中考复习专题5：数量和位置变化

专题5：数量和位置变化

一、选择题

1. （2012江苏南通3分）线段MN在直角坐标系中的位置如图所示，线段M1N1与MN关于y轴对称，

则点M的对应的点M1的坐标为【 】

A．(4，2) B．(－4，2) C．(－4，－2) D．(4，－2) 【答案】D。

【考点】平面坐标系与坐标，关于y轴对称的点的坐标特征。

【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点M(－4，－2)关于y轴对称的点M1的坐标是(4，－2)。故选D。

2. （2012江苏苏州3分）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点

B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x轴上．若正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，

B1C1∥B2C2∥B3C3，则点A3到x轴的距离是【 】

yB1A1A2D1B2B3A3OC1E1E2C2E3E4C3x

A.

3+3错误！未找到引用源。 B. 错误！未找到引用源。 18C. 错误！未找到引用源。 D.错误！未找到引用源。 【答案】D。

- 1 -

【考点】正方形的性质，平行的性质，三角形内角和定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】过小正方形的一个顶点W作FQ⊥x轴于点Q，过点A3F⊥FQ于点F，

∵正方形A1B1C1D1的边长为1，

∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，

∴∠B3C3 E4=60°，∠D1C1E1=30°，

∠E2B2C2=30°。

11D1C1=。 221∴D1E1=B2E2=。

2∴D1E1=∴cos30??B2E213。 ??B2C22B2C223。 3解得：B2C2=∴B3E4=BE11333。∴cos30??34?，解得：B3C3=。∴WC3=。 ?6B3C36B3C3233根据题意得出：∠WC3 Q=30°，∠C3 WQ=60°，∠A3 WF=30°，

133111=∴WQ=?=，FW=WA3?cos30°=?。 326236133+1=∴点A3到x轴的距离为：FW+WQ=+。故选D。 6663. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，点（3，－2）关于原点对称点的坐标是【 】 A.（3，2） 【答案】C。

【考点】关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点（3，－2）关于原点对称的点的坐标是（－3，2）。故选C。

4. （2012江苏宿迁3分）在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再

向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】 A.（－2，3） 【答案】D。

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B.（3，－2） C.（－3，2） D.（－3，－2）

B.（－1，4） C.（1，4） D.（4，3）

【考点】坐标平移。

【分析】根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加。上下平移只改变点的纵坐标，下减上加。因此，将抛物线y=2x2 - 4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，其顶点也同样变换。

∵y?2x2? 4x?3?2?x?1?+1的顶点坐标是（1，1），

∴点（1，1）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得点（4，3），即经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（4，3）。故选D。

5. （2012江苏扬州3分）将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是【 】

A．y＝(x＋2)2＋2 B．y＝(x＋2)2－2 C．y＝(x－2)2＋2 D．y＝(x－2)2－2 【答案】B。

【考点】二次函数图象与平移变换。

【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答：

将抛物线y＝x2＋1先向左平移2个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x＋2)2

＋1；

将抛物线y＝(x＋2)2＋1先向下平移3个单位所得抛物线的函数关系式是：y＝(x

＋2)2＋1－3，即y＝(x＋2)2－2。故选B。 二、填空题

1. （2012江苏常州2分）已知点P（－3，1），则点P关于y轴的对称点的坐标是 ▲ ，点P关于原点O的对称点的坐标是 ▲ 。 【答案】（3，1），（3，－1）。

【考点】关于y轴对称的点的坐标特征，关于原点对称的点的坐标特征。

【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数，从而点P（－3，1）关于y轴对称的点的坐标是（3，1）。

关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点P（－3，1）关于原

点对称的点的坐标是（3，－1）。

2. （2012江苏常州2分）已知函数y=x?2，则自变量x的取值范围是 ▲ ；若分式

2x?3的值为0，则x= ▲ 。 x+1【答案】x?2；x??1。

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【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，因此，

根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使x?2在实数范围内有意义，

必须x?2?0?x?2。

根据分式分母不为0的条件，要使

x+1?0?x??1。

x?3在实数范围内有意义，必须x+13. （2012江苏南京2分）已知下列函数 ①y?x2 ②y??x2 ③y??x?1??2，其中，图象通过平移可以得到函数y?x2?2x?3的图像的有 ▲ （填写所有正确选项的序号）

