辽宁省五校协作体2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理

2015——2016学年度下学期省五校协作体高二期中考试 数学试题（理科）

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11 的虚部是（ ） 2 i1 2i

1111A． B．i C. i D． 55551.复数

12．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为( ) 2

A．2 B．ln2＋1 C．ln2－1 D．ln2

3. 袋中共有8个球，其中3个红球，2个白球，3个黑球，若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是（ ）

A． 937395 B． C． D． 1456756

4. 8名运动员参加男子100米的决赛，已知运动场有从内到外编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字（如：4,5,6），则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式有（ ）

A． 360种 B．4320种 C．720种 D．2160种

12325. 设(＋x)的展开式中的常数项为a，则直线y＝ax与直线y＝x围成图形的面积为( ) x

A.27927 B．9 C. D224

6. 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是 (

)

7．若z 13 i，且(x z)4 a0x4 a1x3 a2x2 a3x a4，则复数a2 （ ） 22

13A． i B． 3 3i C．6 33i D． 3 3i 22

8. (x 1 2)3的展开式中的常数项为（ ） x

A． 20 B．19 C． 18 D．21

9.设f(x)是(x

范围是（ ） 2 2 16)展开式的中间项，若f(x) mx在区间 ,2 上恒成立，则实数m 的取值2x 2

A．[5, ) B．(, ) C．(2,5) D．(5,10)

10．已知在面积为S的凸四边形中，四条边长分别记为a1,a2,a3,a4，点P为四边形内任意一点，且点P到四边的距离分别记为h1,h2,h3,h4，若a1a2a3a42S k，则h1 2h2 3h3 4h4 .类k1234

比以上性质，体积为V的三棱锥的每个面的面积分别记为S1,S2,S3,S4，此三棱锥内任一点Q到每个面的距离分别为H1,H2,H3,H4，若

A． S1S2S3S4 K，则H1 2H2 3H3 4H4 （ ） 12344V3V2VV B． C． D． KKKK

11.已知f(x) x 3,x 1 x，则使得f(x) e m 0恒成立的m的取值范围是（ ） 2 x 2x 3,x 1

A． ,2 B． ,2 C． 2, D． 2,

12.已知a为常数，函数f(x) x(lnx ax)有两个极值点x1,x2（x1 x2），则（ ）

11 B．f(x1) 0 ， f(x2) 22

11 C．f(x1) 0 ，f(x2) D．f(x1) 0 ， f(x2) 22A．f(x1) 0 ，f(x2)

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分

13.已知函数f(x) axlnx,x (0, )，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1) 3，则a __________

1311511171114. 观察下列式子：1＋2，1＋2＋2，1＋22＋2……，根据以上式子可以猜想：1＋22222332344231＋2 < ________. 2014

15. 将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中.若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有________种.

16.有以下命题：

① 若f(x) x (a 1)x 3x 1没有极值点，则 2 a 4； 32

1,2,zi ，i为虚数单位，N 3,4 ，M N 4 ，则复数z 4i； ②集合M

③若函数f(x) lnx1 m有两个零点，则m . xe

其中正确的是_____________.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

m2＋m－6217．当实数m为何值时，复数z＝(m－2m)i为 m

(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．

13x bx2 cx bc． 3

4（1）如果函数f(x)在x 1处有极值 ，求b、c； 3

1（2）设当x (,3)时，函数y f(x) c(x b)的图象上任一点P处的切线斜率为k， 2

若k≤2，求实数b的取值范围． 18. 已知关于x的函数f(x)

19. 如图所示，抛物线y 1 x与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上.已知工业用地每单位面积价值为3a元(a 0)，其它的三个边角地块每单位面积价值a元.

（1）求等待开垦土地的面积；

（2）如何确定点C的位置，才能使得整块土地总价值最大

. 2

2x20.已知函数f(x)＝xlnx，g(x)＝(－x＋ax－3)·e(其中a实数，e是自然对数的底数)．

（1）当a＝5时，求函数y＝g(x)在点(1，e)处的切线方程；

（2）求f(x)在区间[t，t＋2](t＞0)上的最小值；

（3）若存在．．x1、x2∈[e，e](x1≠x2)，使方程g(x)＝2ef(x)成立，求实数a的取值范围．

－1x

21、已知(x 1)n a0 a1(x 1) a2(x 1)2 a3(x 1)3 an(x 1)n，（其中n N ）．

（1）求a0及Sn a1 2a2 3a3 nan；

（2）试比较Sn与n3的大小，并说明理由．

22.已知函数f(x) ln(x 1). x

（1）判断f(x)在(0, )的单调性；

（2）若x 0，证明：(ex 1)ln(x 1) x2.

