高考高中复习数学第二章平面向量2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2_2.3.4平面向量共线的坐标表示

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小初高K12学习教材 2.3.2-2.3.4 平面向量共线的坐标表示

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．若AB →＝(3,4)，A 点的坐标为(－2，－1)，则B 点的坐标为( )

A ．(1,3)

B ．(5,5)

C ．(1,5)

D ．(5,4)

解析：设B (x ，y )，则有AB →＝(x －(－2)，y －(－1))＝(x ＋2，y ＋1)＝(3,4)，所以?????

x ＋2＝3，y ＋1＝4，解得????? x ＝1，

y ＝3，所以B (1,3)．

答案：A

2．下列各组向量中，可以作为基底的是( )

A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(－2,1)

B ．e 1＝(4,6)，e 2＝(6,9)

C ．e 1＝(2，－5)，e 2＝(－6,4)

D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝? ????12

，－34 解析：因为零向量与任意向量共线，故A 错误．对于B ，e 1＝2(2,3)，e 2＝3(2,3)，所以e 1

＝23e 2，即e 1与e 2共线．对于D ，e 1＝4? ????12

，－34＝4e 2，所以e 1与e 2共线． 答案：C

3．已知A ，B ，C 三点在一条直线上，且A (3，－6)，B (－5,2)，若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为( )

A ．－13

B ．9

C ．－9

D ．13

解析：设C 点坐标为(6，y )，则AB →＝(－8,8)，AC →＝(3，y ＋6)，因为A ，B ，C 三点共线，所

以3－8＝y ＋68

，所以y ＝－9. 答案：C

4．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( )

A ．(1，－1)

B ． (－1,1)

C ．(－4,6)

D ．(4，－6) 解析：由题知4a ＝(4，－12)，

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小初高K12学习教材 3b －2a ＝3(－2,4)－2(1，－3)＝(－8,18)，

4a ＋(3b －2a )＝－c ，

所以(4，－12)＋(－8,18)＝－c ，

所以c ＝(4，－6)．

答案：D

5．已知两点A (2，－1)，B (3,1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( )

A ．a ＝(1，－2)

B ．a ＝(9,3)

C ．a ＝(－1,2)

D ．a ＝ (－4，－8)

解析：∵AB →＝(1,2)，∴a ＝(－4，－8)＝－4(1,2)＝－4AB →，∴D 正确．

答案：D

6．已知四边形ABCD 为平行四边形，其中A (5，－1)，B (－1,7)，C (1,2)，则顶点D 的坐标为________．

解析：设D (x ，y )，由AD →＝BC →，

所以(x －5，y ＋1)＝(2，－5)，

所以x ＝7，y ＝－6.

答案：(7，－6)

7．已知A (1,2)，B (4,5)，若AP →＝2 PB →，则点P 的坐标为________．

解析：设P (x ，y )，所以AP →＝(x －1，y －2)，PB →＝(4－x,5－y )，

又AP →＝2 PB →，所以(x －1，y －2)＝2(4－x,5－y )，

即????? x －1＝－x ，y －2＝－y ，所以????? x ＝3，y ＝4.

答案：(3,4)

8．已知a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则x ＝________. 解析：∵a ＝(1,1)，b ＝(x,1)，∴u ＝(2x ＋1,3)，v ＝(2－x,1)．

u ∥v ?(2x ＋1)·1－3·(2－x )＝0?x ＝1.

答案：1

9．已知OA →＝(1,1)，OB →＝(3，－1)，OC →＝(a ，b )．

(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系；

(2)若AC →＝2AB →，求点C 的坐标．

解析：(1)由题意知，AB →＝OB →－OA →＝(2，－2)，AC →＝OC →－OA →＝(a －1，b －1)，若 A ，B ，C 三

点共线，则AB →∥AC →，即2(b －1)－(－2) (a －1)＝0，故a ＋b ＝2.