24. （2012江苏南京2分）在平面直角坐标系中，规定把一个三角形先沿x轴翻折，再向右平移两个单位称为一次变换，如图，已知等边三角形ABC的顶点B、C的坐标分别是，（-1，-1），（-3，-1），把三角形ABC经过连续9次这样的变换得到三角形A’B’C’，则点A的对应点A’的坐标是 ▲

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【答案】（16，1+3）。

【考点】分类归纳（图形的变化类），翻折变换（折叠问题），坐标与图形性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】先由△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1），求得点A的坐标；再寻找规律，求出点A的对应点A′的坐标： 如图，作BC的中垂线交BC于点D，则

∵△ABC是等边三角形，点B、C的坐标分别是（－1，1）、（－3，－1）， ∴BD=1，AD?BD?tan600?3。∴A（—2，?1?3）。

根据题意，可得规律：第n次变换后的点A的对应点的坐标：当n为奇数时为（2n－2，1+3），当n为偶数时为（2n－2，?1?3 ）。

∴把△ABC经过连续9次这样的变换得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是：（16，1+3）。

5. （2012江苏南通3分）函数y＝【答案】x≠5。

【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据分式分母不为0的条件，要使

1

在实数范围内有意义，必须x－5≠0，即x≠5。 x＋5

1

中，自变量x的取值范围是 ▲ ． x＋5

6. （2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，n)

是直线l上的点，

则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ． 【答案】16。

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【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，

∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

??k?b??3?k?2∴ ? ，解得? 。

? b??1? b??1∴直线l的解析式为：y=2x－1。

∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。 ∴(2m－n＋3)2=（1+3）2=16。

7. （2012江苏苏州3分）如图①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=60°，动点P从A点

出发，以1cm/s

的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积

S（单位：错误！未找到引用源。）

与点P移动的时间t（单位：s）的函数关系式如图②所示，则点P从开始移动到停止移动一

共用了 ▲ 秒 （结果保留根号）.

【答案】4＋23。

【考点】动点问题的函数图象，矩形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。

【分析】由图②可知，t在2到4秒时，△PAD的面积不发生变化，

∴在AB上运动的时间是2秒，在BC上运动的时间是4－2=2秒。 ∵动点P的运动速度是1cm/s，∴AB=2，BC=2。 过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD于点F， 则四边形BCFE是矩形。∴BE=CF，BC=EF=2。

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∵∠A=60°， ∴BE?ABsin60??2?31?3，AE?ABcos60??2??1。 22∵由图②可△ABD的面积为3 3，

∴?AD?BE?3 3，即?AD?3?3 3， 解得AD=6。 ∴DF=AD－AE－EF=6－1－2=3。 在Rt△CDF中，CD?CF?DF?22 1212?3?2+32=23，

∴动点P运动的总路程为AB＋BC＋CD=2＋2＋23=4＋23（cm）。 ∵动点P的运动速度是1cm/s，

∴点P从开始移动到停止移动一共用了（4+23）÷1=4+23s。

8. （2012江苏无锡2分）函数y=1+2x?4中自变量x的取值范围是 ▲ ． 【答案】x?2。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使2x?4在实数范围内有意义，必须2x?4?0，

即x?2。

9. （2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A．B．C．D．E、F中，会过点（45，2）的是点 ▲ ．

【答案】B。

【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。 【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。

∴正六边形滚动一周等于6。如图所示。

- 7 -

当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、

F的纵坐标为2。

位置1时，点A的横坐标也为2。 又∵（45－2）÷6=7…1，

∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。 ∴会过点（45，2）的是点B。

10. （2012江苏扬州3分）在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限内，则m的取值范围是 ▲ ． 【答案】m＞2。

【考点】平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。

【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，得到不等式组求解。四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。因此，

?m>0 ?，解得m＞2。

m?2>0?11. （2012江苏镇江2分）如图，在平面直角坐标系x0y中，直线AB过点A（－4，0），B（0，4），⊙O的半径为1（O为坐标原点），点P在直线AB上，过点P作⊙O的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ 的最小值为 ▲ 。

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【答案】7。

【考点】坐标和图形，切线的性质，矩形的判定和性质，垂直线段的性质，三角形边角关系，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过点O作OP1⊥AB，过点P1作⊙O的切线交⊙O于点Q1，连接OQ，OQ1。 当PQ⊥AB时，易得四边形P1PQO是矩形，即PQ=P1O。

∵P1 Q1是⊙O的切线， ∴∠OQ1P1=900。

∴在Rt△OP1Q1中，P1Q1＜P1O，∴P1Q1即是切线长PQ的最小值。 ∵A（－4，0），B（0，4），∴OA=OB=4。

∴△OAB是等腰直角三角形。∴△AOP1是等腰直角三角形。 根据勾股定理，得OP1=22。 ∵⊙O的半径为1，∴OQ1=1。 根据勾股定理，得P1 Q1=三、解答题

