概率知识在实际生活中的应用

概率知识在实际生活中的应用

王昊

摘 要：概率论在实际生活中有着广泛的应用，主要通过分析概率论在经济，博彩等方面的应用，力图向人们揭示概率论在生活中的应用是无处不在的.运用概率论知识结合数学期望和方差，对日常生活中的一些看起来比较平凡的事例做具体分析，常常会得到深刻的结果，在学习概率论知识的同时也可以增加人们对概率论知识的兴趣.通过对具体问题的分析可以看出概率方法与思想在解决问题中的高效性，简洁性和实用性.

关 键 词:概率论；投资；博彩；生活中的应用

1 引言及预备知识

随着近年来科学技术的飞速发展，数学知识在生活中的应用也越来越广泛，从原来呆板的书本知识逐渐变成了人们解决生活问题的一种必不可少的方法.概率作为数学的一个重要组成部分，发挥着举足轻重的作用.概率，简单地说，就是描述一件事情是否会发生的可能性的大小.比如说太阳每天从东边升起西边落下，这件事的概率是100%或者说1.因为它肯定会发生；而太阳从西边升起东边落下，这件事的概率就是0.因为它肯定不会发生.但生活中很多现象是既有可能发生又有可能不发生的，比如投硬币时数字朝上的概率，掷骰子时掷到6的概率，买彩票中奖的概率等等，这类事件发生的概率均介于0和100%，或者说0和1之间.在日常生活中无论是股票涨跌，还是发生某类事故，但凡捉摸不定，需要“运气”来解决的事件，都可以用概率模型来进行定量分析，从而得出结果. 定义1.二项分布：进行n次独立重复的伯努利试验，每次试验事件A发生的概率为p，若以?表示n次独立重复的伯努利实验中事件A发生的次数，那么容易求

i得?的分布列是P(??i)=Cnpiqi?1，i=0,1,2?,n,其中0

布成为二项分布.

i二项分布第n项记为b(i;n,p)= Cnpiqi?1

定义2.泊松分布：在n次独立重复的伯努利试验中，以pn表示每次实验事件A发生的概率，它与试验总次数n有关，若limnpn=?(?为常数)，则对任意确定

n??的非负整数k，有 limb(k;n;pn)=

n???kk!e??，k=0,1,2,?.

在实际应用中，若n很大，（一般n?10），p充分小（一般p?0.1），使np大小适中，此时可取??np，有 b(k;n,p)??kk!e??.

泊松分布实际是二项分布n很大而p很小时的特殊形式，是二项分布的逼近公

式.

定义3.伯努利大数定律：设?n是n重伯努利试验中事件A发生的次数，而P是事件A在每次试验中发生的概率，则对任意??0，都有 limP(n???nn?p??)?1.

伯努利大数定律实际上阐述了“频率稳定与概率”的含义.

2 概率与投资

2.1 概率论在风险投资中的应用

在风险投资中，如何规避风险并获得最大收益是投资的重要研究课题，其中“不要把一个鸡蛋放在一个篮子里”就是非常重要的投资原则之一，类似的原理在电路设计等领域广泛应用.

例1 已知某种电子元件独立出现故障的概率是0.3，如果不考虑电源电压和导线对于电流的限制，试分析下列三个电路哪个最好？

图1 图2 图3

图1，图2和图3中的电子元件的L1,L2和L3正常工作的事件分别记为L1和L2和L3.由条件知，3种事件L1,L2,L3相互独立，且P(L1)=0.7，i=1,2,3.

对电路图1，要保证电路运行畅通，L1必须正常工作，而L2,L3两者之中至少有一个正常工作，即事件A=L1?(L2路正常工作的概率为

P（A）=P(L1)P(L2 =0.7?0.7?07?0.7?0.7??0.637.

对电路图2,要保证电路运行通畅，L1,L2和L3必须都工作正常，即事件B=L1?L2?L3)发生.由概率的运算性质，知该电

?L3)=P(L1)[P(L2)+P(L3)-P(L2L3)]

?L3发生，其概率为

P（B）=P(L1L2L3)=P(L1)P(L2)P(L3)=0.7?0.7?0.7=0.343.

对电路图3，要保证电路运行通畅，L1,L2,L3必须至少有一个工作正常，即事件C=L1?L273.

