第2章 流体静力学

第2章 流体静力学

2.1 一潜水员在水下15m处工作，问潜水员在该处所受的压强是多少？ 解：由p??h得，p?1000kg/m?9.8m/s?15m?1.47?10Pa

2.2 一盛水封闭容器，容器内液面压强po=80kN/m2。液面上有无真空存在？若有，求出真空值。

解：pa?1.01?10Pa>p0?0.8?10Pa，即存在真空 真空值pV?pa?p0?0.21?10Pa

2.3 如图，用U型水银测压计测量水容器中某点压强，已知H1=6cm，H2=4cm，求A点的压强。

解：选择水和水银的分界面作为等压面得

555325pa??1(H1?H2)?pA??2H2

故A点压强为pA?pa??1H1?H2(?1??2)?1.14?10Pa

2.4 如图示两容器底部连通，顶部空气互相隔绝，并装有压力表，p1＝245kPa，p2＝245kPa，试求两容器中水面的高差H。

解：由p1?p2??H得 ，H?5p1?p2?(245?145)?103Pa??10.2m 1000kg/m3?9.8m/s22.5 水压机是由两个尺寸不同而彼此连通的，以及置于缸筒内的一对活塞组成，缸内充满水或油，如图示：已知大小活塞的面积分别为A2，A1，若忽略两活塞的质量及其与圆筒摩阻的影响，当小活塞加力F1时，求大活塞所产生的力F2。

解：由

p1p2FA?得，F2?12

A2A1A2

题2.3图 题2.4图 题2.5图

2.6如图示高H=1m的容器中，上半装油下半装水，油上部真空表读数p1=4500Pa，水下部压力表读数p2=4500Pa，试求油的密度?。

解：由题意可得pabs?pa?p1，pabs??g

HH???p2 22解得??p2?pabs??gH2H2?836.7kg/m3

2.7 用两个水银测压计连接到水管中心线上，左边测压计中交界面在中心A点之下的距离为Z，其水银柱高度为h。右边测压计中交界面在中心A点之下的距离为Z+?Z，其水银柱高为h+?h。（1）试求?h 与?Z的关系。（2）如果令水银的相对密度为13.6，?Z=136cm时，求?h是多少？

题2.6图 题2.7图

解：（1）分别取左边测压计中交界面为等压面得，

?pa??1h??2?pA ?p??(z??z)?p??(h??h)2a1?A解得?h与?Z的关系为：?2?z??1?h （2）当?Z=136cm时，?h??2?z?10cm ?12.8 给出如图所示A、B 面的压强分布图。

（a）

（b）

题2.8图

（c）

解：

2.9 如图示一铅直矩形平板AB如图2所示，板宽为1.5米，板高h=2.0米，板顶水深h1=1米，求板所受的总压力的大小及力的作用点。

题2.9图 题2.10图

解：将坐标原点放在水面与直板延长线的交点，水平向右为O-x轴，竖直向下为O-y轴，建立直角坐标系O-xy，在y方向上h处取宽度为dh的矩形，作用力dF为

dF??hdA?1.5?hdh

在y方向上积分得总压力F为

h?h1h?h1F??hdF??h1.5?hdh?1.5?2[(h?h1)2?h1]?5.88?104N 2总压力的作用点为

hv??hdFF??h?h1h1.5?h2dhF?2.167m

02.10 如图示为一侧有水的倾斜安装的均质矩形闸门，其宽度b=2m，倾斜角??60，铰链中心O 位于水面以上C=1m，水深h=3m，求闸门开启时所需铅直向上的提升力T，设闸门重力G=0.196×105N。

解：建立坐标系O-xy，原点在O点，Ox垂直于闸门斜向下，Oy沿闸门斜向下，浸在水中的闸门上的作用力 （不计大气压力）为

F??hCA??hbh ??2sin60设压力中心为D到ox轴的距离为zD，则有

bh3()?h0JCChC2h12sin60zD??zC????????hbhsin?zCAsin60?2sin60?sin603sin60()2sin60?sin60?