1. （2012江苏常州6分）在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC和△DEF的顶点坐标分别为A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）。按下列要求画图：以点O为位似中心，将△ABC向y轴左侧按比例尺2：1放大得△ABC的位似图形△A1B1C1，并解决下列问题：

（1）顶点A1的坐标为 ▲ ，B1的坐标为 ▲ ，C1的坐标为 ▲ ； （2）请你利用旋转、平移两种变换，使△A1B1C1通过变换后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰与△DEF拼接成一个平行四边形（非正方形）。写出符合要求的变换过程。

?22?2?12?7。

- 9 -

【答案】解：作图如下：

（1）（－2，0），（－6，0），（－4，－2）。 （2）符合要求的变换有两种情况： 情况1：如图1，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移12个单位，再向上平移5个单位；再以B1为中心顺时针旋转900。

情况2：如图2，变换过程如下：

将△A2B2C2向右平移8个单位，再向上平移5个单位；再以A1为中心顺时针旋转900。

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【考点】作图（位似、平移和旋转）网格问题，位似的性质，平移的性质，旋转的性质。 【分析】（1）作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。

（2）作平移变换时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。

作旋转变换时，找准旋转中心和旋转角度。

2. （2012江苏淮安12分）如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1350，得到矩形EFGH（点E与O重合）.

（1）若GH交y轴于点M，则∠FOM＝ ，OM= （2）矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。

①直线GH与x轴交于点D，若AD∥BO，求t的值；

②若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位，试求当0

- 11 -

【答案】解：（1）450；22。

（2）①如图1，设直线HG与y轴交于点I。

∵四边形OABC是矩形，∴AB∥DO，AB=OC。

∵C（2，0），∴AB=OC=2。

又∵AD∥BO，

∴四边形ABOD是平行四边形。∴DO=AB=2。 由（1）易得，△DOI是等腰直角三角形，∴OI=OD=2。 ∴t=IM=OM－OI=22－2。

②如图2，过点F，G分别作x轴，y轴的垂线，垂足为R，T，连接OC。则

由旋转的性质，得，OF=OA=4，∠FOR＝450， ∴OR=RF=22，F（22，－22）。 由旋转的性质和勾股定理，得OG=25， 设TG=MT=x，则OT=OM＋MT=22+x。 在Rt△OTG中，由勾股定理，得x+22+x∴G（2，－32）。

∴用待定系数法求得直线FG的解析式为y=x?42。 当x=2时，y=2?42。

∴当t=42?2时，就是GF平移到过点C时的位置（如图5）。

- 12 -

2??=?25?，解得x=222。

∴当0

如图3 ，t=OE=OC=2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C；

如图4，t=OE=OM=22，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边

HG经过点O；

如图5，t=OE=42?2，此时，矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边FG

经过点C。

∴（I）当0

由E（0，t），∠FFO=450，用用待定系数法求得直线EP的解析式为

y=?x+t。

当x=2时，y=?2+t。∴CP=?2+t。∴S?1?t?2+t??2=2t?2。 2 （III）当22

此时，OE= t，，OC=2，CQ= ?2+t，OU=OV= t－22。

2111 ∴S??t?2+t??2?t?22=?t2+2+22t?6。

222???? 综上所述，当0

- 13 -

?12?2t?0

???1t2+2+22t?622

3. （2012江苏连云港12分）如图，甲、乙两人分别从A(1，3)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行． (2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？

(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．

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【答案】解：(1)∵A坐标为(1，3)，∴OA＝2，∠AOB＝60°。

∵甲达到O点时间为t＝

163，乙达到O点的时间为t＝=， 24213∴甲先到达O点，所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角

221时，OM＝2－4t，ON＝6－4t， 2形。

①当t＜

假设MN∥AB。则△OMN∽△OAB。 ∴

△OMN∽△OAB。

∴MN与AB不可能平行。 ②当

2?4t6?4t，解得t＝0。即在甲到达O点前，只有当t＝0时，=2613＜t＜时， 22如图，∵∠PMN＞∠PON＞∠PAB ∴MN与AB不平行。

综上所述，在甲、乙两人到达O点前， MN与AB不可能平

行。

(2) 由（1）知，当t≤

当t＞

3时，△OMN不相似△OBA。 23时，OM＝4t －2，ON＝4t －6， 24t?24t?63由解得t＝2＞， =226∴当t＝2时，△OMN∽△OBA。 (3)①当t≤

