2017年中考模拟试题（二）

九年级模拟试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．﹣2的相反数是（ ） A．2

B．﹣2 C． D．﹣

2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

3．计算2a2+a2，结果正确的是（ ） A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2 4．下列命题为真命题的是（ ）

A. 有公共顶点的两个角是对顶角 B. 多项式x－4x因式分解的结果是x(x－4)

5．下表是某校合唱团成员的年龄分布

年龄/岁 频数 13 5 14 15 15 x 16 10－x C. a+a=a2 D. 一元二次方程x－x＋2=0无实数根

2

3

2

对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是

A．平均数，中位数 B．众数，中位数 C．平均数，方差 D．中位数，方差

6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9

227．若t为实数，关于x的方程x?4x?t?2?0的两个非负实数根为a、b，则代数式(a?1)(b?1)的

2最小值是

(A)?15 (B)?16 (C)15 (D)16

的度数是（ ）

8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则

A．120° B．135° C．150° D．165°

1

9．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（ ）

A． B． C．1 D．

10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ） A．

B．2 C．

D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11．因式分解：a2﹣9= ．

12．如图，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为60°，A，B，C 都在格点上，则tan∠ABC的值是 ．

13．如图8，在Rt?ABC中，?ACB?90，AC?23,以点C为圆心，CB的长为半

?? 绕点D旋转180后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面径画弧，与AB边交于点D,将BD0A积为____.

14.高斯函数?x?，也称为取整函数，即?x?表示不超过x的最大整数.

例如：?2.3??2，??1.5???2. 则下列结论： ①??2.1???1???2； ②?x????x??0；

B图8CD③若?x?1??3，则x的取值范围是2?x?3； ④当?1?x?1时，?x?1????x?1?的值为0、1、2.

其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）.

15．如图所示的两段弧中，位于上方的弧半径为r上，下方的弧半径为r下，则r上 r

下

．（填“＞“，”“＝”“＜”)

2

16．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 ．

三．解答题：（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20.21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2 （2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．

18．先化简再求值：

3xx?2，其中x满足x2?x?2?0. (x?)?x?1x2?2x?1

19．阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan(α±β)=tan??tan?

1?tan?tan?利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75??tan(45??30?)?tan45??tan30??1?tan45?tan30?1?1?1?3333?2?3

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin15°.

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀 和纪念为国捐躯的红军战士。李三同学想用所学知识来测量 如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处， 在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为3米， 请你帮助李三求出纪念碑的高度。

3

（第22题图）

20．为了落实省新课改精神，我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图（部分信息未给出）

根据图中信息，解答下列问题： （1）求被调查学生的总人数；

（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数； （3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．

21．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B （1）求m的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．

4

22．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：

（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH； （3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．

23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；

如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

5

24．在直角坐标系xoy中，A(0,2)、B(?1,0)，将?ABO经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的

?BCD.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将?ABC的面积分成1:3两

部分，求此时点P的坐标；

?BCD分别向下、（3）现将?ABO、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中?ABO与?BCD重叠部分面积的最大值.

y A C BODx

图15.1

yOx图15.26

中考数学试卷 参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分 1．﹣2的相反数是（ ） A．2

B．﹣2 C．

D．﹣

【考点】相反数．

【分析】根据相反数的意义，只有符号不同的数为相反数． 【解答】解：根据相反数的定义，﹣2的相反数是2． 故选：A．

2．在下列“禁毒”、“和平”、“志愿者”、“节水”这四个标志中，属于轴对称图形的是（ ） A．

B．

C．

D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误； B、是轴对称图形，故选项正确； C、不是轴对称图形，故选项错误； D、不是轴对称图形，故选项错误． 故选：B．

3．计算2a2+a2，结果正确的是（ ） A．2a4 B．2a2 C．3a4 D．3a2 【考点】合并同类项．

【分析】根据合并同类项法则合并即可．

222

【解答】解：2a+a=3a， 故选D．

4． 【答案】D.

【命题立意】本题考查对顶角的定义；多项式的计算；一元二次方程实根的判断，考查对真命题的理解，难度较大．

【解析】A. 有公共顶点，且一个角的两边的反向延长线是另一角的两边的两角是对顶角，故A错误； B. x(x-2)(x+2)，故B错误； C.a+a=2a，故C错误；

2

D.一元二次方程的△=b-4ac=1-8=-7＜0，故D正确； 故选D.

