年产量为 a(1+5%)2

三年后(即2012年)的年产量为 a(1+5%)3a(1+5%)x 设年产量为y件， 则y可看作是x的函数，解析式为 x年后的年产量为

y=a(1+5%)x函数的定义域为 {x|x∈N*且x≤10}

一种产品今年的成本是 a元,经过技术 革新，预计今后m年内的成本平均每年比 上一年降低p%, 则一年后的成本为 a(1-p%) 2 a(1-p % ) 两年后的成本为 a(1-p%)3 三年后的成本为 x年后的成本为a(1-p%)x

元，. 元， 元， 元，

设成本为y元，则y可看作是x的函数， x y=a(1-p % ) 解析式为 ；

函数的定义域为 {x|x∈N*且x≤m}

平均增长率的问题 在实际问题中，常常遇到有关平均增 长率的问题 如果原来产值的基础数为N,平均增 长率为p

,则对于时间x的总产值y,可以 用下面的公式表示 .

y=N(1+p)x其中P的值可以为正，也可以为负

例3 小强的爸爸从2002年，小强六年级开始，每年6月1日，到银行存5000元，为小强上大学做准备，若 银行的年利率为5%,问到小强高考结束时(这年不 存钱),小强的爸爸为他一共准备了多少钱？ 5000(1+5%)6+5000(1+5%)5+···+5000(1+5%)变式1 若小强心目中的大学按正常收费的话，学费包 括生活费每年需要15000元，问小强的爸爸每次 要存入多少钱才可以在小强高考结束时攒够小 强大学四年的费用？ x(1+5%)6+x(1+5%)5+···+x(1+5%)=60000

变式2 2008年高考结束后,小强发挥出色,同时凭着自 己过硬的综合素质,过关斩将,赢得了全省唯一 一个去英国舰乔大学就读大学的名额,不过,四 年的学费和生活费初步预算要50万元,小强决 定向银行贷款40万元,大学毕业回国工作一年 后开始还款(假设其毕业后马上就找到了称心 的工作),计划在工作6年后还清贷款,假设银行 的年利率为3%,问小强每次应向银行还多少钱? 才可以达到工作6年后还清贷款的目标?40(1+3%)10=x(1+3%)5+x(1+3%)4+···+x(1+5%)+x

课堂练习1.某商品降价20%后，欲恢复原价，则应提价多少？ 2.某服装个体户在进一批服装时，进价时按标价打了 七五折，他打算标一新价出售，并按新标价降价 20% 销售.这样，他可获利 25% .求这个体户给这批服装 定的新标价与原标价之间的函数关系.

1.解决应用题的基本步骤：(1)审题：读懂题意，找出题目中的变量，分析其相关关系； (2)建模：抽象、概括建立一个明确的数学关系； (3)解模：利用所学知识，分析解决数学问题； (4)还原：对实际问题的结论作出回答。

2.利润最大问题和平均增长率问题

补充练习某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价(即 每张床位每天的租金)不超过10元时，床位可以全部租出；当床位 高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲。【为了获得较好的效 益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结帐， 床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出 租的收入必须高于支出，而且高得越多越好。】若用x表示床价， 用y表示该宾馆一天出租床位的净收入(即除去每日的费用支出后 的收入): ⑴把y表示成x的函数，并求出其定义域： ⑵试确定，该宾馆将床价定为多少元时，既符合上面的两个条 件，又能使净收入高？

课后练习1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅 社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天房价 20元 18元 16元 65% 75% 85% 住房率 要使每天收入

达到最高，每间定价应为(

14元 95%) C

A.20元 B.18元 C.16元 D.14元 2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个， 已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最 大利润，每个售价应定为( )AA.95元 B.100元 C.105元 D.110元 y=(90+x-80)(400-20x)

3.某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价 为6元，行程不超过2km者均按此价收费， 行程超过2km,按1.8元/km收费，另外， 遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍 按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这 种出租车，车费17元，车上仪表显示等候 时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介 于( A ) A.5~7km B.9~11km C.7~9km D.3~5km

4.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增 加一次过滤可减少水中杂质20%,要使水 中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要 过滤的次数为( C ) (参考数据lg2=0.3010,lg3=0.4771) A. 5 B.10 C.14 D.15

5.有一批材料可以建成200m的围墙，如果 用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形 场地，中间用同样的材料隔成三个面积相 等的矩形(如下图所示),则围成的矩形 2(围墙厚度不计) 2500 最大面积为________m

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