1时，如图1，过点M作MH⊥x轴，垂足为H， 2在Rt△MOH中，∵∠AOB＝60°，

- 15 -

∴MH＝OMsin60°＝(2－4t)×3＝3(1－2t)， 2OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t， ∴NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t。

∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。

1213＜t≤时，如图2，作MH⊥x轴，垂足为H， 223在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝3(2t－1)，

21NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，

2②当

∴s＝[3(1－2t)]2＋(5－2t)2＝16t2－32t＋28。 ③当t＞

3时，同理可得s＝16t2－32t＋28。 2综上所述，s＝16t2－32t＋28。 ∵s＝16t2－32t＋28＝16(t－1)2＋12， ∴当t＝1时，s有最小值为12，

∴甲、乙两人距离最小值为12=23（km）。

【考点】反证法，坐标与图形性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形外角性质，勾股定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值。 【分析】(1)用反证法说明．根据已知条件分别表示相关线段的长度，根据三角形相似得比例式说明。

(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。

(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式，运用函数性质解

答问题。

4. （2012江苏南京7分）看图说故事。

请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x、y满足图示的函数关系式，要求：①指出x和y的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中需设计“速度”这个量

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【答案】解： ①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y（单位：km）与他所用的时间x（单位：min）的关系。

②小明以400m/min的速度匀速骑了5min，在原地休息了6min，然后以

500m/min的速度匀速骑车回出发地。（本题答案不唯一） 【考点】开放型问题，函数的图象。

【分析】①结合实际意义得到变量x和y的含义；②由于函数须涉及“速度”这个量，只要叙述清楚时间及相应的路程，体现出函数的变化即可。

5. （2012江苏无锡10分）如图1，A．D分别在x轴和y轴上，CD∥x轴，BC∥y轴．点P从D点出发，以1cm/s的速度，沿五边形OABCD的边匀速运动一周．记顺次连接P、O、D三点所围成图形的面积为Scm，点P运动的时间为ts．已知S与t之间的函数关系如图2中折线段OEFGHI所示． （1）求A．B两点的坐标；

（2）若直线PD将五边形OABCD分成面积相等的两部分，求直线PD的函数关系式．

2

【答案】解：（1）在图1中，连接AD，设点A的坐标为（a，0），

由图2知，当点P到达点A时， DO+OA=6，即DO=6﹣AO=6﹣a， S△AOD=4，

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∴

11DO?AO=4，即（6﹣a）a＝4。 222

∴a﹣6a+8=0，解得a=2或a=4。 由图2知，DO＞3，∴AO＜3。∴a=2。 ∴A的坐标为（2，0），D点坐标为（0，4）。

在图1中，延长CB交x轴于M，由图2，知AB=11﹣6＝5，CB=12﹣

11＝1。

∴MB=4﹣1＝3。∴AM=AB2?MB2?52?32?4。∴OM=2+4＝

6。

∴B点坐标为（6，3）。

（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则

S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=

=

1S五边形OABCD 21（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9， 211∴×6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，即x+6y=12①。 22同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9②。

42154215，y=。∴P（，）。 1111111142151542设直线PD的函数关系式为y=kx+4，将P（，）代入，得=k+4。

1111111129解得，k=﹣。

4229∴直线PD的函数关系式为y=﹣x+4。

42联立①②，解得x=

【考点】动点问题，一次函数综合题，矩形的性质，勾股定理，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），由图2得出DO=6﹣AO和S△AOD=4，即可得出

1DO?AO=4，从而得出a的值，再根据图2得出A的坐标。 2延长CB交x轴于M，根据D点的坐标得出AB=5，CB=1，即可由勾股定理

求出AM，从而得出点B的坐标。

（2）设点P（x，y），连PC．PO，得出S四边形DPBC和S四边形DPAO的面积，再进行整理，即可得出x与y的关系，联立求出x、y的值，即可得出P点的坐标。再用待定系数法

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求出设直线PD的函数关系式。

6. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），我们把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|叫做P1、P2两点间的直角距离，记作d（P1，P2）．

（1）已知O为坐标原点，动点P（x，y）满足d（O，P）=1，请写出x与y之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P所组成的图形；

（2）设P0（x0，y0）是一定点，Q（x，y）是直线y=ax+b上的动点，我们把d（P0，Q）的最小值叫做P0到直线y=ax+b的直角距离．试求点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离．

