天体运动

第5课时 万有引力定律与天体运动

导学目标 1.掌握万有引力定律的内容、公式及适用条件.2.学会用万有引力定律解决天体运动问题．

一、开普勒三定律 [知识梳理]

1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在椭圆的一个________上．

2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相同的时间内扫过相等的________．

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的________________的比值都

a3

相等，即2＝k.

T

思考：开普勒第三定律中的k值有什么特点？ 二、万有引力定律 [基础导引]

根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在

地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高山上的重力加速度比地面的小？ [知识梳理] 1．内容

自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与________________________________成正比，与它们之间____________________成反比． 2．公式

____________，通常取G＝____________ N·m2/kg2，G是比例系数，叫引力常量． 3．适用条件

公式适用于________间的相互作用．当两物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；均匀的球体可视为质点，r是__________间的距离；对一个均匀球体与球外一个质点的万有引力的求解也适用，其中r为球心到________间的距离．

考点一 天体产生的重力加速度问题 考点解读

星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法：

MmGM

设天体表面的重力加速度为g，天体半径为R，则mg＝G2，即g＝2(或GM＝gR2)

RR

MmGMR2

若物体距星体表面高度为h，则重力mg′＝G，即g′＝＝g.

(R＋h)2(R＋h)2(R＋h)2

1

典例剖析

例1 某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则星球的平均密度是多少？

跟踪训练1 1990年5月，紫金山天文台将他们发现的第2 752号小行星命名为吴健雄星，该小行星的半径为16 km.若将此小行星和地球均看成质量分布均匀的球体，小行星密度与地球相同．已知地球半径R＝6 400 km，地球表面重力加速度为g.这个小行星表面的重力加速度为 ( )

11

A．400g B.g C．20g D.g

40020考点二 天体质量和密度的计算 考点解读

1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2MM3g由于G2＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

RGV434πGR

πR32．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r.

Mm4π24π2r3

(1)由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝2；

rTGT

3

MM3πr

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝23；

V43GTR

πR3

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，

3π

则天体密度ρ＝2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天

GT体的密度．

Mm

特别提醒 不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg＝G2.从而得出GM＝gR2(通

R常称为黄金代换)，其中M为该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重力加速度． 典例剖析

例2 天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，引力常量G＝6.67×10

11

－

N·m2/kg2，由此估算该行星的平均密度约为 ( )

A．1.8×103 kg/m3 B．5.6×103 kg/m3 C．1.1×104 kg/m3 D．2.9×104 kg/m3

跟踪训练2 为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射了第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出 ( ) A．火星的密度和火星表面的重力加速度 B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C．火星的半径和“萤火一号”的质量

2

D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力

3.双星模型

例3 宇宙中两颗相距较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动而不至因万有引力的作用吸引到一起．

(1)试证明它们的轨道半径之比、线速度之比都等于质量的反比．

(2)设两者的质量分别为m1和m2，两者相距L，试写出它们角速度的表达式． 建模感悟

1．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的向心力来源

双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，利用万有引力定律可以求得其大小．

2．要明确双星中两颗子星做匀速圆周运动的运动参量的关系

两子星绕着连线上的一点做匀速圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比． 3．要明确两子星做匀速圆周运动的动力学关系

设两子星的质量分别为M1和M2，相距L，M1和M2的线速度分别为v1和v2，角速度分别为ω1和ω2，由万有引力定律和牛顿第二定律得：

2v1M1M2M1：G2＝M1＝M1r1ω21 Lr1

2v2M1M2M2：G2＝M2＝M2r2ω22 Lr2

在这里要特别注意的是在求两子星间的万有引力时两子星间的距离不能代成了两子星做圆周运动的轨道半径．

跟踪训练3 宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行．设每个星体的质量均为m.

(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．

(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？

A组 开普勒定律的应用

1．(2010·新课标全国·20)太阳系中的8大行星的轨道均可以近似看成圆轨道．下列4幅图是用来描述这些行星运动所遵从的某一规律的图象．图中坐标系的横轴是lg(T/T0)，纵轴是lg(R/R0)；这里T和R分别是行星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径，T0和R0分别

3

是水星绕太阳运行的周期和相应的圆轨道半径．下列4幅图中正确的是 ( )

2．(2011·安徽·22)(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a

a3

的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即2＝k，k是一个对所有行星都相同的常

T量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．

(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定月地距离为3.84×108 m，月球绕地球运动的周期为2.36×106 s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10

B组 万有引力定律在天体运动中的应用

3．一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上，已知万有引力常量为G，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为 ( )

4π3A. B. 3Gρ4πGρ3ππC. D. GρGρ4．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍．一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N，由此可推知，该行星的半径与地球半径之比约为 ( ) A．0.5 B．2 C．3.2 D．4

5．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L.若抛出时初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L.已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常量为G.求该星球的质量M.