通过以上分析，可以看出相当于把鸡蛋分别放在三个篮子里的电路图3最稳

?L3发生，其概率为

P(C)=1-P(C)=1-P(L1L2L3)=1-P(L1)P(L2)P(L3)=1-0.3?0.3?0.3=0.9

1

定，而把鸡蛋放在同一个篮子里的电路图2最不稳定，把鸡蛋分别放在两个篮子里的电路图1的稳定性介意电路图2和电路图3两者之间.

2.2 概率论在决策投资中的应用

近10年来，保险产业在中国的土地上蓬勃发展，是什么让更多的人从事保险

行业？是什么让更多的人产生了购买保险的意识？是什么让更多的钱流入了保险这一产业？在中国保险监督管理委员会官方网站上进行的一项调查中显示，在购买保险的人群中，人们看中的首先是产品的保障功能及诚信规范水品，其次就是产品的理赔和服务.在人们自我保护意识和风险投资意识加强的同时，购买保险的人也越来越多，其中最为常见的保险如人身保险，其保费为几百元不等，但在发生事故后便可以获得几万甚至几十万的保险理赔.而实际上，保险公司从来做的都是稳赚不赔的生意.

例2 某保险公司新推出一项保险业务，被保险人若在购买保险1年内发生在保单范围内的事故，则保险公司要赔偿A元，若在1年内事故发生的概率为p，为使保险公司收益的期望值等于B元，则保险公司应要求顾客缴纳多少保险费？ 解 用?表示保险公司的收益额，x为顾客缴纳的保险金，则?的取值为x，

x?A，且有P{?=x}=1?p,P{?=x?A}=p,因此E(?)=x(1?p)?(x?A)p

其中E(?)=B，所以x=Ap?B，即保险公司要求顾客交纳Ap?B元的保险费.

保险、股票等风险投资，都带有一定的随机性，运用数学期望这一随机变量的总体特征来预测收益，或决策投资是比较客观的. 2.3 概率论在商业投资中的应用

在人们的物质生活越来越富足，手头有了更多存款的同时，许多人选择了投资.所谓投资就是用某种有价值的资产，其中包括资金、人力、知识产权等投入到某个企业、项目或经济活动，以获取经济回报的商业行为或过程.近几年来，楼市一直居高不下，直到房地产调控政策出台，终于给风风火火的楼市降了温. 例3 若现有100万可用于作一年的投资，该如果制定出一个合理的投资方案？以上两种投资相互独立，投资的比例、投资收益率、风险程度由下表得 投资比例与年收益率，风险程度的关系 投资项目随机收益 商业：X 股票：Y 投资的比例 m 1-m 投资年收益率 风险程度 ?1 ?12 ?2 ?22 X和Y分别表示各自的随机收益，相关系数为p,故组合收益为

2

Z=mX??1?m?Y,所以年平均收益（数学期望）为E(Z)?m?1?(1?m)?2,该投资方案的风险（方差）为：

2D(Z)=D{mX??1?m?Y}=m2?12??1?m??2?2pm(1?m)?1?2,要求最小组和风险，

2?12?p?1?2?D(Z)即求D(Z)关于x的极小值点，令=0，得到x=2.故这样的x,

?x?1??22?2p?1?2可以使得保证在投资风险最小的情况下，去得有保障的收益.

综上，在一般风险估算中，方差的应用非常广泛，常常用来评估风险.这样的概率计算在经济学中也广泛应用.

3 概率与博彩

3.1 概率论在彩票中的应用

14世纪，随着商业贸易日益发展，航海事业日新月异，出现了海上保险事业.到16世纪时，人寿保险事业及水灾，火灾等保险事业也相继出现，它们都向数学提出了新的要求，要求应用数学来分析和研究随机现象中蕴含的规律，估计事故发生的可能性大小，这就促进了数学家们对概率与数理统计的研究.因此可以说，概率论与数理统计的兴趣是由保险事业的发展而产生的，但最初激发数学家们思考概率论的一些特殊问题却是来自赌博者的请求.例如卡当在其《赌博论》一书中已计算了掷两颗或三颗骰子时在一切可能方法中有多少方法得到某一总点数.