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小初高K12学习教材 (2)∵AC →＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝(4，－4)，

∴????? a －1＝4b －1＝－4，∴????? a ＝5b ＝－3，即C (5，－3)．

10．已知向量AB →＝(4,3)，AD →＝(－3，－1)，点A (－1，－2)．

(1)求线段BD 的中点M 的坐标．

(2)若点P (2，y )满足PB →＝λBD →(λ∈R )，求y 和λ的值．

解析：(1)设点B 的坐标为(x 1，y 1)，因为AB →＝(4,3)，A (－1，－2)，所以(x 1＋1，y 1＋2)＝

(4,3)．

所以????? x 1＋1＝4，y 1＋2＝3，解得????? x 1＝3，y 1＝1，

所以点B (3,1)，同理可得D (－4，－3)．

设线段BD 的中点M 的坐标为(x 2，y 2)，x 2＝3－42＝－12，y 2＝1－32＝－1，所以M ? ??

??－12，－1. (2)PB →＝(3,1)－(2，y )＝(1,1－y )，

BD →＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，

因为PB →＝λBD →，所以(1,1－y )＝λ(－7，－4)．

即????? 1＝－7λ，1－y ＝－4λ，得????? λ＝－17，y ＝37.

[B 组 能力提升]

1．向量PA →＝(k,12)，PB →＝(4,5)，PC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则k 的值为( )

A ．－2

B ．11

C ．－2或11

D ．2或－11

解析：BA →＝PA →－PB →＝(k,12)－(4,5)＝(k －4,7)，CA →＝PA →－PC →＝(k,12)－(10，k )＝(k －10,12－k )，

因为A ，B ，C 三点共线，所以BA →∥CA →，

所以(k －4)(12－k )－7(k －10)＝0，

整理得k 2

－9k －22＝0，

解得k ＝－2或11.

答案：C

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小初高K12学习教材 2．已知向量集M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋λ(4,5)，λ∈R }，则M ∩N ＝( )

A ．{(1,1)}

B ．{(1,1)，(－2,2)}

C ．{(－2，－2)}

D ．?

解析：由集合M ∩N ＝{a |a ＝(x ，y )，x ，y ∈R }，对于M 有

x －13＝y －24，对于N 有x ＋24＝y ＋25，

解得x ＝－2，y ＝－2.

答案：C 3．已知向量a ＝(－2,3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1,2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．

解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．

设B (x ，y ), 则AB →＝(x －1，y －2)＝b.

由????? －2λ＝x －13λ＝y －2?????? x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.①

又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，

∴λ＝12或λ＝－23

，代入①式得 B 点坐标为(0，72)或(73，0)．

答案：(0，72)或(73

，0) 4．设向量OA →绕点O 逆时针旋转π2

得向量OB →，且2OA →＋OB →＝(7,9)，则向量OB →＝________. 解析：设OA →＝(m ，n )，则OB →＝(－n ，m )，所以2OA →＋OB →＝(2m －n,2n ＋m )＝(7,9)，即????? 2m －n ＝7，m ＋2n ＝9.解得????? m ＝235n ＝115.因此，OB →＝? ??

??－115，235. 答案：? ??

??－115，235 5．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：

(1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？

(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．

解析：OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)，

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小初高K12学习教材 OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．

(1)若P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23

； 若P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13

； 若P 在第二象限，则有????? 1＋3t <0，2＋3t >0，

解得－23<t <－13

. (2)不能．理由：PB →＝OB →－OP →＝(3－3t,3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝PB →，

即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不能成为平行四边形．

6．已知O 是△ABC 内一点，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，且|a |

＝2，|b |＝1，|c |＝3，试用a ，b 表示c .

解析：根据题设，画出图形，如图所示，以O 为原点，

OA 所在直线为x 轴建立直角坐标系．

由三角函数的定义，得A (2,0)，

B (cos 150°，sin 150°)，

即B ? ?

?

??－32，12，C (3cos 240°，3sin 240°)， 即C ? ????－32

，－332. 故a ＝(2,0)，b ＝? ?

???－32，12，c ＝? ????－32

，－332. 设c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，

即? ????－32，－332＝λ(2,0)＋μ? ????－32，12＝?

????2λ－32μ，12μ.∴????? －32＝2λ－32μ，－332＝12μ， 解得??? λ＝－3，μ＝－33

，∴c ＝－3a －33b.

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