－11

N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)

4

课时规范训练

(限时：30分钟) m1m21．对万有引力定律的表达式F＝G2，下列说法正确的是 ( )

rA．公式中G为常量，没有单位，是人为规定的 B．r趋向于零时，万有引力趋近于无穷大

C．两物体之间的万有引力总是大小相等，与m1、m2是否相等无关 D．两个物体间的万有引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力

2．最近，科学家通过望远镜看到太阳系外某一恒星有一行星，并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年，它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍．假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周，仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A．恒星质量与太阳质量之比 B．恒星密度与太阳密度之比 C．行星质量与地球质量之比

D．行星运行速度与地球公转速度之比

3．两个大小相同的实心小铁球紧靠在一起时，它们之间的万有引力为F.若两个半径为实心小铁球半径2倍的实心大铁球紧靠在一起，则它们之间的万有引力为 ( ) A．2F B．4F C．8F D．16F 4．如图1所示，A和B两行星绕同一恒星C做圆周运动，旋转方向相 同，A行星的周期为T1，B行星的周期为T2，某一时刻两行星相距最 近，则 ( ) A．经过T1＋T2两行星再次相距最近

T1T2B．经过两行星再次相距最近

T2－T1T1＋T2

C．经过两行星相距最远

2T1T2D．经过两行星相距最远

T2－T1

图1

5．原香港中文大学校长、被誉为“光纤之父”的华裔科学家高锟和另外两名美国科学家共同分享了2009年度的诺贝尔物理学奖．早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设“高

11

锟星”为均匀的球体，其质量为地球质量的，半径为地球半径的，则“高锟星”表面

kq的重力加速度是地球表面的重力加速度的 ( )

qkq2k2A. B. C. D. kqkq

11

6．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重

102

力加速度约为 ( ) A．0.2g B．0.4g C．2.5g D．5g

5

图2

7．一物体从一行星表面某高度处自由下落(不计阻力)．自开始下落计时，得到物体离行星表面高度h随时间t变化的图象如图2所示，则根据题设条件可以计算出 ( ) A．行星表面重力加速度的大小 B．行星的质量

C．物体落到行星表面时速度的大小 D．物体受到行星引力的大小

8．(2009·浙江·19)在讨论地球潮汐成因时，地球绕太阳运行轨道与月球绕地球运行轨道可视为圆轨道．已知太阳质量约为月球质量的2.7×107倍，地球绕太阳运行的轨道半径约为月球绕地球运行的轨道半径的400倍．关于太阳和月球对地球上相同质量海水的引力，以下说法正确的是 ( ) A．太阳引力远大于月球引力 B．太阳引力与月球引力相差不大 C．月球对不同区域海水的吸引力大小相等 D．月球对不同区域海水的吸引力大小有差异

9．如图3所示，P、Q为质量均为m的两个质点，分别置于地球表面同纬度上，如果把地球看成是一个均匀球体，P、Q两质点随地球自 转做匀速圆周运动，则以下说法中正确的是 ( ) A．P、Q做圆周运动的向心力大小相等 B．P、Q受地球重力相等

C．P、Q做圆周运动的角速度大小相等 D．P、Q做圆周运动的周期相等

10．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群．可测出环

中各层的线速度v与该层到土星中心的距离R之间的关系．下列判断正确的是( ) A．若v与R成正比，则环为连续物 B．若v2与R成正比，则环为小卫星群 C．若v与R成反比，则环为连续物 D．若v2与R成反比，则环为小卫星群

图3

不

6

第6课时 卫星与航天

导学目标 1.理解三个宇宙速度，会推导第一宇宙速度.2.掌握卫星的线速度、角速度、周期与半径的关系，并能在具体问题中应用．

一、宇宙速度 [基础导引]

试推导地球的第一宇宙速度．已知地球半径为6 400 km，地球质量为5.98×1024 kg，万有引力常量为6.67×10[知识梳理] 三种宇宙速度 宇宙速度 第一宇 宙速度 第二宇 宙速度 第三宇 宙速度 数值(km/s) 7.9 11.2 意义 卫星绕地球做圆周运动的最小发射速度．若7.9 km/s≤v<11.2 km/s，物体绕______运行(环绕速度) 物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度．若11.2 km/s≤v<16.7 km/s，物体绕____运行(脱离速度) 物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．若16.7 v≥16.7 km/s，物体将脱离________在宇宙空间运行(逃逸速度) －11

N·m2/kg2.