例4 近期，在多地查处的学校门口销售“学生彩票”事件，面值0.50元，彩票中奖概率为0.01，这里不考虑奖品等级，只考虑中奖与否对小学生们购买心理的影响.中奖概率为1%，买了100张怎么都没有中，别人买了10张，怎么就中了呢？抱有这样的心理，小学生们一发不可收拾，无端受了非法销售者的蛊惑.由于每次购买彩票是独立进行的，X表示中奖次数，n表示购买次数，则X:b(n,0.01). 若取n=100，至少一张中奖的概率可以用泊松分布来近似

P(X?1)=1-P(X=0)=1-0.99100?1-e?10，np??=10，即随着n的变化，可得下表 购买张数和至少1张中奖的概率关系 购买张数 n=10 N =50 n=100 N=300 n=500 N=600 至少一张0.0956 0.3950 0.6340 0.9510 0.9934 0.9976 中奖概率 由此可见，买100张中奖的概率仅为0.6340，也就以为这未必中奖.买10张的概率为0.0956，接近0.010，可由伯努利大数定律给出解释，即随着n的增大，事件A发生的频率是依概率收敛于概率的.

通过上例可以看出买100张的概率并不是买10张的10倍，他们是相互独立的.而在销售彩票现场，假设每人买10张，同一时间段内，购买彩票的人数很多，500

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张乃至600张以上是很容易实现的，于是至少一张中奖的概率为0.9976，这就是为什么福彩总有人中巨奖，而自己不容易中奖的原因.

难道这些所谓的小概率事件就这么遥不可及么？概率论的知识告诉我们，小概率事件必然发生！俗话说，常在河边走，哪能不湿鞋.

例5 若在河边走“湿鞋”的概率是p，则第一次河边走时事件发生的概率是p；若第一次事件不发生，而第二次河边走事件发生的概率是(1?p)p；同样的，若前两次河边走时事件都不发生，而在第三次事件发生的概率是?1?p?p，以此类

2推，第n?1次河边走事件都不发生，而第n次河边走时事件发生的概率是

?1?p?n?1p.如此，可以的得到等比数列

p,(1?p)p,?1?p?p,?,?1?p?2n?1p,?,且?(1?p)n?1p?1，说明在河边走的

n?1??次数足够多，“湿鞋”这一小概率事件发生的概率为1，即“湿鞋”这一小概率事件肯定发生. 3.2 概率与比赛

福利彩票的出现在某种程度上拉动了GDP的产值，也调动了彩民的积极性.随之产生的新兴博彩模式，如单色球，双色球，体育彩票也不同程度的收到了人们的关注.但就概率的角度而言，体育彩票算是在其他几种彩票形式中略微有所依据的.

例如在现在的体育赛事中，为了避免偶然性，许多赛事采用多局累计决胜制，如采用比较多的三局两胜制，五局三胜制等.

例6 在NBA季后赛中，热火队和湖人队的比赛根据实际排名和常规赛的战绩统计，每赛一局，湖人队胜的概率是0.4，热火队胜的概率是0.6，若比赛既可以采用三局两胜制，也可以采用五局三胜制，选择哪种赛制对湖人队有利？

解 若采用三局两胜制：设A1表示湖人队胜前两局，A2表示前两局中二队各胜一局，第三局湖人队获胜，A表示湖人队胜，则A?A1?A2,而

P(A1)?0.42?0.16 , P(A2)?(0.42?0.6)?2=0.192 由于A1与A2互斥，由加法公式得

P(A)?P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)=0.16+0.192=0.352.

若采用五局三胜制：设B表示湖人队胜，B1表示前三局湖人队胜，B2表示前三局中湖人队胜两局，热火队胜一局，第四局湖人队胜，B3表示前四句两

4

队各胜两局，第五局湖人队胜，则B?B1?B2?B3,而

P(B1)=0.43=0.064

P(B2)=C30.42?0.6?0.4=0.1152

P(B3)?C40.42?0.62?0.4?0.13824

22所以 P(B)?P(B1?B2?B3)?P(B1)?P(B2)?P(B3) =0.064+0.1152+0.13824=0.31744.

由于P(B)?P(A),故采用三局两胜制对湖人队有利，但从公平性而言，因湖人队胜的概率为0.4，热火队胜的概率为0.6，所以五局三胜制更公平更合理.在实际比赛中，NBA季后赛采用的是七局四胜制，这样就更为公平和合理. 3.3 “三门问题”

三门问题（Monty Hall problem）亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论，大致出自美国的电视游戏节目Let's Make a Deal.问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）.参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门可赢得该汽车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊.当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊.主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门.问题是：换另一扇门是会否增加参赛者赢得汽车的机会率？

一种答案认为这三扇门的后面有车的事件为等可能事件，都是1/3.所以不必换选别的门.另一种答案是应该换.原因是，假设参赛者在主持人提问后永远都会选择换门，这时赢的唯一可能性就是参赛者选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇背后有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性.因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以参赛者换门后而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样.