【方法技巧】此题主要考查了真命题的判断，要熟练掌握，解答此题的关键是判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。

7

5． 【考点】统计量的选择；频数（率）分布表．

【分析】由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第15、16个数据的平均数，可得答案．

【解答】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10-x=10， 则总人数为：5+15+10=30，

故该组数据的众数为14岁，中位数为：

，

即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数， 故选：B． 【点评】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．

6．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【考点】多边形内角与外角．

【分析】首先根据一个正多边形的内角是140°，求出每个外角的度数是多少；然后根据外角和定理，求出这个正多边形的边数是多少即可． 【解答】解：=360°÷40°=9． 答：这个正多边形的边数是9． 故选：D．

7若t为实数，关于x的方程x?4x?t?2?0的两个非负实数根为a、b，则代数式(a2?1)(b2?1)的

最小值是

2(A)答案：A

?15 (B)?16 (C)15 (D)16

考点：考查一元二次方程根与系数关系，二次函数的性质。 解析：依题意，得：a?b?4,ab?t?2

(a2?1)(b2?1)＝(ab)2?(a2?b2)?1＝(ab)2?(a?b)2?2ab?1＝(t?2)2?2(t?2)?15

＝t?2t?15，

2???16?4(t?2)?0又?，得2?t?6， ?ab?t?2?0所以，当t＝2时，t2?2t?15有最小值－15。

8．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则

的度数是（ ）

8

A．120° B．135° C．150° D．165°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；翻折变换（折叠问题）．

【分析】直接利用翻折变换的性质结合锐角三角函数关系得出∠BOD=30°，再利用弧度与圆心角的关系得出答案．

【解答】解：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E， 由题意可得：EO=BO，AB∥DC， 可得∠EBO=30°， 故∠BOD=30°， 则∠BOC=150°， 故的度数是150°． 故选：C．

9．如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（ ）

A． B． C．1 D．

【考点】矩形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】过F作FH⊥AE于H，根据矩形的性质得到AB=CD，AB∥CD，推出四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AF=CE，根据相似三角形的性质得到程即可得到结论．

【解答】解：过F作FH⊥AE于H， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，AB∥CD， ∵AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE， ∴DE=BF， ∴AF=3﹣DE， ∴AE=

，

，于是得到AE=AF，列方

∵∠FHA=∠D=∠DAF=90°，

∴∠AFH+∠HAF=∠DAE+∠FAH=90°， ∴∠DAE=∠AFH， ∴△ADE∽△AFH，

9

∴，

∴AE=AF， ∴∴DE=， 故选D．

=3﹣DE，

10．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（ ） A．

B．2

C．

D．

【考点】二次函数的最值．

【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行解答即可． 【解答】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：

．

①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．

2

当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）+5， 解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；

②当当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5， 解得：m=﹣2．

2

当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）+5， 解得：n=， 所以m+n=﹣2+=．

故选：D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分 11．因式分解：a2﹣9= （a+3）（a﹣3） ．

10

【考点】因式分解-运用公式法．

222

【分析】a﹣9可以写成a﹣3，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【解答】解：a2﹣9=（a+3）（a﹣3）．

12． 【考点】菱形的性质；解直角三角形． 【专题】网格型．

【分析】如图，连接EA、EB，先证明∠AEB=90°，根据

，求出AE、EB即可解决问题．

【解答】解：如图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得∠AEF=30°，∠BEF=60°，∴∠AEB=90°，

，EB=2a

∴．

故答案为．

【点评】本题考查菱形的性质，三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 解答题

13．如图8，在Rt?ABC中，?ACB?90，AC?23,以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边

?? 绕点D旋转180后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为___▲__. 交于点D,将BD0答案：23?2? 3A考点：考查三角形，扇形的面积公式。

解析：依题意，有AD＝BD，又?ACB?90，所以，有 CB＝CD＝BD，即三角形BCD为等边三角形 ∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°， 由AC?23，求得：BC＝2，AB＝4，

B图8D?C60??42－3＝?－3， S弓形BD＝S扇形BCD－S?BCD＝

36032?2?－3)＝23?阴影部分面积为：S＝S?ACD－S弓形AD＝3－( 33

14.高斯函数?x?，也称为取整函数，即?x?表示不超过x的最大整数.

例如：?2.3??2，??1.5???2. 则下列结论：

11

①??2.1???1???2； ②?x????x??0；

③若?x?1??3，则x的取值范围是2?x?3； ④当?1?x?1时，?x?1????x?1?的值为0、1、2.