思考：三种宇宙速度是环绕速度还是发射速度？发射卫星的最小速度是多大？卫星绕地球运行的最大速度为多大？ 二、人造卫星 [基础导引]

已知地球的半径为R，质量为M，万有引力常量为G，试求出轨道半径为r的卫星的线速度、角速度和周期的表达式． [知识梳理]

1．人造卫星的动力学特征

v2Mm2π

万有引力提供向心力，即G2＝m＝mrω2＝m()2r.

rrT

(1)线速度v：v＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小． (2)角速度ω：ω＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小． (3)周期T：T＝ ____________，随着轨道半径的增大，卫星的周期增大． 特别提醒 (1)卫星绕地球运行的最小周期约为85分钟．

(2)人造地球卫星绕地球运行时，处于失重状态，并不是不受重力作用，是因为重力完全用来提供卫星做圆周运动的向心力．

2．人造卫星的运动学特征

7

考点一 同步卫星 考点解读

同步卫星的五个“一定”

1．轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面． 2．周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h. 3．角速度一定：与地球自转的角速度相同．

3GMT2Mm4π2

4．高度一定：由G＝m2(R＋h)得同步卫星离地面的高度h＝ －R.

T4π2(R＋h)2GM

5．速率一定：v＝ . R＋h典例剖析

例1 如图1所示，地球赤道上的山丘e，近地资源卫星p和同步通信 卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q的圆周 运动速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则

( )

A. v1>v2>v3 B. v1a2>a3 D. a1

图1

跟踪训练1 地球“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行，其离地高度为同步卫星离地高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．关于该“空间站”说法正确的有 ( ) A．运行的加速度一定等于其所在高度处的重力加速度 B．运行的速度等于同步卫星运行速度的10倍 C．站在地球赤道上的人观察到它向东运动

D．在“空间站”工作的宇航员因受力平衡而在其中悬浮或静止 考点二 卫星变轨问题 考点解读

卫星运行中的稳态与变态问题

在卫星运行问题中，卫星能够做匀速圆周运动的状态称为稳态，此时满足F向＝F万，结合向心力公式即可判定卫星的线速度、角速度、周期的大小比较问题．卫星从一个稳定轨道变到另一稳定轨道，称为变态，即变轨问题，此过程不满足F向＝F万，应结合离心运动和近心运动的知识以及能量守恒定律去解决．当卫星速度减小时F向

例2 某人造地球卫星因受高空稀薄空气的阻力作用，绕地球运转的轨道会慢慢改变，某次测量卫星的轨道半径为r1，后来变为r2(r2

8

能，T1、T2表示卫星在这两个轨道上的运行周期，则 ( ) A．Ek2T1 C．Ek2>Ek1，T2Ek1，T2>T1

跟踪训练2 2011年下半年，我国发射了“天宫一号”目标飞行器，随后 发射神舟八号飞船与之进行第一次无人交会对接．对接前“天宫一 号”和“神舟八号”绕地球做匀速圆周运动的位置如图2所示，A代表 “天宫一号”，B代表“神舟八号”，虚线为各自的轨道．由此可以判 定 ( ) A．“天宫一号”发射速度应大于第二宇宙速度 B．“天宫一号”的运行速度大于第一宇宙速度 C．“天宫一号”的周期大于“神舟八号”的周期 D．“神舟八号”减速后有可能与“天宫一号”实现对接 典例剖析

例3 星球上的物体脱离星球引力所需的最小速度称为该星球的第二宇宙速度．星球的第二宇宙速度v2与其第一宇宙速度v1的关系是v2＝2v1.已知某星球的半径为r，表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的1/6，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为

1

gr C. 6

11gr D.gr 33

( ) 图2

A.gr B.

