动态规划模型在股票投资组合中的应用

动态规划 数学模型

2009年第9期　　　　　　　　　　　　　　山东社会科学　　　　　　　　　　　　　　　　　　No.9　总第169期　　　　　　　　　　　　　　SHANDONGSOCIALSCIENCES　　　　　　　　　　　　GeneralNo.169

动态规划模型在股票投资组合中的应用

胡元木　白　峰

(山东经济学院会计学院,山东济南　250014)

①

[摘要]　股票投资组合,是指投资者有意识地将资金分散投放于多种股票而形成的投

资项目群组,从而获得最大的投资收益。股票投资组合能够有效地分散投资风险,从而获得最大的投资收益。通过动态规划法,建立动态规划模型,行合理分配,使投资组合获得最大收益,。

[关键词]　动态规划模型;[中图分类号]F830.]A[[2009]09—0087—03

,巨人般的金融机构接连崩塌,其冲击。,资本市场笼罩在一派悲观的气氛中。投资者在不能准确地获得投资信息的情况下,是很难判断哪只股票能够带来更大收益,哪只股票投资风险更小。在动荡的股票市场上,投资组合或者能够有效地帮助投资者规避这种风险,从而获得最大的投资收益。

现代投资组合理论源起于哈瑞 马科维兹的《资产组合》。在这部著作中,马科维兹详细阐述了“资产

①股票投资组组合”的基本假设、理论基础和一般原则,从而奠定了其“资产组合”理论开创者的历史地位。

合,是指投资者有意识地将资金分散投放于多种股票而形成的投资项目群组,从而获得最大的投资收益。然而,如何在各种股票之间对资金进行合理分配,才能使投资组合获得最大收益呢?

一、动态规划的基本思想

美国学者贝尔曼等人在1951年提出了动态规划,为解决此类资金分配问题提供了一种有效的方法。动

②态规划的好处在于,它把多变量的、复杂的决策问题进行分阶段决策,变成了求解多个单变量的决策问题。

动态规划的基本原理是“最优化原理”,即一个最优方案具有这样的性质,无论初始状态和初始方案如何,相对于初始方案产生的状态来说,其后方案必定构成最优子方案。即一个最优方案的任一子方案总是最优的。

动态规划方法的关键在于正确写出基本递推关系式。首先将问题的过程分成几个相互联系的阶段,恰当的选取状态变量和决策变量及定义最优值函数,从而把一个大问题化成一族同类型的子问题,然后逐个求解,即从边界条件开始,逐阶段递推求优;在每一个子问题求解过程中均利用了它前面的子问题的最优化结

③果,依次进行,最后一个子问题所得到的最优解就是整个问题的最优解。

二、动态规划模型在投资组合中的应用

1、案例介绍。

假设某公司决定投资6万元购买四只股票。该公司希望通过合理分配资金,确定最优组合,使所获得的投资收益最大。经过市场调查及专家预测,各只股票所获得的收益与投资额之间的关系如表1所示。

①收稿日期:2008-01-26

作者简介:胡元木(1954-),男,管理学博士,山东经济学院院长助理、教授;

白　峰(1984-),男,山东经济学院会计学硕士研究生。

　①周华任:《运筹学:解题指导》,清华大学出版社2006年版,第16—23页。　　　②袁子宁:《动态规划在投资分配问题中的应用》,《科技信息》2007年第36期。　　　③李冠丛:《财务管理:资本市场风险与回报》,机械工业出版社2006年版,第136—140页。

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表1　收益与投资额

收

益

投

资

额

0123456

040100130160170170

04080100110120130

050120170200210230

(单位:万元)

项

目

u1u2u3u4

06080100120130140

2、动态规划模型的建立。

我们采用动态规划方法,建立动态规划模型,,收益最大。由于这类问题的特殊结构,,,我们引入以下各动态参数:

(1)S—(2)(3)uk,分配给第k个项目的投资额

(4)gk(uk)—阶段目标函数,对第k个项目投资uk所获得的收益(5)S

k—状态变量,分配给第k个至第n个项目的投资额(6)Sk+1=Sk—uk状态转移方程

(7)fk(Sk)—将Sk万元分配给第k个至第n个项目时所获得的最大收益

由此,得到逆序DP(动态规划模型)方程:

fk(Sk)gk(uk)+fk+1(Sk+1)　0≤uk≤Sk,k=n,n-1,…,1fn+1(sn+1)=0

利用这个递推关系式,求得f1(S1)为所求问题的最大收益,此时的投资组合的分配方案也是最优方案。这就是动态规划法的“逆序法”。

3、利用动态规划模型求解。

在这个案例中,我们把资金分配给一只或几只股票的过程,看作一个阶段。下面我们利用动态规划法的“逆序法”分阶段来求解整个问题,其中,S=S1=6。

第一阶段,即k=4时,将S4万元(S4=0,1,2,3,4,5,6)投资于第四只股票。此时,f4(S4)=max{g4(u4)+f5(S5)}=max{g4(u4)+0}=g4(u4);0≤u4≤S4。很显然,S4=0时,f4(0)=0,此时u4=0;S4=1时,f4(1)=60,此时u4=1;

