2012届北京市石景山区高三期末数学理科试题（WORD精校版）

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2012北京市石景山区初三物理一模推荐度：
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石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷

高三数学（理科）

考生本试卷共6页，150分.考试时间长120分钟．请将所有试题答案．．．．．．须知答在答题卡上．．．．．．．

题号分数

一二三 15 16 17 18 19 20 总分第Ⅰ卷选择题

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1,2,3,4?，A??1,2?,B??2,4?,则CU(A?B)?（） 1．设集合U??A． {3} 2．已知复数z?A． 2

B． {2}

C．{1,2,4}

D．{1,4}

1?i，则复数z的模为（） 1?iB．2

C．1

D． 0

3．在极坐标系中，圆???2cos?的圆心的极坐标是（）

A． (1,?2) B． (1,??2) C．(1,0) D．(1,?)

4．如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）

A．

正视图

侧视图

8 3B．

4 3C．4 D．2

5．执行右面的框图，若输出结果为

1， 2俯视图

。

则输入的实数x的值是（）

A．

3 2B．

1 4C．

2 2D．2

26.设抛物线y?8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线准线的距离为（）

A．4 B．6 C．8 D．12

7.以下四个命题中，真命题的个数是（） ①命题“若x?3x?2?0，则x?1”的逆否命题为“若x?1，则x?3x?2?0”； ②若p?q为假命题，则p、q均为假命题；

③命题p：存在x?R,使得x?x?1?0，则?p：任意x?R,都有x?x?1?0；④在?ABC中,A?B是sinA?sinB的充分不必要条件. A．1

8.对于使?x?2x?M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做?x2?2x的上确界,若a、b?R，且a?b?1，则?A．

?22222B．2 C．3 D．4

12?的上确界为（） 2abC．

9 2B．?9 21 4D．-4

第Ⅱ卷非选择题

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

。

9．在?ABC中，若c?2,?A?120?,a?23，则?B? ． 10．如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和

割线

C O

PBC，已知PA?22，PC?4， O到BC的距离为3，则圆O的

为．

B P

圆心半径

A ??????11．已知向量a?(3,1)，b?(0,1)，c?(k,3)，若a?2b与c垂直，则k? ．

12．已知等差数列?an?的前n项和为Sn，若a4?18?a5，则S8? ． 13．若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有种． 14.已知函数f(x)?logax?x?b(a?0,且a?1)，当

*11?a?且3?b?4时， 32 函数f(x)的零点x0?(n,n?1),n?N，则n? ．

三、解答题：本大题共6个小题，共80分．应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?13cos2x?sin2x．

2（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求f(x)在区间??

16．（本小题满分13分）

甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：

甲 6 0 0

1 2

乙 8 4 4

????，?上的最大值和最小值． 64??。

2 3 0

（Ⅰ）求乙球员得分的平均数和方差；

（Ⅱ）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和Y的分布列和数学期望．

（注：方差s2?1(x1?x)2?(x2?x)2???(xn?x)2 n?? 其中x为x1，x2，?xn的平均数）

17．（本小题满分14分）

如图，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD?CD，AB∥CD，

AB?AD?2，CD?4，M为CE的中点．

（Ⅰ）求证：BM∥平面ADEF；（Ⅱ）求证：平面BDE?平面BEC；

（Ⅲ）若DE?3，求平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值．

18．（本小题满分14分）已知f(x)?ax?lnx,a?R.

（Ⅰ）当a?2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；（Ⅱ）若f(x)在x?1处有极值，求f(x)的单调递增区间；

（Ⅲ）是否存在实数a，使f(x)在区间?0,e?的最小值是3，若存在，求出a的值；

ADCFMEB。

若不存在，说明理由.

19．（本小题满分13分）

x2y26 已知椭圆2?2?1（a?b?0）过点M（0，2），离心率e?.

ab3（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过定点N（2，0）的直线l与椭圆相交于A、B两点，且?AOB为锐角（其中

O为坐标原点),求直线l倾斜角的取值范围.

20．（本小题满分13分）

对于给定数列{cn}，如果存在实常数立，我们称数列{cn}是 “

p、q,使得cn?1?pcn?q对于任意n?N都成

*?类数列”．

?类数列”？若是，

n* （Ⅰ）若an?2n，bn?3?2，n?N，数列{an}、{bn}是否为“

指出它对应的实常数p、q，若不是，请说明理由；

（Ⅱ）证明：若数列{an}是“

?类数列”，则数列{an?an?1}也是“?类数列”；

n* （Ⅲ）若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2(n?N)，t为常数．求数列{an}前

2012项的和．并判断{an}是否为“

?类数列”，说明理由．

石景山区2011—2012学年第一学期期末考试试卷

高三数学（理科）参考答案

一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．题号答案 1 A 2 C 3 D 4 B 5 D 6 B 7 C 8 B

二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．

题号 9 10 11 12 三、

答案 13 11 14 2 ? 62 -3 72 解答题：

。

本大题共6个小题，共80分． 15．（本小题满分13分）

1?cos2x1?sin2x 22313 ? cos2x?sin2x?222?3 ?sin(2x?)? ?????5分

32 T?? ?????7分

解：（Ⅰ）f(x)?3

（Ⅱ）因为??6?x? 当2x?当2x??3?35?? ????9分

4363??时，f(x)的最大值为1?,???11分 ?时，即x?21223?. ???13分 ?0时，即x??时，f(x)的最小值为26，所以0?2x???