跟踪训练3 2011年4月10日4时47分，我国在西昌卫星发射中心用“长征三号甲”运载火箭，成功将第八颗北斗导航卫星送入太空轨道．“北斗”卫星导航定位系统将由5颗静止轨道卫星和30颗非静止轨道卫星组成(如图3所示),30颗非静止轨道卫星中有27颗是中轨道卫星，中轨道卫星平均分布在倾角55度的三个平面

图3

上，轨道高度约为21 500公里，静止轨道卫星的高度约为36 000 279公里，地球半径约为6 400公里．已知()3≈0.53，下列关于北斗导航卫星的说法正

424确的是 ( ) A．静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星大

B．静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度 C．中轨道卫星的周期约为12.7 h

D．地球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星大

8.混淆同步卫星、近地卫星、地

球赤道上物体运动的特点

例4 如图4所示，同步卫星与地心的距离为r，运行速率为 v1，向心加速度为a1；地球赤道上的物体随地球自转的向心 加速度为a2，第一宇宙速度为v2，地球半径为R，则下列比

9

值正确的是 ( ) a1ra1RA.＝ B.＝()2 a2Ra2rv1rv1RC.＝ D.＝ v2Rv2r

图4

跟踪训练4 近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则 ( ) g1T1g1T2A.＝()4/3 B.＝()4/3 g2T2g2T1g1T1g1T2C＝()2 D.＝()2 g2T2g2T19．不理解发射速度与运行速度的关系

例5 人造地球卫星可以绕地球做匀速圆周运动，也可以沿椭圆轨道绕地球运动．对于沿椭圆轨道绕地球运动的卫星，以下说法正确的是 ( ) A．近地点速度一定等于7.9 km/s B．远地点速度一定小于7.9 km/s C．发射此卫星的速度一定大于7.9 km/s D．近地点速度一定小于7.9 km/s

跟踪训练5 2010年10月26日21时27分，北京航天飞行控制中 心对“嫦娥二号”卫星实施了降轨控制，约18分钟后，卫星 成功进入了远月点100公里、近月点15公里的试验轨道，为 在月球虹湾区拍摄图像做好准备．如图5为“嫦娥二号”某 A．“嫦娥二号”在轨道1的A点处应点火加速

B．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的速度比在轨道2的A点处的速度大 C．“嫦娥二号”在轨道1的A点处的加速度比在轨道2的A点处的加速度大 D．“嫦娥二号”在轨道1的B点处的机械能比在轨道2的C点处的机械能大

图5 次在近地点A由轨道1变轨为轨道2的示意图，下列说法中正确的是 ( )

A组 卫星运动参量与半径的关系

1. 2010年10月1日我国成功发射“嫦娥二号”绕月卫星，绕月 运行高度为100公里.2007年10月24日发射的“嫦娥一号” 绕月运行高度为200公里，如图6所示．“嫦娥二号”卫星与 “嫦娥一号”卫星绕月运行相比，下列判断正确的是 ( ) A．周期小，线速度大 B．周期大，加速度小 C．线速度大，加速度小 D．角速度大，线速度大

图6

2．组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速率，如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动，由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且分布均匀的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的

10

是

( )

A．T＝2π C．T＝

B组 卫星变轨问题

3．2010年10月1日，“嫦娥二号”在四川西昌发射成功， 10月6日实施第一次近月制动，进入周期约为12 h的椭圆 环月轨道；10月8日实施第二次近月制动，进入周期约为 3.5h的椭圆环月轨道；10月9日实施第三次近月制动，进 入轨道高度约为100 km的圆形环月工作轨道．实施近月制 动的位置都是在相应的近月点P，如图7所示．则“嫦娥 二号” ( ) A．从不同轨道经过P点时，速度大小相同

B．从不同轨道经过P点(不制动)时，加速度大小相同 C．在两条椭圆环月轨道上运行时，机械能不同

D．在椭圆环月轨道上运行的过程中受到月球的万有引力大小不变 4． 我国“嫦娥二号”探月卫星于2010年10月成功发射．在“嫦

娥二号”卫星奔月过程中，在月球上空有一次变轨过程，是 由椭圆轨道A变为近月圆形轨道B，A、B两轨道相切于P点，

图8

如图8所示．探月卫星先后沿A、B轨道运动经过P点时，下列说法正确的是( ) A．卫星运行的速度vA＝vB B．卫星受月球的引力FA＝FB C．卫星的加速度aA>aB D．卫星的动能EkA

5.“嫦娥二号”卫星已成功发射，这次发射后卫星直接进入近地 点高度200公里、远地点高度约38万公里的地月转移轨道直接 奔月，当卫星到达月球附近的特定位置时，卫星就必须“急刹 车”，也就是近月制动，以确保卫星既能被月球准确捕获，又