【答案】解：（1）由题意，得|x|+|y|=1。

所有符合条件的点P组成的图形如图所示：

（2）∵d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，

又∵x可取一切实数，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2

和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。

∴点M（2，1）到直线y=x+2的直角距离为3。

【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。

【分析】（1）根据新定义知|x|+|y|=1，据此可以画出符合题意的图形。

（2）根据新定义知d（M，Q）=|x﹣2|+|y﹣1|=|x﹣2|+|x+2﹣1|=|x﹣2|+|x+1|，然后由

绝对值与数轴的关系可知，|x﹣2|+|x+1|表示数轴上实数x所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。

7. （2012江苏徐州8分）如图1，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AD=4cm，AB=dcm。动点E、F分别从点D、B出发，点E以1 cm/s的速度沿边DA向点A移动，点F以1 cm/s的速度沿边BC向点C移动，点F移动到点C时，两点同时停止移动。以EF为边作正方形

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EFGH，点F出发xs时，正方形EFGH的面积为ycm2。已知y与x的函数图象是抛物线的一部分，如图2所示。请根据图中信息，解答下列问题： （1）自变量x的取值范围是 ▲ ；

（2）d= ▲ ，m= ▲ ，n= ▲ ； （3）F出发多少秒时，正方形EFGH的面积为16cm2？

【答案】解：（1）0≤x≤4。 （2）3，2，25．

（3）过点E作EI⊥BC垂足为点I。则四边形DEIC为矩形。 ∴EI=DC=3，CI=DE=x。 ∵BF=x，∴IF=4－2x。

在Rt△EFI中，EF2?EI2＋IF2?32＋?4?2 x?。 ∵y是以EF为边长的正方形EFGH的面积， ∴y?32＋?4?2 x?。

当y=16时，32＋?4?2 x??16，

2224＋74?7，x2?。 224＋74?7∴F出发或秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。

22解得，x1?【考点】动点问题，矩形的判定和性质，平行线间垂直线段的性质，勾股定理，解一元二次方程。

【分析】（1）自变量x的取值范围是点F从点C到点B的运动时间，由时间=距离÷速度，即可求。

（2）由图2知，正方形EFGH的面积的最小值是9，而正方形EFGH的面积最小时，

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根据地两平行线间垂直线段最短的性质，得d=AB=EF=3。

当正方形EFGH的面积最小时，由BF=DE和EF∥AB得，E、F分别为AD、BC的中点，即m=2。

当正方形EFGH的面积最大时，EF等于矩形ABCD的对角线，根据勾股定理，它为5，即n=25。

（3）求出正方形EFGH的面积y关于x的函数关系式，即可求得F出发4＋7或24?7秒时，正方形EFGH的面积为16cm2。 28. （2012江苏镇江6分）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，2），直线OP经过原点，且位于一、三象限，∠AOP=450（如图1）。设点A关于直线OP的对称点为B。 （1）写出点B的坐标 ▲ ；

（2）过原点O的直线l从直线OP的位置开始，绕原点O顺时针旋转。

①当直线l顺时针旋转100到直线l1的位置时（如图1），点A关于直线l1的对称点为C，则∠BOC的度数是 ▲ ，线段OC的长为 ▲ ；

②当直线l顺时针旋转550到直线l2的位置时（如图2），点A关于直线l2的对称点为D，则∠BOD的度数是 ▲ ；

③直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900），在这个运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为

▲ （用含n的代数式表示）。

【答案】解：（1）（2，0）。

（2）①200，2；②1100；③

n?。 45【考点】旋转的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，圆周角定理，扇形弧长公式。 【分析】（1）如图1，∵∠AOP=450，点A在y轴上，∴点A关于直线OP的对称点B在x

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轴上。

∴ 根据轴对称和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可知B（2，0）。

（2）①如图1，根据轴对称和线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可

知OC=OA=2，

∴点A、B、C在以点O为圆心，OA=2为半径的圆上。 ∵∠BAC=100（可由两直角三角形得到），

∴根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得∠BOC=2∠BAC=200。

②∵∠DAO=∠Bal1=550－450=100，∴∠BOC=900＋2∠DAO=900＋200=1100。 ③由上知，直线l顺时针旋转n0（0＜n≤900）的运动过程中，点A关于直线l的对称点所经过的路径长为：以点O为圆心，OA=2为半径，2n0为圆心角的圆弧。 ∴路径长为：

2n???2n?

。=18045

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