16．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为18,24,24,30，所以平均数

18?24?24?30?24； ????????2分

4122222 s?(18?24)?(24?24)?(24?24)?(30?24)?18 ??5分

4 x??? （Ⅱ）甲球员四场比赛得分为20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的得

分，共有16种情况：

（18，20）（18，20）（18，26）（18，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）（24，20）（24，20）（24，26）（24，32）

（30，20）（30，20）（30，26）（30，32） ????8分得分和可能的结果有：38,44,50,56,62 ????9分

。

得分和Y的分布列为：

Y 38 44 50 56 62 p 1 85 165 163 161 16 ????11分数学期望EY?38?15531?44??50??56??62? 816161616 ?48.5 ??????13分

17．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）证明：取DE中点N，连结MN,AN．

在△EDC中，M,N分别为EC,ED的中点，所以MN∥CD，且MN?由已知AB∥CD，AB?1CD． 21CD， 2所以MN∥AB，且MN?AB．

所以四边形ABMN为平行四边形． ???2分

所以BM∥AN．

又因为AN?平面ADEF，且BM?平面ADEF，

所以BM∥平面ADEF． ????????????4分（Ⅱ）证明：在矩形ADEF中，ED?AD．

又因为平面ADEF?平面ABCD，

且平面ADEF?平面ABCD?AD，

。

所以ED?平面ABCD．

所以ED?BC． ????????????5分在直角梯形ABCD中，AB?AD?2，CD?4，可得BC?22．在△BCD中，BD?BC?22,CD?4，因为BD?BC?CD，所以BC?BD．

因为BD?DE?D,所以BC?平面BDE．?????????7分又因为BC?平面BCE，

所以平面BDE?平面BEC．????????????????8分

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知ED?平面ABCD，且AD?CD．

以D为原点，DA,DC,DE所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系． B(2,2,0),C(0,4,0),E(0,0,3)． ?????????????9分

ABxFNMzE222DCy 易知平面DEC的一个法向量为m?(1,0,0)．??????????10分设n?(x,y,z)为平面BEC的一个法向量，

???????? 因为BC?(?2,2,0),CE?(0,?4,3)

。

所以???2x?2y?0，

?4y?3z?0? 令x?1，得y?1,z?4． 3 所以n?(1,1,)为平面BEC的一个法向量． ??????????12分设平面BEC与平面DEC所成锐二面角为?．则cos??43|m?n|?|m|?|n|1?4?1?1?1????3?222?334． 34 所以平面BEC与平面DEC所成锐二面角的余弦值为

3．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）由已知得f(x)的定义域为(0，??)，因为f(x)?ax?lnx，所以f '(x)?a?334．???14分 341

当a?2时，f(x)?2x?lnx，所以f(1)?2 因为f '(x)?2?11，所以f '(1)?2??1????????2分 x1

所以曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y?2?f?(1)(x?1)，即x?y?1?0 ??????????4分（Ⅱ）因为f(x)在x?1处有极值，所以f?(1)?0，由（Ⅰ）知f?(1)?a?1，所以a?1

经检验，a?1时f(x)在x?1处有极值． ??????????6分

' 所以f(x)?x?lnx，令f (x)?1?1?0解得x?1或x?0； x'??)，因为f(x)的定义域为(0，??)，所以f (x)?0的解集为(1，。

即f(x)的单调递增区间为(1，??). ????????????????8分

（Ⅲ）假设存在实数a，使f(x)?ax?lnx（x?(0,e]）有最小值3， ① 当a?0时，因为x??0,e?，所以f'(x)?0 ，所以f(x)在(0,e]上单调递减，

4f(x)?f(e)?ae?1?3，，舍去. ??????????10分 a?min e ②当0?111?e时，f(x)在(0,)上单调递减，在(,e]上单调递增，

aaa1f(x)min?f()?1?lna?3，a?e2，满足条件. ?????????12分

③ 当

1?e时，因为x??0,e?，所以f'(x)?0， a4，舍去. e 所以f(x)在(0,e]上单调递减，f(x)min?f(e)?ae?1?3，a? 综上，存在实数a?e2，使得当x?(0,e]时f(x)有最小值3. ?????14分

19．（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由题意得b?2,222c6? a32结合a?b?c，解得a?12

x2y2??1. ??????4分所以，椭圆的方程为124（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，则OA?(x1,y1),OB?(x2,y2). ①当x1?x2?2时，不妨令OA?(2,2626),OB?(2,?) 3384OA?OB?4???0，当斜率不存在时，?AOB为锐角成立 ??????6分

33②当x1?x2时，设直线l的方程为：y?k(x?2)

。

?x2y2??1??122224由? 得x?3k(x?2)?12 ???y?k(x?2)即(1?3k)x?12kx?12k?12?0.

222212k212k2?12所以x1?x2?， ??????8分 ,x1?x2?1?3k21?3k2y1?y2?k2(x1?2)(x2?2)?k2[(x1x2?2(x1?x2)?4]

12k4?12k224k412k4?4k2?? ?

1?3k21?3k21?3k28k2 ?? ??????10分 21?3kOA?OB?x1x2?y1y2

4k2?12??0 1?3k2 解得k?3或k??3. ????????12分

综上，直线l倾斜角的取值范围是(

20．（本小题满分13分）

?2?3,3) . ???????13分

解：（Ⅰ）因为an?2n,则有an?1?an?2, 故数列{an}是“

n?N*