S4=2时,f4(2)=80,此时u4=2;S4=3时,f4(3)=100,此时u4=3;S4=4时,f4(4)=120,此时u4=4;S4=5时,f4(5)=130,此时u4=5;S4=6时,f4(6)=140,此时u4=6。

第二阶段,即k=3时,将S3万元(S3=0,1,2,3,4,5,6)投资于第三只和第四只股票,使得分配给这两只股票的投资额所获得的投资收益最大。

此时,f3(S3)=max{g3(u3)+f4(S4)};0≤u3≤S3。

(1)S3=0时,f3(0)=max{g3(u3)+f4(S4)}=max{g3(0)+f4(0)}=0

此时的最优方案为(u3,u4)=(0,0),即分配给这两只股票的投资额都为0时,投资收益也为0。

(2)S3=1时,f3(1)=max{g3(u3)+f4(S4)};0≤u3≤1。

g3(0)+f4(1)g3(1)+f4(0)

0+50+即f3(1)=60

此时的最优方案为(u3,u4)=(0,1),即当分配给这两只股票的总投资额为1万元,且对第四只股票投

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资1万元,而对第三只股票不投资,此时的投资收益最大,为60万元。

(3)S3=2时,f3(2)=max{g3(u3)+f4(S4)};0≤u3≤2

g3(0)+f4(2)

0+80

50+=120

120+即f3(2)g3(1)+f4(1)

g3(2)+f4(0)

此时的最优方案为(2,0),即当分配给这两只股票的总投资额为2万元,且对第三只股票投资2万元,而对第四只股票不投资,此时的投资收益最大,为120万元。

同理,S3=3时,f3(3)=180,最优方案为(u3,u4)=(2,1);

S3=4时,f3(4)=230,最优方案为(u3,u4)=(3,1);S3=5时,f3(5)=260,最优方案为(u3,u4)=(4,1);S3=6时,f3(6)=280,最优方案为(u3,u4)=(4,2)。

第三阶段,即k=2时,将S2万元(S2=0,1,2,3,4,5,6)投资于第二只至第四只股票,使得分配给这三只股票的投资额所获得的投资收益最大。

此时,f2(S2)=max{g2(u2)+f3(S3)};0≤u2≤S2。

同第二阶段的计算方法一样,S2f220(0,0,0)

(0,0,1)

120(0,2,0)

180(0,2,1)

4230(0,3,1)

5270(1,3,1)

6310(2,3,1)

(u2,u3,u4)

第四阶段,即k=1时,将S1万元(S1=S=6)投资于第一只至第四只股票,使得分配给这四只股票的投资额所获得的投资收益最大。

此时,f1(S1)=max{g1(u1)+f2(S2)};0≤u1≤6。所以,

g1(0)+f4(6)g1(1)+f4(5)g1(2)+f4(4)

f1(6)g1(3)+f4(3)

g1(4)+f4(2)g1(5)+f4(1)g1(6)+f4(00+31040+270100+130+160+170+60170+0130+=330

此时的最优方案为(u1,u2,u3,u4)=(2,0,3,1),即当分配给这四只股票的总投资额为6万元,且对第一只股票投资2万元,对第三只股票投资3万元,对第四只股票投资1万元,而对第二只股票不投资时,投资收益最大,为330万元。

三、结束语

动态规划模型应用的目的是为了让投资者在众多的投资方案中选择最优的投资组合,有效地分散投资风险,从而获得最大的收益。在实际应用中,各只股票的收益与投资额之间的关系主要依靠投资者掌握的股票市场的信息和自身的经验来判断,尤其是在目前的形势下,美国金融危机给全球经济带来了很大的不确定性,收益难以合理预测,这就要求我们对股票市场进行深入的调查和准确的预测。同时,股票的风险和收益在很大程度上呈正方向变化,风险越大、收益越大,反之亦然。但是,也不排除由于某些特殊因素影响,比如不可抗力、国家宏观经济政策等,使得风险与收益呈反方向变化。总之,动态规划模型应用于股票投资组合,还有许多值得完善和补充的地方,为此需要我们进一步探讨和研究。

(责任编辑:亦木)

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