第12讲 同角三角函数基本关系以及诱导公式

第23课时 同角三角函数基本关系以及诱导公式

知识要点：

1.同角三角函数基本关系： （1）基本关系：

2①平方关系: sin2?＋cos2?＝1 1?tan??1 2cos?sin?cos??

②商数关系: tan?＝（?≠k?＋，k∈Z）；cot?＝（?≠k?，k∈Z）．

2cos?sin?③倒数关系: tan??1cot?（??1k?） 2（2）常用变换形式:

（1）根据这三大关系，若已知一个角?的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值．

（2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。 2.诱导公式： （1）基本关系 ??（一）（二）（三） （四） （五）?? （六）?? 2k??? ?? ??? ??? 22正弦 余弦 正切 sin? ?sin? ?sin? sin? cos? sin? cos? ?sin? cos? tan? ?cos? tan? cos? ?tan? ?cos? ?tan? / / （2）记忆及运用方法： ①六组诱导公式统一为“

k?，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. ??(k?Z)”

2②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正????大化小????小化锐，体现了化归思想。

(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数. (2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二、例题讲解 例1 已知sin??

例2 已知cos???

变式练习 （1）化简1?sin2440．

4，并且?是第二象限角，求?的其他三角函数值． 512，求sin?、tan?的值． 13

（2）、化简1?2sin40cos40．

诱导公式一

请同学们思考，点P（x,y）关于原点、x轴、y轴对称的三个点P1、P2、P3的坐标 分别是什么？YP(x,y)?OA(1,0)点 P关于原点对称点P的坐标为______1点 P关于x轴对称点P2的坐标为______.点 P关于y轴对称点P3的坐标为______.

x诱导公式一：终边相同的角的同名三角函数的值相等.sin(??2k?)?_____,

cos(??2k?)?_____, tan(??2k?)?_____（.k?z）

变式练习：

求下列三角函数的值

?7?sin ?____,cos?_____，sin1110°=

33 1、诱导公式二：

（1）设210°、30°角的终边分别交单位圆于点p、p＇，则点p与p＇的位置关系如何？ 设点p（x，y），则点p’怎样表示？ （2）将210°用（180°+?）的形式表达为 P(x,（3）sin210°与sin30°的值关系如何？ y) 故：设?为任意角 ，如右图

y ? ? ? M 0 M O 18?x P0(-x,-y) （1）设?与（180°+?）的终边分别交单位圆于p，p′， 设点p（x, y），那么点p′坐标怎样表示？

（2）sin?与sin（180°+?）、cos?与cos（180°+?）以及tan?与tan（180°+?） 关系分别如何？

经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式特征如何？ 诱导公式二：?? ?与?的三角函数关系sin( ???)?______.cos(???)?______.

tan(???)?______.

结构特征： ①函数名不变，符号看象限（把?看作锐角时）

②把求（180°+?）的三角函数值转化为求?的三角函数值。

变式练习：

求下列各三角函数值：

①sin 225° ②cos225° ③tan

诱导公式三： 思考下列问题：

（1）30°与（－30°）角的终边关系如何？

（2）设30°与（－30°）的终边分别交单位圆于点p、p′，设点p（x,y），则点p′的坐标怎样表示？

（3）sin（－30°）与sin30°的值关系又如何？ 导入新问题：

对于任意角?， sin?与sin（－?）的关系如何呢？

P(x,y 5π 4试说出你的猜想？

y) M O? ? ? x P0(x,-y) 设?为任意角 类比上面过程思考：

sin?与sin（－?）、 cos?与cos（－?）以及tan?与tan（－?）关系如何？ 经过探索，你能把上述结论归纳成公式吗？其公式结构特征如何？ 诱导公式三：

sin（－?）= cos（－?）= tan（－?）=

结构特征：①函数名不变，符号看象限（把?看作锐角）

②把求（－?）的三角函数值转化为求?的三角函数值 变式练习：

求下列各三角函数值

???sin???5?) ①?3? ②tan（－210°） ③cos(?4

第24课时 诱导公式

诱导公式四：

类比上面的方法归纳出公式： sin（π－?）= cos（π－?）= tan（π－?）=

随堂练习：

1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中的横线上：

P0(-x,y180y P(x,y0—? ) ? M x M0 O 1、cos13????? 2、sin?1???= 3、sin???= 9?5?2、利用公式求下列三角函数值：（要写出求解过程，不能只写一个答案）

?79?cos???? 1、cos?4200 2、 sin?13000 3、?6?????

3、化简：

（1）sin??1800cos????sin???1800;(2)sin3????cos?2????tan??????.????

诱导公式五：

1）你能画出角?关于直线y?x对称的角的终边吗？

2）由图象我们可以看到，与角?关于直线y?x对称的角可以表示为 3）如上图单位圆中，假设点

y p1的坐标为(x,y)，你能说出p2的坐标吗？ 1 ?请用三角函数的定义写出角2??的三角函数

-1 ????sin??????2?诱导公式五： y?x ???cos??????2?

变式练习： 1、化简 （1）sin?

2、证明：（1）.sin?

1 p1(x,y)

0 -1 x 7??5????) ??? （2） cos(2?2??3???3???????cos? （2）.cos??????sin? ?2??2?

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