其中正确的结论有___▲__（写出所有正确结论的序号）. 答案：①③

考点：考查应用知识解决问题的能力。 解析：①??2.1???1???3?1??2，正确；

②取特殊值x＝1时，?x????x??[1]?[?1]?1?2??1，故错误；

③若?x?1??3，则3?x?1?4，即x的取值范围是2?x?3，正确； ④当?1?x?1时，有x?1，?x?1不能同时大于1小于2，

则

?x?1????x?1?的值可取不到2，错误。

15.【考点】弧长的计算．

【分析】利用垂径定理，分别作出两段弧所在圆的圆心，然后比较两个圆的半径即可． 【解答】解：如图，r上＜r下．

故答案为＜．

【点评】本题考查了弧长公式：圆周长公式：C=2πR （2）弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）；正确区分弧、弧的度数、弧长三个概念，度数相等的弧，弧长不一定相等，弧长相等的弧不一定是等弧，只有在同圆或等圆中，才有等弧的概念，才是三者的统一．

16．如图，在直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点A的坐标为（﹣1，0），∠ABO=30°，线段PQ的端点P从点O出发，沿△OBA的边按O→B→A→O运动一周，同时另一端点Q随之在x轴的非负半轴上运动，如果PQ=，那么当点P运动一周时，点Q运动的总路程为 4 ．

12

【考点】解直角三角形．

【分析】首先根据题意正确画出从O→B→A运动一周的图形，分四种情况进行计算：①点P从O→B时，路程是线段PQ的长；②当点P从B→C时，点Q从O运动到Q，计算OQ的长就是运动的路程；③点P从C→A时，点Q由Q向左运动，路程为QQ′；④点P从A→O时，点Q运动的路程就是点P运动的路程；最后相加即可．

【解答】解：在Rt△AOB中，∵∠ABO=30°，AO=1， ∴AB=2，BO=

=

，

①当点P从O→B时，如图1、图2所示，点Q运动的路程为， ②当点P从B→C时，如图3所示，这时QC⊥AB，则∠ACQ=90° ∵∠ABO=30° ∴∠BAO=60°

∴∠OQD=90°﹣60°=30° ∴cos30°=∴AQ=

=2

∴OQ=2﹣1=1

则点Q运动的路程为QO=1，

③当点P从C→A时，如图3所示，点Q运动的路程为QQ′=2﹣④当点P从A→O时，点Q运动的路程为AO=1， ∴点Q运动的总路程为： +1+2﹣+1=4 故答案为：4

，

13

三．解答题：（本题有8小题，第17-19题每题6分，第20.21题每题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17．（1）计算：|﹣4|×（﹣1）0﹣2 （2）解不等式：3x＞2（x+1）﹣1．

【考点】实数的运算；零指数幂；解一元一次不等式． 【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，零指数幂法则计算即可得到结果； （2）不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解集． 【解答】解：（1）原式=4﹣2=2； （2）去括号得：3x＞2x+2﹣1， 解得：x＞1．

18．先化简再求值：(x?考点：分式的求值。 解析： 原式=

3xx?22)?2，其中x满足x?x?2?0. x?1x?2x?1x(x?1)?3xx?2?2??????（1分）

x?1x?2x?1

x2?2xx2?2x?1?=??????（2分） x?1x?2x(x?2)(x?1)2?=??????（4分） x?1x?214

=x(x?1)=x?x.??????（7分）

2?x2?x?2?0，?x2?x?2，

即原式=2. ??????（10分）

19． 【答案】（1）

；（2）14+8

（米）．

【命题立意】本题考查了解直角三角形的应用，考查逻辑推理能力，难度较大． 【解析】

=

+

=14+8

（米）

【方法技巧】本题考查了(1)特殊角的三角函数值的应用，属于新题型，解题的关键是根据题目中所给信息结合特殊角的三角函数值来求解.(2)解直角三角形的应用-仰角俯角问题，先根据锐角三角函数的定义得出BE的长是解题的关键.

