反比例函数学案

30．1反比例函数

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

3．能根据具体问题情景和学生已有的知识经验体会反比例函数的意义，体会函数的模型思想（教学重点）

4. 经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程，发展学生的抽象思维能力 新课引入：

方式1;前面我们学习了一次函数，正比例函数，这节课我们研究反比例函数，板书课题???30.1反比例函数 2．回顾与交流：现在大家回忆一下什么是函数？什么是正比例函数、一次函数？ 让学生回忆叙述： 正比例函数：形如y?kx(k?0) 一次函数：y?kx?b(k?0) 设计理念:学生回忆函数、正比例函数、一次函数，为引入反比例函数的概念作出铺垫。引入主题反比例函数，激发学生学习探索的勇气。 方式2?大家看一下这个问题：体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间t,与平均速度v的关系是怎样的？请写出来。

学生回答：vt?100。

师引导：根据小学学过的知识，v,t是反比例的量，如果把t当做自变量，v当做t的函数则有，y?100t，我们把具有这种特征的函数叫反比例函数。

过渡语： 请同学们预习P92页----P93页的内容。回答下面四个问题：

1. 通过预习P92页“做一做”,你能通过写函数表达式﹑求对应值﹑观察变化规律等活动,体会这三个函数关系的特征吗?说说看.

2.如果变量x与变量y的乘积等于-3，那么用x表示y的表达式具有上面特征吗？ 3.你还能举出具有这种函数关系的实例吗？

4. 一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成 的形式，则称y是x的反比例函数.

答案：1、都可以写成y?≠0）

kx（k≠0）的形式；2、具有上面特征3、略；4、y?kx（k

设计意图:为实现本节课的教学目标，组织学生通过预习经历下面的两个活动过程：一是通过做一做体会三个问题情境所含函数关系的特征；而是通过“大家谈谈”，归纳、概括三个函数的共同特征，确立反比例函数模型.

教学建议：对于做一做的活动，应分三个层次：一是写函数表达式，从形式上体会函数关系；二是根据函数表达式求对应值，从数值上体会函数关系；三是观察表格中数值的变化规律，体会函数关系。这是抽象、概括个函数共同特，建立反比例函数模型的重要环节。因此这个环节由学生独立完成或小组合作完成，教师参与并给予及时引导，不要直接讲解或让少数学生代替少数学生活动。

过渡语:通过以上的学习讨论我们明白了反比例函数的定义及特征，下面我们进一步来学习本节课的核心知识并用其解决问题

教学点1:反比例函数的定义及判别

形如y?kx（其中，x,y为变量，k为不等于零的常数）的函数叫反比例函数。只要经

过变形符合这个特征就是反比例函数，否则不是。

例1．当m取什么值时，函数y?(m?2)x3?m2是反比例函数？

kx分析：通过学习我们了解反比例函数关系的特征：反比例函数关系式可表示为：y??1（k≠0）的另一种表达式是y?kx（k≠0），后一种写法中x的次数是－1，因此m的取值必须满足两个条件，即m－2≠0且3－m＝－1，特别注意不要遗漏k≠0这一条件，也要防止出现3－m＝1的错误。

解：若函数y?(m?2)x?m?2?0解得m＝－2 ?23?m??1?3?m22

2

是反比例函数,则有

教学结论：判断一个函数是否为反比例函数，要紧紧抓住反比例函数的特征，即两个变量

x,y满足：y?kx,或xy=k或y?kx?1的形式，且比例系数k不等于0。 教学建议：本环节给学生充分的思考时间，先独立完成，后交流展示（可以先小组展示，后课堂展示，提高学生的参与教学的机会），使学生深刻领会反比例函数的概念。

【学点训练】

1.下列关系中,是反比例函数的是: A.y?kx B.y??2x C. y?5x?2 D. y?1x?3

2.下列关系中的两个量，属于反比例函数关系的是： A．面积一定，三角形的一边及这边上的高 B．压强一定时，压力与受力面积 C．读一本书，已读页码与余下页数 D．某人的年龄与身高

3．下列哪些关系式中的y是x的反比例函数？如果是，比例系数是多少？ 22

（1）y＝ x； （2）y＝ ； （3）xy＋2＝0；

33x2

（4）xy＝0； （5）x＝ . 3y

设计意图：进一步熟悉反比例函数的概念特征通过变形可表示为y?及反比例函数的意义 。

答案：1、B 2、A 3、（2）y＝

kx,或xy=k其中k不等于零

2322

；（K=） （3）xy＋2＝0；（K=-2） （5）x＝ (K=). 3x3y32教学点2反比例与反比例函数函数关系式的确定

“比例关系”与“反比例函数”的区别与联系：反比例关系是小学里研究的概念，如果两个量的积是非零常数，这两个量成反比例，这两个量可以是单个字母也可以是代数式，如，y+4与x+3成反比例，则y?4?比例函数y?kxkx?3，显然成反比例不一定是反比例函数关系，而反