2015——2016学年度下学期省五校协作体高二期中考试

数学（理科）参考答案

一、选择题

4027二、填空题 13、3 14、、18 16、② 2014

三、解答题

m－2m＝017、解 (1)当 m≠0

m－2m≠0，(2)当 m≠0

222 ，即m＝2时，复数z是实数； -----------3分 即m≠0且m≠2时，复数z是虚数；-------------6分 m＋m－6 ＝0m(3)当 m2－2m≠0 ，即m＝－3时，复数z是纯虚数．-------------10分

18、解：（1） f(x) 13x bx2 cx bc f′(x) x2 2bx c，-----------1分 3

4 b 1 b 14 f(1) x 1 f(x)在处有极值， 或 -----------4分 3，解得 3'c 1c 3 f(1) 0

当 b 122时，f′（x）=﹣x+2x﹣1=﹣（x﹣1）≤0，f（x）递减，不满足题意；

c 1

b 12当 时，f′（x）=﹣x﹣2x+3=﹣（x﹣1）（x+3），满足题意．

c 3

综上可得，b 1,c 3.--------------------6分

13x bx2， f'(x) x2 2bx，-------------------7分 3

12由题意可得 x 2bx 2在x (,3)时恒成立， 2

21即2b x 在x (,3)时恒成立-------------------9分 x2

2 x 22，当且仅当x=2时，取得最小值22，-------------------11分 x（2）函数y

2b 22， b 2.-------------------12分

13419、解：（1）S= (1 x)dx (x x) ， 1 13312

故等待开垦土地的面积为4 -------------------4分 3

2（2）设点C的坐标为(x,0)，则点B(x,1 x)其中0 x 1，∴SABCD 2x(1 x2) ∴土地总价值y 3a 2x(1 x) a[ 2x(1 x)] 4ax(1 x) 24

3224a,x (0,1) ----8分 3

由y' 4a(1 3x2)=0

得x

x 舍去）并且当0 x

时，y' 0, x 1时，y' 0

故当x y取得最大值. 3,0)时，整个地块的总价值最大. -------------------12分 3

2x

x答：当点C的坐标为(20、解： (1)当a＝5时，g(x)＝(－x＋5x－3)·e， g′(x)＝(－x＋3x＋2)·e，故切线的斜率为g′(1)＝4e，

所以切线方程为：y－e＝4e(x－1)，即4ex－y－3e＝0. -----------------2分

1(2) f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)＝0，得x e

1①当t≥时，在区间(t，t＋2)上，f′(x)>0，f(x)为增函数， e

所以f(x)min＝f(t)＝tlnt；

11②当0<t<时，在区间(t，)上f′(x)<0，f(x)为减函数， ee

111在区间(，e)上f′(x)>0，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f()＝－分 eee

3x2(3)由g(x)＝2ef(x)可得2xlnx＝－x＋ax－3，a＝x＋2lnx＋， x

323(x 1)(x 3)令h(x)＝x＋2lnx＋，h′(x)＝1＋－2＝， xxxx2

x

h′(x) 1，1) e－ 1 0 (1，e) ＋ 2

h(x) 单调递减 极小值(最小值) 单调递增 11312h()＝3e－2，h(1)＝4，h(e)＝e＋2，h(e)－＝4－2e＋<0， eeeee

3∴实数a的取值范围为(4，e＋2＋．-----------------12分 e

21、解：（1）取x 1，则a0 2n；-------------2分

对等式两边求导，得n(x 1)n 1 a1 2a2(x 1) 3a3(x 1)2 nan(x 1)n 1， 取x 2，则Sn a1 2a2 3a3 nan n 3n 1．-------------6分

（2）要比较Sn与n3的大小，即比较：3n 1与n2的大小，

n 12当n 1时，3 n；

n 12当n 2时，3 n；

n 12当n 3时，3 n；

当n 4,5时，3n 1 n2；

猜想：当n 4时，3n 1 n2，下面用数学归纳法证明：

由上述过程可知，n 4时结论成立，

假设当n k,(k 4)时结论成立，即3

当n k 1时, 3(k 1) 1k 1 k2， 3 3k 1 3k2，

而3k2 (k 1)2 2k2 2k 1 2k(k 1) 1 2 4 3 1 23 0 3k2 (k 1)2

∴3(k 1) 1 (k 1)2， 即n k 1时结论也成立，

∴当n 4时，3n 1 n2成立．

综上得，当n 1,3时，Sn n3；

当n 2时，Sn n3；

当n 4时，Sn n3．---------------------------12分

x ln x 1

22、解：(1)对f x 求导得f x 2,---------1分 x

令g x x ln x 1 , x 1

g x 1

x 1 2 1x 0---------3分 2x 1 x 1

故g x 是 0, 上的减函数, g x g 0 ln1 0---------4分 f x 0, f x 是 0, 上的减函数. ---------5分

(2)不等式(ex 1)ln(x 1) x2等价为

xxlnexln e 1 1 因为x, e 1ex 1ex 1

xln x 1 ln e 1 1 故原不等式等价于,---------8分 xex 1ln(x 1)x x---------6分 xe 1

ln x 1 由(1)知,f x 是 0, 上的减函数， x

故要证原不等式成立,只需证明:当x 0时,x e 1,

令h x ex x 1,则h x ex 1 0,h x 是 0, 上的增函数,

xx所以h x h 0 0,即x e 1,故f x fe 1, x

xln x 1 ln e 1 1 x即---------12分 xxxe 1e 1

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