20．为了落实省新课改精神，我是各校都开设了“知识拓展类”、“体艺特长类”、“实践活动类”三类拓展性课程，某校为了解在周二第六节开设的“体艺特长类”中各门课程学生的参与情况，随机调查了部分学生作为样本进行统计，绘制了如图所示的统计图（部分信息未给出）

根据图中信息，解答下列问题： （1）求被调查学生的总人数；

（2）若该校有200名学生参加了“体艺特长类”中的各门课程，请估计参加棋类的学生人数； （3）根据调查结果，请你给学校提一条合理化建议．

【考点】条形统计图；总体、个体、样本、样本容量；用样本估计总体；扇形统计图．

15

【分析】（1）根据“总体=样本容量÷所占比例”即可得出结论；

（2）根据“样本容量=总体×所占比例”可求出参加C舞蹈类的学生人数，再由总体减去其他各样本容量算出参加E棋类的学生人数，求出其所占总体的比例，再根据比例关系即可得出结论； （3）根据条形统计图的特点，找出一条建议即可． 【解答】解：（1）被调查学生的总人数为：12÷30%=40（人）． （2）被调查参加C舞蹈类的学生人数为：40×10%=4（人）； 被调查参加E棋类的学生人数为：40﹣12﹣10﹣4﹣6=8（人）； 200名学生中参加棋类的学生人数为：200×

=40（人）．

（3）因为参加A球类的学生人数最多，故建议学校增加球类课时量，希望学校多开展拓展性课程等．

21．如图，已知一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于点A（﹣4，m），且与y轴交于点B，第一象限内点C在反比例函数y2=的图象上，且以点C为圆心的圆与x轴，y轴分别相切于点D，B （1）求m的值；

（2）求一次函数的表达式；

（3）根据图象，当y1＜y2＜0时，写出x的取值范围．

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；切线的性质． 【分析】（1）直接将A点代入反比例函数解析式求出答案；

（2）直接利用切线的性质结合正方形的判定与性质得出C，B点坐标，进而利用待定系数法求出一次函数解析式；

（3）利用A点坐标结合函数图象得出x的取值范围． 【解答】解：（1）把点A（﹣4，m）的坐标代入y2=， 则m=

=﹣1，

得m=﹣1；

（2）连接CB，CD，

∵⊙C与x轴，y轴相切于点D，B，

∴∠CBO=∠CDO=90°=∠BOD，BC=CD， ∴四边形BODC是正方形， ∴BO=OD=DC=CB，

∴设C（a，a）代入y2=得：a2=4， ∵a＞0，∴a=2， ∴C（2，2），B（0，2），

16

把A（﹣4，﹣1）和（0，2）的坐标代入y1=kx+b中， 得：

，

解得：，

∴一次函数的表达式为：y1=x+2；

（3）∵A（﹣4，﹣1），

∴当y1＜y2＜0时，x的取值范围是：x＜﹣4．

22．如图1，已知点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA的中点，根据以下思路可以证明四边形EFGH是平行四边形：

（1）如图2，将图1中的点C移动至与点E重合的位置，F，G，H仍是BC，CD，DA的中点，求证：四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图3，在边长为1的小正方形组成的5×5网格中，点A，C，B都在格点上，在格点上画出点D，使点C与BC，CD，DA的中点F，G，H组成正方形CFGH； （3）在（2）条件下求出正方形CFGH的边长．

【考点】平行四边形的判定．

【分析】（1）连接BD根据三角形的中位线的性质得到CH∥BD，CH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，由平行四边形的判定定理即可得到结论；

（2）根据三角形的中位线的性质和正方形的性质即可得到结果； （3）根据勾股定理得到BD=

，由三角形的中位线的性质得到FG=BD=

，于是得到结论．

【解答】（1）证明：如图2，连接BD，∵C，H是AB，DA的中点，

17

∴CH是△ABD的中位线， ∴CH∥BD，CH=BD， 同理FG∥BD，FG=BD， ∴CH∥FG，CH=FG，

∴四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图3所示，

（3）解：如图3，∵BD=

，∴FG=BD=

，∴正方形CFGH的边长是

．

23．我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形” （1）概念理解：

请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子； （2）问题探究；

如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC与BD的数量关系，并说明理由； （3）应用拓展；

如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．

【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）矩形或正方形邻角相等，满足“等邻角四边形”条件；

18

（2）AC=BD，理由为：连接PD，PC，如图1所示，根据PE、PF分别为AD、BC的垂直平分线，得到两对角相等，利用等角对等角得到两对角相等，进而确定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB与三角形DPB全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （3）分两种情况考虑：（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E，如图3（i）所示，由S四边形