当闸门转动时，F与G产生的合力矩与提升力T产生的力矩相等，则有

T(C?h)?bh2C2hh?C?(?)?G

tan60?2sin60?sin60?3sin60?2tan60?则T大小为

?bh2C?2h/3G9810?2?321?2?3/30.196?105T???????1.63?105N ?sin2?C?h2sin1201?322.11 如图示，一水库闸门，闸门自重W=2500N，宽b=3m，闸门与支撑间的摩擦系数?=0.3，当水深H=1.5m时，问提升闸门所需的力T为多少？

解：将z轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门的交汇点 液面下深度h?z处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??H0dF???hbdh??BH2/2

0H由力平衡解得 T?W?F??2500?9922.5?12422.5N

2.12 在水深2m的水池下部有一个宽为1m，高为H=1m的正方形闸门OA，其转轴在O 点处，试问在A点处需加多大的水平推力F，才能封闭闸门？

题2.11图 题2.12图

解：将y轴取在闸门上，竖直向下，原点为水面与闸门延长线的交汇点 液面下深度h=y处微面积dA上的微液作用dF为

dF??hdA??hbdh

闸门上的总作用力为 F??2HHdF??2HH?hbdh?3? 2设压力中心为D到原点的距离为yD，则有

yD??21hdFF??H00?h2dh3?/2?1.56m

(2H?yD)F0.44F??6474.6N

H1由F'H?(2H?yD)F得 F'?2.13 如图示，a 和b 是同样的圆柱形闸门，半径R=2m，水深H=R=2m，不同的是图（a）中水在左侧，而图（b）中水在右侧，求作用在闸门AB上的静水总压力P 的大小和方向？（闸门长度（垂直于纸面）按1m计算）。

（a）

（b）

题2.13图

2.14 如图示，为一储水设备，在C点测得绝对压强为p=19600N/m2，h=2m，R=1m，求半球曲面AB 的垂直分力。

题2.14图

h解：由题意得2，解得

pAB?S?F?GpAB?p??h2?R2F?pAB?S?G?(p??)S???10257.33N

232.15 一挡水坝如图示，坝前水深8m，坝后水深2m，求作用在每米坝长上总压力的大小和方向。

解：竖直方向段：F1?4?0?hdh?16??8? 24448? ?60?方向段：F2??hCA??(4?)?2sin60?380?方向段：F3??hC'A'??各作用力如图所示，

222? ??2sin80?sin80?F1'?F1?F2cos30??F3cos10??30?F2'?F2sin30?F3sin10?14.21???，

作用在每米坝长上总压力的大小和方向为：F?33.2??3.25?10N，??25.35 2.16 挡水弧形闸门如图示，闸前水深H=18m,半径R=8.5m，圆心角θ=450，门宽b=5m。求作用在弧形门上总压力的大小和方向。

5?18mRθ

题2.15图 题2.16图

?解：压力中心距液面为zC?9.528.5?2155面m积，曲.面

A??R4b?8.5??5?33.4m2 4总作用力F在x，z向的分力Fx、Fz为

Fx?Ax?dFx??Ax?zdAx??zCAx??zCAsin45??3.59?106N

Fz??dFz???zdAx??zCAz???zCA(1?2/2)??1.49?106N

AzAz总压力为F?Fx2?Fz2?3.89?106N，与x轴的夹角为??arctanFZ?22.54? FX2.17 盛有水的开口圆桶形容器，以角速度ω绕垂直轴O作等速旋转。当露出桶底时，ω应为若干？（如图示中符号说明：坐标原点设在筒底中心处。圆筒未转动时，筒内水面高度为h。当容器绕轴旋转时，其中心处液面降至Ho，贴壁液面上升至H高度。容器直径为D。）

ωHhH0OD

题2.17图

解：由回转抛物体的体积恰好是高度为h的圆柱体体积之半得：

?R22所以??H??R2?2R22?2g

12gH R

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