数学建模样题及答案

数学建模作业一

学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，试用下列方法分配各宿舍的委员数：

（1） 按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大

的。

（2） Q值方法：

m方席位分配方案：设第i方人数为pi，已经占有ni个席位，i=1，2，…，m .当总席位增加1席时,计算

Qi?pi2ni(ni?1)，i=1，2，…，m

把这一席分给Q值大的一方。

（3） d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,…相除，

其商数如下表：

1 2 3 4 5 …

A 235 117.5 78.3 58.75 … B 333 166.5 111 83.25 … C 432 216 144 108 86.4

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，

表中A,B,C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。（试解释其道理。）

（4） 试提出其他的方法。

数学建模作业二

假定人口的增长服从这样的规律:时刻t的人口为x(t),t到t+?t时间内人口的增长与xm-x(t)成正比例(其中xm为最大容量).试建立模型并求解.作出解的图形并与指数增长模型、阻滞增长模型的结果进行比较。

解：=r(xm-x),r为比例系数，x(0)=x0 解为：x(t)= xm-( xm- x0)

,

如下图粗线，当t→∞时，它与Logistic模型相似。

数学建模作业三

一容器内盛入盐水100L，含盐50g .然后将含有2g/L的盐水流如容器内，流量为3L/min.设流入盐水与原盐水搅拌而成均匀的混合物。同时，此混合物又以2L/min的流量流出，试求在30min时，容器内所含的盐量。 若以同样流量放进的是淡水，则30min时，容器内还剩下多少盐？ 要求写出分析过程。

解：设x(t)为t时刻容器内剩余的盐的质量 ①

x(t)=2(100+t)-1.5

(100+t)

-2

X(t=30)=171.24

②

x(t)=

(100+t)-2

X(t=30)=29.59

数学建模作业四

A1,A2,A3商业集团公司在三地设有仓库，它们分别库存40，20，40个单

Bi,i?1,?,5位质量的货物，而其零售商店分布在地区，它们需要的货物量分的每单位质量装运费

别是25，10，20，30，15个单位质量。产品从列于下表：

Ai到

Bj A1A2B1 B2 B3 B4 B5 55 35 40 30 30 60

40 100 95 50 45 35 40 60 30 A3解：设从运至的货物质量为

+30

+40

，i=1,2,3;j=1,2,3,4,5; +…+35

+30

目标函数：min 55S.T:

非负限定； 软件求解：

数学建模作业五

设有9个节点，他们的坐标分别为：a（0，15），b（5，20），c（16，24），d（20，20），e（33，25），f（23，11），g（35，7），h（25，0），i（10，3）。任意两个节点之间的电缆长度为

w(i,j)?xi?xj?yi?yj

问怎样连接电缆，使每个节点都连通，且所用的总电缆长度为最短。

数学建模作业六

有三个旅游点上海、乌鲁木齐、昆明供你选择，考虑的因素是费用、景点、交通，试通过层次分析法求给出选择的结果。

数学建模作业七

简述数学建模的一般步骤，通过对一个实例的求解展现这一步骤。

建模的步骤一般分为下列几步:

1.模型准备.首先要了解问题的实际背景,明确题目的要求,搜集各种必要的信息.

2.模型假设.在明确建模目的,掌握必要资料的基础上,通过对资料的分析计算,找出起主要作用的因素,经必要的精炼,简化,提出若干符合客观实际的假设,使问题的主要特征凸现出来,忽略问题的次要方面.一般地说,一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题,即使可能,也很难求解.不同的简化假设会得到不同的模型.假设作得不合理或过份简单,会导致模型失败或部分失败,于是应该修改和补充假设;假设作得过分详细,试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去,可能使你很难甚至无法继续下一步的工作.通常,作假设的依据,一是出于对问题内在规律的认识,二是来自对数据或现象的分析,也可以是二者的综合.作假设时既要运用与问题相关的物理,化学,生物,经济等方面的知识,又要充分发挥想象力,洞察力和判断力,善于辨别问题的主次,果断地抓住主要因素,舍弃次要因素,尽量将问题线性化,均匀化.经验在这里也常起重要作用.写出假设时,语言要精确,就象做习题时写出已知条件那样.

3.模型构成.根据所作的假设以及事物之间的联系, 利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系,建立相应的数学结构――即建立数学模型.把问题化为数学问题.要注意尽量采取简单的数学工具,因为简单的数学模型往往更能反映事物的本质,而且也容易使更多的人掌握和使用.

4.模型求解.利用已知的数学方法来求解上一步所得到的数学问题,这时往往还要作出进一步的简化或假设.在难以得出解析解时,也应当借助计算机求出数值解.

5.模型分析.对模型解答进行数学上的分析,有时要根据问题的性质分析变量间的依赖关系或稳定状况,有时是根据所得结果给出数学上的预报,有时则可能要给出数学上的最优决策或控制,不论哪种情况还常常需要进行误差分析,模型对数据的稳定性或灵敏性分析等.

6.模型检验.分析所得结果的实际意义,与实际情况进行比较,看是否符合实际,如果结果不够理想,应该修改,补充假设或重新建模,有些模型需要经过几次反复,不断完善.

7.模型应用.所建立的模型必须在实际中应用才能产生效益,在应用中不断改进和完善.应用的方式自然取决于问题的性质和建模的目的.

数学建模作业八

设一农业研究所植物园中某植物的基因型为AA、Aa和aa. 研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因分布如何？

解：设=1,2,3分别表示第n代的一个体属于AA、Aa、aa，

), p(

), p(

))表示第n代

即3种状态，n=1,2,3…,(n)=(p(后个体分别属于状态假设a（0）=（a,2b,c）. P=a+b;q=b+q 其中a+2b+c=1

的概率。

转移概率pji 表示:一个后代具有的基因类型j亲具有的基因类型.

则 转移矩阵 D=

=

/

且=

那么a(n+1)=a(n)D=a(0)(a+b+

)

)q,

,0)

=(p+(1-

所以若干（n）年之后三种基因分布情况 AA：Aa：aa=（p+(1-

数学建模作业九

小李要购买二居室公房一套，共10万元一次付清。他们自己设法筹借到4万元，另外6万元申请抵押贷款。若贷款月利率为1%，还贷期限25年，问小李每月要还多少钱？要求给出分析过程。

)q）：（

）：0

x?每月所还金额 I?月利率

n?还贷期限（月） v?贷款金额

将题目数据带入可得：x=

分析：此题如同经济上的后付年金现值得计算方法。

数学建模作业十

一男孩和一女孩分别在离家2公里和1公里且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4公里和2公里每小时的速度步行回家。一小狗以6公里/小时速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？

解：（1）按照男孩和女孩的步行速度，男孩和女孩去学校或者回家所用的时间都是0.5小时。所以小狗奔波的路程为0.5小时×6km/h=3km. 到他们到达学校时，小狗在离男孩学校1km处。

（2）上学路上任何位置。逆向思维得方式，反过来想：由于孩子到达学校时小狗的位置不定，因为放学时无论小狗从任何位置起跑，都会与孩子同时到家。之所以出现位置不定的结果，是由于上学时小狗跑动的方向无法确定 ，类似于数学中的奇点问题。

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