图9

不会撞上月球，并由此进入近月点100公里、周期12小时的椭圆轨道a.再经过两次轨道调整，进入100公里的近月圆轨道b，轨道a和b相切于P点，如图9所示，下列说法正确的是 ( ) A．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于7.9 km/s，小于11.2 km/s B．“嫦娥二号”卫星的发射速度大于11.2 km/s

C．“嫦娥二号”卫星在轨道a、b上经过P点的速度va＝vb

D．“嫦娥二号”卫星在轨道a、b上经过P点的加速度分别为aa、ab，则aa＝ab

11

R B．T＝2π GM

π D．T＝ Gρ

33R GM3π Gρ

3图7

课时规范训练

(限时：30分钟)

一、选择题

1．我国于2010年10月1日成功发射了月球探测卫星“嫦娥二 号”CE－2，CE－2在椭圆轨道近月点Q完成近月拍摄任务后， 到达椭圆轨道的远月点P变轨成圆形轨道，如图1所示．忽略地 球对CE－2的影响，则CE－2 ( ) A．在由椭圆轨道变成圆轨道过程中机械能不变 B．在由椭圆轨道变成圆轨道过程中线速度增大 C．在Q点的线速度比沿圆轨道运动的线速度大 D．在Q点的加速度比沿圆轨道运动的加速度大

2．据媒体报道，嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道，轨道高度200 km，运行周期127分钟．若还知道引力常量和月球平均半径，仅利用以上条件不能求出的是 ( ) A．月球表面的重力加速度 B．月球对卫星的吸引力 C．卫星绕月运行的速度 D．卫星绕月运行的加速度

3．(2009·重庆理综)据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km) ( ) 19191818A. B. C. D. 181819194．如图2所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球沿椭圆轨运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道 的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同，相对于地心，下列 说法中正确的是 ( ) A．物体A和卫星C具有相同大小的线速度 B．物体A和卫星C具有相同大小的加速度

C．卫星B在P点的加速度与卫星C在该点的加速度一定相同 D．卫星B在P点的线速度与卫星C在该点的线速度一定相同

5．全球定位系统(GPS)有24颗卫星分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速度约为 ( ) A．3.1 km/s B．3.9 km/s C．7.9 km/s D．11.2 km/s

6．2010年12月18日凌晨4时20分，以“金牌火箭”著称的“长征 三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心点火升空．火箭飞行832.1秒 后，成功将第七颗北斗导航卫星送入太空预定转移轨道，圆满完 成任务．本次发射的第七颗北斗导航卫星是我国今年连续发射的

12

图1

道

图2

图3

第五颗北斗导航系统组网卫星，卫星的转移轨道为一椭圆，如图3

所示，地球的球心位于该椭圆的一个焦点上，A、B两点分别是卫星转移轨道上 的近地点和远地点．若A点在地面附近，且卫星所受阻力可以忽略不计，则( ) A．运动到B点时其速率可能等于7.9 km/s B．运动到A点时其速率一定大于7.9 km/s

C．若要卫星在B点所在的高度同步轨道做匀速圆周运动，需在B点加速 D．若要卫星在B点所在的高度同步轨道做匀速圆周运动，需在A点加速

7．北斗卫星导航系统第三颗组网卫星(简称“三号卫星”)的工作轨道为地球同步轨道，设地球半径为R，“三号卫星”的离地高度为h，则关于地球赤道上静止的物体、地球近地环绕卫星和“三号卫星”的有关物理量下列说法中正确的是 ( )

v1R＋h

A．赤道上物体与“三号卫星”的线速度之比为＝

v3Rω2R＋h2

B．近地卫星与“三号卫星”的角速度之比为＝()

ω3RT2R3

C．近地卫星与“三号卫星”的周期之比为＝ ()

T3R＋h

a1R＋h2

D．赤道上物体与“三号卫星”的向心加速度之比为＝()

a3R二、非选择题

8．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．

(1)求卫星环绕地球运行的第一宇宙速度v1；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动且运行周期为T，求卫星运行半径r；

(3)由题目所给条件，请提出一种估算地球平均密度的方法，并推导出密度表达式．

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高考热点探究

一、平抛运动

1．(2011·广东·17)如图1所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上．已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列叙述正确的是 ( )

图1

A．球被击出时的速度v等于L B．球从击出至落地所用时间为

g 2H2H g

C．球从击球点至落地点的位移等于L

D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关

2．(2011·海南·15)如图2，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆， ab为沿水平方向的直径．若在a点以初速度v0沿ab方向抛出一小 球，小球会击中坑壁上的c点．已知c点与水平地面的距离为圆半 径的一半，求圆的半径．

