高三数学第一轮复习教案（第四章三角函数9课时）

第四章 三角函数

第1课时 任意角的三角函数

一．课题：任意角的三角函数

二．教学目标：1．掌握角的概念的推广、正角、负角、象限角，终边相同的角的表示， 2．掌握弧度制、弧度与角度的转化关系，扇形面积及弧长公式． 三．教学重点：与?角终边相同的角的公式、弧长公式、扇形面积公式的运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．角的概念的推广；象限角、轴线角；与?角终边相同的角为2k???(k?Z)； 2．角的度量；角度制、弧度制及其换算关系；弧长公式l?|?|r、扇形面积公式S?1lr； 23．任意角的三角函数． （二）主要方法：

1．本节内容大多以选择、填空题形式出现，要重视一些特殊的解题方法，如数形结合法、代入检验法、特殊值法、待定系数法、排除法、另外还需掌握和运用一些基本结论．

（三）例题分析： 例1．若?,??(0,

（ C ）

?2)，且sin??cos??0， 则

(A)???

(B) ???

(C)?????2

(D)?????2?是第几象限的角？ 3sin(cos?)（2）如果?是第二象限的角，判断的符号．

cos(sin?)?解：（1）∵2k????2k??,k?Z，

22k??2k?????,k?Z， ∴3336???当k?3n(n?Z)时，2n???2n??,n?Z，是第一象限的角，

3632??5????2n??,n?Z，是第二象限的角， 当k?3n?1(n?Z)时，2n??33634??3????2n??,n?Z，是第三象限的角． 当k?3n?2(n?Z)时，2n??3323?∴是第一，二，三象限的角． 3（2）?是第二象限的角，?1?cos??0，0?sin??1，

sin(cos?)sin(cos?)?0，cos(sin?)?0，∴?0．

cos(sin?)例2．（1）如果?是第一象限的角，那么

例3．（《高考A计划》考点24“智能训练第6题”） 已知锐角?终边上的一点P坐标是

(2sin2,?2cos2)（ C ）

，

(B)?2

则

??

(A)2

(C)2??2

(D)?2?2

例4．扇形AOB的中心角为2?，半径为r ，在扇形AOB中作内切圆O1及与圆O1外切，与OA,OB相切的圆O2，问sin?为何值时，圆O2的面积最大？最大值是多少？ 解：设圆O1及与圆O2的半径分别为r1,r2，

rsin??r??(r?r1)sin??r1??11?sin??则?，得?， ?r(1?sin?)(r?r)cos(??)?r?r1212?r?1??2?21?sin??r(1?sin?)rsin?(1?sin?)?∴r2?1， 21?sin?(1?sin?)∵0?2??2?，∴0????，令t?sin??1(1?t?2)， 131?t2?3t?21321?sin??r2???2(?)?，当，即时， 2t43tt48?圆O2的半径最大，圆O2的面积最大，最大面积为．

64

（四）巩固练习：

1．设0???2?，如果sin??0且cos2??0，则?的取值范围是 （ D ）

3?3??3?5?7????2? (C)?????? (B) (D)

224444??02．已知?的终边经过点(3a?9,a?2)，且sin??0,cos ，则a的取值范围是

9(?2,]．

3(A)????3．若sin??tan??cot?(?

（ B ）

?2????2)，则??

(A)(??,?) (B)(?,0) (C)(0,) 2444?????(D)(,)

42

五．课后作业：《高考A计划》考点24，智能训练3，7，9，10，11，12，15，16．

第2课时 同角三角函数的基本关系与诱导公式

一．课题：同角三角函数的基本关系与诱导公式

二．教学目标：1．掌握同角三角函数的基本关系式及诱导公式；并能运用这些公式进行求

值、化简与证明．

三．教学重点：公式的恰当选用及利用公式时符号的正确选取． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．同角三角函数的基本关系式： （1）倒数关系：tan??cot??1；

sin?cos?,cot??； cos?sin?22（3）平方关系：sin??cos??1 ．

（2）商数关系：tan??2．诱导公式，奇变偶不变，符号看象限． （二）主要方法：

1．利用同角三角函数的基本关系式时要细心观察题目的特征，注意公式的合理选用，特别要注意开方时的符号选取，切割化弦是常用的方法；

2．学会利用方程的思想解三角题，对于sin??cos?,sin??cos?,sin??cos?三个式子中，已知其中一个式子的值，可求其余两个式子的值．

（三）例题分析：

例1．化简tan?(cos??sin?)?sin??tan?

cot??csc?分析：切割化弦是解本题的出发点．

sin?sin?(cos??sin?)cos??sin?． 解：原式??cos?1cos??sin?sin?sin??