（k≠0）中的两个变量x、y一定成反比例关系。

例2．已知y是x的反比例函数，当x?2时，y?6 ⑴写出y与x之间的函数关系式；

⑵求当x?4时，y的值 分析：分析：对于反比例函数，y?kx（k≠0）我们可以通过根据等式的性质，得到k=xy(也

是第二学段学习的反比例的定义),来确定反比例表达式中唯一的待定系数k，

解：(1)由于y是x的反比例函数，则设y?kx，即k=xy

y?12x当x=2,y=6 时有k=2×6=12,所以y与x之间的函数关系式为

（2）当x=4时 y?124

=3

教学建议：本例是一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，此题的目的一是要加深学生对反比例函数概念的理解，掌握求函数解析式的方法；二是让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。

【学点训练】

4．已知y与x成反比例，且当x??2时，y?3，则y与x之间的函数关系式

是 ，当x??3时，y＝

5． 已知y是x的函数，如下表格，你认为y是x的正比例函数还是反比例函数？你能写出函数关系式，并补全表格中的空缺吗？ x y ?3 ?2 1 1 ?123 4 ?14 12

设计意图:一道用待定系数法求反比例函数解析式的题，加深对反比例函数的理解，掌握求函数解析式的方法；二是用表格表示函数关系，若要验证是什么函数关系，可选一对特殊的x、y的对应值，用待定系数法求函数关系式，再进行验证。进一步熟悉反比例函数的特征：x、y的积是定值。让学生进一步体会函数所蕴含的“变化与对应”的思想，特别是函数与自变量之间的单值对应关系。这是是常见较综合的题型，能帮助学生更好地理解正比例与反比例函数的概念。

答案：4、y??6x，y=2;

5、解：①若y是x的正比例函数，则设y?kx. 把x??2,y?所以k??对于y??141412带入得

12??2k， 14x。

，所以y??x，

当x?4时，y??1?4， 显然 y不是x的正比例函数。 ②若y是x的反比例函数，则设y?把x??2,y?所以y??对于y??1x1x12kx.

带入得

12?k?2,所以k??1,

.

,当x?4时,y??14.

1x经验证若y是x的反比例函数,表达式为: y??补全表格为: x y .

?3 13?2 ?1 1 ?1 2 3 ?134 ?14 12 1 ?12

1.下列函数中，是反比例函数的有（ ） （1）y?x3 （2） xy＝21（3） y?5x?2（4） y??32x （5）y?1x?3

A.2个 B. 3个 C. 1个 D.4个 2.已知函数y?m?2xm?32是反比例函数，则m的值为（ ）

A. 2 B. 3 C. -2 D. -3

3.日本2011年3月地震及海啸发生后，由于核污染的影响从4月份起，日本食品出口额逐月降低，由于要进行各环节的检测，食品成本却不断提高，具体数据如下： 月份 食品出口额x（百万元） 4 25 5 30 6 40 7 50

食品成本y（百吨/百万元） 3.6 3 2.25 1.8 请你认真分析表中的数据，找出可以表示变化规律的表达式为

A. y?90x(x?0) B. y?90x180x(x?0) (x?0)

C. y?180x(x?0) D. y? 4. 已知若y是x的反比例函数，当x?8时，y?2，则y与x的函数关系为 5.写出下列问题中两个变量之间的反比例函数关系式，并指出比例系数k的值。 （1） 已知反比例函数y?kx的图像经过（

23，-2）.

(2) 某村有耕地面积200公顷,人均占有耕地的面积y(公顷)随人口数量x(人)的变化而变化；（不考虑x的取值范围）

6.（选做）已知函数y?y1?y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x?1时，；当x?2时，y?5

⑴求y与x的函数关系式

⑵当x??2时，求函数y的值

y?4教学建议:本当堂设计是对本堂课核心知识的进一步巩固和反馈，可以了解学生对知识的掌握情况。时间10分钟，1---5必做，6选做，根据教学情况可以当堂订正，根据学生的解答情况及时查漏补缺。???????????. 答案：1、A 2、C 3、B 4、y?16x 5、(1)y??k2x43x,k??43;(2)y?k2x200x

6、解：由题意：设y1?k1x（k1?0），y2?得k1?2，

k2?2（k2?0），则y?k1x?，代入数值求

，则y?2x?2x，当x??2时，y??5

注：此题函数y是由y1和y2两个函数组成的，要用待定系数法来解答，先根据题意分别设出y1、y2与x的函数关系式，再代入数值，通过解方程或方程组求出比例系数的值。这里要注意y1与x和y2与x的函数关系中的比例系数不一定相同，故不能都设为k，要用不同的字母表示。

课后反思：这节课你学到了什么？还有那些困惑？

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