漆安慎 杜禅英 力学习题及答案06章

第6章 万有引力定律 61 第6章 万有引力定律

第六章万有引力定律 一、基本知识小结

⒈ 开普勒定律

⑴ 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上 ⑵ 行星位矢在相等时间内扫过相等面积

⑶ 行星周期平方与半长轴立方成正比 T2/a3=C ⒉ 万有引力定律 f?GMmr2 ⒊ 引力势能 EMmp(r)??Gr

⒋ 三个宇宙速度 环绕速度 V1?Rg?7.9km/s 脱离速度 V2?2V1= 11.2 km/s

逃逸速度 V3 = 16.7 km/s.

二、思考题解答

6.1卡文迪什在1798年17卷《哲学学报》发表他关于引力常测量时，提到他实验是为测定出地球的密度。试为什么测出G，就能测出地球的密度？

答：设地面物体质量为m,地球质量为M，地球半径为R 则二者之间的万有引力约为：

由上式可以看出R，g都是可测量量，只要测出G，就能通过上间接测出地球密度。

6.2你有什么办法用至少那些可测量量求出地球质量、太阳质量、及地球太阳之间的距离？

答：1）地球质量：设地面物体质量为m,地球质量为M，地球半径为R

则二者之间的万有引力约为：

因此，只要测出了地球半径R，就能求出地球质量M。 2）地球太阳之间的距离: 设地球绕太阳运动的周期为,轨道半径为,太阳系的另一行星(离地球越近越好)的周期为

,轨道半径为

,根据开普勒第三定

律有:,即

,由于人类早就对行星进行长期

观测了,

,

为已知,只需测出另一行星的轨道半径（这一距离需

用视差法测量，需两个以上的天文台同时测量）,便可知地球太阳之间的距离r。

3）太阳的质量：

设太阳质量为M，地球质量为m，地球太阳之间的距离r，则二者之间的万有引力约为：

，

因此只需测得地球太阳之间的距离r，

就可求出太阳质量为M。

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三、习题解答

6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为t?T2?

证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：

2a?v?(2?R)2?1?4?2R/T2RTR 由自由落体公式：R?122at,t?2R/a?T2?

（此题原来答案是：t?T42，这里的更正与解答仅供参考）

6.2.1 土星质量为5.7×1026kg，太阳质量为2.0×1030kg，两者的平均距离是1.4×1012m.⑴太阳对土星的引力有多大？⑵设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。

解：⑴据万有引力定律，太阳与土星之间的引力

f =GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012)2 ≈3.8×1022N

⑵选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2/r

v?fr/m?3.8?1022?1.4?012/5.7?1026?9.7?103m/s

6.2.3 ⑴一个球形物体以角速度ω转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。⑵如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（≈2×1030kg或3×105Me，Me为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是

多少？⑶若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2×1017kg/m3.

解：⑴设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元Δm,它所受到的离心惯性力最大 f*=Δmω2R，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力,即 GmΔm/R2=Δmω2R ∴ m=ω2R3/G ，而 m=4πR3ρ/3，代如上式，可求得，??3?24?G

脉冲星的最小密度??3?(30?2?)24??6.51?10?11?1.3?1014kg/m3

⑵据密度公式，m =ρV=4πR3ρ/3 ,∴R3=3m/(4πρ)

R?33?2?1030/(4?3.14?1.3?1014)?1.5?102km

⑶R?33?2?1030/(4?3.14?1.2?1017)?16km

6.2.4 距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。

解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m'；太阳距银河系中心的距离为r=2.5×104光年=2.5×104×365×24×60光分=1.31×106光分，绕银河系中心公转角速度为ω=10-8×2π/1.7年；地球距太阳的距离为r'=8光分，绕太阳公转角速度为ω'=2π/年

分别对地球和太阳应用万有引力定律和牛顿第二定律： Gmm'/ r' 2 = m'ω'2 r' （1） GMm / r2 = mω2 r (2) 由（1）可得G=ω'2 r'3/m，代入（2）中，可求得

M?(?2r32?11.31?103')(r')m?(1.7?108)(68)m?1.53?1011m

6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点的

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速度为80km/s。若地球在半径为1.5×108km圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。

解：角动量守恒mv1a?mv2b ⑴ 能量守恒

12Mm2mv1?G12Mma?2mv2?Gb ⑵

牛二定律 GMm'?m'v2R2R ⑶

⑴,⑵,⑶联立，解得 a = 3×108 km

6.2.6 一匀质细杆长L，质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。

解：选图示坐标0-x,单位质 x dx o 量质点在坐标原点处，在杆上取

质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对 L d 原点处质点的引力为：df?Gdm?1GMdxx2?Lx2,由于各质元对质点的引

力方向均沿x轴正向，∴杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为

f?GMd?LdL?dx?2dx?GM1Lx|?GM(1?1d?LLdd?L)?GMd(d?L)

6.2.7半径为R的细半圆环线密度为λ，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度）

解：由对称性分析可知，引力场强度

y 的x分量等于零。 R Rdθ

质元dm=λRdθ所受引力的y分量为θ ?dmx

dfy??G1R2sin???G?Rsin?d? ?fG?G??y??R?sin?d??cos?|00R ??2G?/R

6.3.1 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上

的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。

解： 设行星半径为R，质量为M，粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v，在无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律有

12mv2?GMmR?0 即 v2?2GM/R ⑴

以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和

极点上的加速度分别为a1和a2。

粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二

定律有 GMmV2R2?mR?ma21即GM?RV?a1R2 ⑵ 粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有

GMmR2?ma2即GM?a2R2 ⑶ 已知 a2?2a1 ⑷

由⑵、⑶、⑷可求得 GM/R?2V2 代入⑴中，得

v2?4V2?v?2V

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6.3.2 已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2，围绕地球的大圆周长为4×107m，月球与地球的直径及质量之比分别是

Dm/De?0.27和Mm/Me?0.0123.试计算从月球表面逃离月球

引力场所必需的最小速度。

解： 设质点m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有

12mv2?GMmmR?0?v2?2GMm/Rm ⑴ m将 Mm=0.0123Me，Rm=0.27Re 代入⑴中，有

v2?0.091GMe/Re ⑵

由牛二定律 GM2em/Re?mg,?GMe/Re?Reg 代入⑵中，有 v2?0.091Reg

?v?0.091?9.8?4?107/2??2.38(ms?1)

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