二、开普勒定律

3．(2010·山东理综·18)1970年4月24日，我国自行设计、制造的第一 颗人造地球卫星“东方红一号”发射成功，开创了我国航天事业的 新纪元．“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，如图3所示．其 近地点M和远地点N的高度分别为439 km和2 384 km，则 ( ) A．卫星在M点的势能大于N点的势能 B．卫星在M点的角速度大于N点的角速度 C．卫星在M点的加速度大于N点的加速度 D．卫星在N点的速度大于7.9 km/s

4．(2011·海南·12)2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多颗地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1∶R2＝________，a1∶a2＝________.(可用根式表示)

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图2

图3

三、万有引力在天体、卫星运动中的应用

5．(2011·山东卷·17)甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道．以下判断正确的是 ( ) A．甲的周期大于乙的周期 B．乙的速度大于第一宇宙速度 C．甲的向心加速度小于乙的向心加速度 D．甲在运行时能经过北极的正上方

6．(2011·课标全国·19)卫星电话信号需要通过地球同步卫星传送．如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于(可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×105 km，运行周期约为27天，地球半径约为6 400 km，无线电信号的传播速度为3×108 m/s.) ( ) A．0.1 s B．0.25 s C．0.5 s D．1 s

1．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运

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动所必须具有2Rh tRh 2t

的速率为

( ) 2RhA. B.

tRhC. D.t

2．如图5所示，一长为2L的木板，倾斜放置，倾角为45°，今有一弹 性小球，自与木板上端等高的某处自由释放，小球落到木板上反弹 时，速度大小不变，碰撞前后，速度方向与木板夹角相等，欲使小 球一次碰撞后恰好落到木板下端，则小球释放点距木板上端的水平 距离为 ( )

1111A.L B.L C.L D.L 23453．2011年1月11日12时50分，歼20在成都实现首飞，历时18 分钟，这标志着我国隐形战斗机的研制工作掀开了新的一 页．如图6所示，隐形战斗机在竖直平面内作横8字形飞行表 演，飞行轨迹为1→2→3→4→5→6→1，如果飞行员体重为G，

图6 飞行圆周半径为R，速率恒为v，在A、B、C、D四个位置上，飞机座椅和保险带对飞 行员的作用力分别为FNA、FNB、FNC、FND，关于这四个力的大小关系正确的是( ) A．FNA＝FNBFNC＝FND C．FNC>FNA＝FNB>FND D．FND>FNA＝FNB＝FNC 4．若各国的人造地球卫星都在高度不同的轨道上做匀速圆周运动，设地球的质量为M，地球的半径为R地．则下述判断正确的是 ( ) A．各国发射的所有人造地球卫星在轨道上做匀速圆周运动的运行速度都不超过vm＝

GM/R地

B．各国发射的所有人造地球卫星在轨道上做匀速圆周运动的运行周期都不超过Tm＝2πR

地

图5

R地/GM

C．卫星在轨道上做匀速圆周运动的圆心必定与地心重合 D．地球同步卫星可相对地面静止在北京的正上空

5．在水平地面上匀速行驶的拖拉机，前轮直径为0.8 m，后轮直径 为1.25 m，两轮的轴水平距离为2 m，如图7所示，在行驶的 过程中，从前轮边缘的最高点A处水平飞出一小块石子，0.2 s

图后从后轮的边缘的最高点B处也水平飞出一小块石子，这两块石子先后落到 7 地面上同一处，g取10 m/s2，求拖拉机行驶速度的大小．

6．中国第一颗探月卫星“嫦娥一号”在西昌卫星发射中心成功升空，18时29分“嫦娥一号”离开托举它的长征三号甲运载火箭，进入近地点205 km，远地点50 930 km的超地球同步轨道，开始了100万千米的奔月之旅．

(1)用g表示月球表面的重力加速度，用R月表示月球的半径，用h表示“嫦娥一号”卫星在环月圆轨道上离月球表面的距离，试写出卫星进入环月圆轨道后，运行的周期的表达式，要求写出推导过程．

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(2)在月球上要发射一颗环月卫星，则最小发射速度多大？(设月球半径约为地球半径的1/4，月球的质量约为地球质量的1/81，不考虑月球自转的影响，地表处的重力加速度g取10 m/s2，地球半径R地＝6 400 km，2＝1.4，计算结果保留两位有效数字)

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