原问题的描述确实有一些含糊不清的成分，如果加上下述条件可以是这个问题更准确:

1、参赛者在三扇门中挑选一扇.他并不知道里面有什么. 2、主持人知道每扇门后面有什么.

3、主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会. 4、主持人永远都会挑一扇有羊的门.

5、如果参赛者挑了一山有羊的门，主持人必须挑另一扇有羊的门. 6、如果参赛者挑了一扇有车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有羊

5

的门.

7、参赛者会被问是否保持他原来的选择，还是转而选择剩下的那一道门. 以上两种意见争执不下，如果你是参赛者，你会换门么？

大多数人会认为，当主持人打开一扇有羊的门后，剩下的两扇门中，选择羊和车的概率分别为1/2，因为两扇门中，任意选一门，不是羊，就是车.

实际上，在改变主意的情况下，只有三种情况： 1、参赛者挑羊A，主持人挑羊B.改变主意将赢得汽车. 2、参赛者挑羊B，主持人挑羊A.改变主意将赢得汽车.

3、参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊中的任何一头，改变主意将失败. 由此可见，改变主意赢得汽车的机会是2/3.而其中的关键是，参赛者意识到主持人知道每扇门后有什么，而主持人打开的门后总是羊.

这个结果出乎了很多人的意料，因为它违背了人们的定式思维模式.“三门问题”也告诉我们在做基于量化的判断时，要以事实和数据为依据，而不要凭主观来决定.否则，想当然的结果往往会在我们不知的情况下把我们引入歧途.

4 概率论在生活中的应用

了解概率的人不买彩票，因为他们懂概率论.虽然不买彩票，但我们同样可以让概率丰富我们的生活.

例7 某家庭有4个女孩，她们去洗碗，在打破的4个碗中有3个是最小的女孩打破的，因此家人说她笨拙，问她是否有理由申辩这完全是碰巧？

这个看似和概率毫无关系的问题真的能用概率来解决么？ 首先，我们假设这一事件是巧合的

其次，4个碗中有3个碗是最小的女孩打破的，有C4种选法； 另一个碗是其他三个女孩中的其中一个打破的，有C3种选法； 其中每个碗被打破的概率都是相同的，都是

431131 4?1?则最小的女孩打破三个碗的概率 P?C4C3???0.047?0.05,所以是小概率

?4?事件，即认为一般不可能发生.所以小女孩有理由申辩这完全是碰巧.

在很多人的想法中，数学一直是一个既复杂又无聊的东西，他们会觉得很多数学的东西学了也没什么用，只要会加减乘除就够了.概率论是数学中的一个重要分支，对于概率的了解，人们也只是片面的停留在猜测硬币正反等一些基本的问题上，难道概率就真的这么无趣么？下面介绍一个有关概率的小游戏.

例8 现在有三张卡片，正反面均无标记，分别编号为1、2、3，其中1号卡片正面和反面为黑色；2号卡片正面和反面为红色；3号卡片一面是黑色，一面是红

6

色，然后把三张卡片放进一个盒子里，让其中一个人任意抽取一张，平放在桌子上，然后和他打赌反面的颜色和正面的颜色是一样的.这个游戏乍看起来是公平的，比如抽到一张表面是黑色的卡片，那么卡片不是1号就是3号，反面的颜色不是黑色就是红色，直觉上，概率各占1/2.

事实上，我们赢的概率不是1/2，而是2/3.这个游戏最迷惑人的地方时卡片的“两面性”.玩家抽的不是3张牌，而是6个面：3个黑面，3个红面.我们把这6个面编上号A、B、C、D、E、F:

卡片 1 正面 A/黑色 反面 D/黑色 是D、F、A，黑色的情形占了2/3.

这个游戏的结果同样出人意料，因为它再一次欺骗了人们所谓的直觉.这个游戏是在1950年美国数学家沃伦·韦弗介绍了上面的卡片玩法，马丁·加德纳称之为“三张卡片的骗局”.

2 B/红色 E/红色 3 C/黑色 F/红色 当玩家抽到黑面时，也就是A、C、D三中等可能的情况，它们的背面则分别

5 结语

人们在生活和工作中，无论做什么事都要脚踏实地，对生活中的某些偶然事件要理性的分析、对待.一位哲学家曾经说过：“概率是人生的真正指南”.只有了解概率，学好概率，我们才能在生活中做到面面俱到.总之，由于随机现象在现实世界中大量存在，概率必将越来越显示出它巨大的力量.

参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/7bdd.html