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四边形ACBD′面积；

E，如图3（ii）所示，由S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四边形ACBD′面积即可． 【解答】解：（1）矩形或正方形； （2）AC=BD，理由为：

连接PD，PC，如图1所示：

∵PE是AD的垂直平分线，PF是BC的垂直平分线， ∴PA=PD，PC=PB，

∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，

∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB，

∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；

（3）分两种情况考虑：

（i）当∠AD′B=∠D′BC时，延长AD′，CB交于点E， 如图3（i）所示，

∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′， 设EB=ED′=x，

由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2， 解得：x=4.5，

过点D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC，

∴△ED′F∽△EAC， ∴

=

，即，

=

，

=

，

解得：D′F=

∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×

19

则S四边形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；

（ii）当∠D′BC=∠ACB=90°时，过点D′作D′E⊥AC于点E， 如图3（ii）所示，

∴四边形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，

在Rt△AED′中，根据勾股定理得：AE=∴S△AED′=AE×ED′=×

×3=

=

，

）×3=12﹣3

，

，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣+12﹣3

=12﹣

．

则S四边形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=

24．在直角坐标系xoy中，A(0,2)、B(?1,0)，将?ABO经过旋转、平移变化后得到如图15.1所示的

?BCD.

（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）连结AC，点P是位于线段BC上方的抛物线上一动点，若直线PC将?ABC的面积分成1:3两

部分，求此时点P的坐标；

?BCD分别向下、（3）现将?ABO、向左以1:2的速度同时平移，求出在此运动过程中?ABO与?BCD重叠部分面积的最大值.

yACBODxOyx

图15.1

20

图15.2

考点：二次函数，三角形相似，考查解决问题的能力。 解析：

（1）∵A(0,2)、B(?1,0)，将?ABO经过旋转、平移变化得到如图4.1所示的?BCD，

∴BD?OA?2,CD?OB?1,?BDC??AOB?90?.∴C?1,1?.???????(1分) 设经过A、B、C三点的抛物线解析式为y?ax2?bx?c，

?a?b?c?031?则有?a?b?c?1，解得：a??,b?,c?2.

22?c?2?321x?x?2.???????(4分) 22（2）如图4.1所示，设直线PC与AB交于点E.

B∵直线PC将?ABC的面积分成1:3两部分， AE1AE?或?3，???????(5分) ∴

BE3BE过E作EF?OB于点F，则EF∥OA.

EFBEBF?? ∴?BEF∽?BAO,∴. AOBABOAE1EF3BF?时，??∴当， BE32413313∴EF?,BF?，∴E(?,).???????(6分)

244227设直线PC解析式为y?mx?n，则可求得其解析式为y??x?，

55321272∴?x?x?2??x?，∴x1??,x2?1（舍去），

22555239(?,).???????(7分) ∴P1525AE623?3时，同理可得P2(?,).???????(8分) 当BE749∴抛物线解析式为y??PyAECxFOD图4.1S. （3）设?ABO平移的距离为t，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分的面积为

t?2,0). 2111C1B2的解析式为y?x?t?，C1B2与y轴交点坐标为(0,t?). ???(9分)

2223 ①如图4.2所示，当0?t?时，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分为四边形.

5可由已知求出A1B1的解析式为y?2x?2?t，A1B1与x轴交点坐标为(

21

设A1B1与x轴交于点M，C1B2与y轴交于点N，A1B1与C1B2交于点Q，连结OQ.

4t?3?y?2x?2?tx???4t?35t??3Q(,).?????(10分) 由?，得 ，∴?1133y?x??t?y?5t??22?3?∴S?S?QMO?S?QNO?yA1QB2MNC1x12?t5t113?4t????(t?)? 2232231321 ??t?t?.

12425∴S的最大值为.???????(11分)

52

②如图4.3所示，当

B1OD1O1图4.2y34?t?时，?A1B1O1与?B2C1D1重叠部分为直角三角形. 55C1A1设A1B1与x轴交于点H， A1B1与C1D1交于点G.则G(1?2t,4?5t)，

2?t4?5tG?1?2t?，D1G?4?5t.

H22D1OB2114?5t1?(4?5t)?(5t?4)2.???????(12分) ∴S?D1H?D1G??B1O12224341∴当?t?时，S的最大值为.

554图4.325综上所述，在此运动过程中?ABO与?BCD重叠部分面积的最大值为.???????(13分)

52D1H?

x 22

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