例2．化简（1）sin(??)?cos(??)； 44311?)的值． （2）已知????2?,cos(??9?)??，求cot(??52?(??)]?sin(??)?sin(??)?0．

4244433（2）cos(???)?cos(??9?)??，∴cos??，

554sin?4?， ∵????2?，∴sin???，tan??5cos?311?3?4)??cot(??)??tan??． ∴cot(??223解：（1）原式?sin(?????)?cos[????

例3．（1） 若tan??2，求值①

cos??sin?22；②2sin??sin?cos??cos?．

cos??sin?1?sin6x?cos6x（2）求值．

1?sin4x?cos4xsin?1?cos??1?2??3?22． 解：（1）①原式?sin?1?21?cos?112?122?，∴原式． ?cos?(2tan??tan??1)?1?tan2?33（2）∵sin6x?cos6x?(sin2x?cos2x)(sin4x?sin2x?cos2x?cos4x)

②∵cos??2?(sin2x?cos2x)2?3sin2x?cos2x?1?3sin2x?cos2x． 又∵sin4x?cos4x?(sin2x?cos2x)2?2sin2x?cos2x?1?2sin2x?cos2x．

1?sin6x?cos6x3?． ∴原式?441?sinx?cosx2例4．已知sin?,cos?是方程4x?4mx?2m?1?0的两个根，

23????2?，求角?． 2?sin??cos??m?2m?1?解：∵?sin??cos??，代入(sin??cos?)2?1?2sin??cos?，

4?2????16(m?2m?1)?03?2m?11?3???2?，∴sin??cos???0， 得m?，又2423?1?3?31???2?， ，∴sin??sin??cos??m?,cos??，又∵22225?∴??．

6

（四）巩固练习：

1．若f(cosx)?cos2x，f(sin15?)? （ D ）

1133 (B)? (C) (D)? 2222132．已知sin??cos???(0????)，则tan???．

54(A)

五．课后作业：《高考A计划》考点25，智能训练4，6，7，9，10，12，15，16．

第3课时 两角和与差的三角函数

一．课题：两角和与差的三角函数

二．教学目标：掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式；能运用这些公式进行三

角化简，求值等有关运算问题．

三．教学重点：公式的灵活运用． 四．教学过程： （一）主要知识：

1．两角和与差的三角函数公式；二倍角公式； 2．降次公式：cos??

21?cos2?1?cos2?2，sin??． 22（二）主要方法：

1．寻求所求结论中的角与已知条件中的角的关系，把握式子的变形方向，准确运用公式； 2．三角变换主要体现在：函数名称的变换、角的变换、1的变换、和积的变换、幂的变换等方面；

3．掌握基本技巧：切割化弦，异名化同名，异角化同角等．

（三）例题分析：

111??，cos(???)??，??(0,) ，????(,?)求?的值． 714221?43解：∵cos??，??(0,)，∴sin??，

72711?53又∵cos(???)??，????(,?)，∴sin??，

142141∵cos??cos[(???)??]?cos(???)cos??sin(???)sin??，

2例1．已知cos??又∵??(0,∴???) ，????(,?)，??(0,?)， 22??3．

22例2．已知A为一三角形的內角，求y?cosA?cos(2??A)的取值范围． 32?1?cos2A?A)??324?4??1?cos2A?coscos2A?sinsin2A

3313??1?cos2A?sin2A?1?cos(2A?)．

2231?∵A为一三角形內角，??cos(2A?)?1，

231222??A)的取值范围是(,1]． ∴y?cosA?cos(322sin50??sin80?(1?3tan10?)解：cos2A?cos2(例3．求值：解

1?cos2(2??A)3 21?cos10：

?．

原

?式

??2??2?c2(??s?2?so?2??2?ic2is???s?n socn1icos?

22sin50??cos50?)2cos(50??45?)22??2． ??cos5cos52??；（2）tan?tan??2?3同时成32例4．是否存在两个锐角?,?满足（1）??2??立，若存在，求出?,?的值；若不存在，说明理由．

?1个单位，向下平移3个单位，恰好得到y?sinx的图象，

221?1则f(x)?sin(2x?)?3?cos2x?3．

222?（3）先将函数y?sin2x的图象向右平移个单位长度，再将所得图象作关于y轴的对称

32?)． 变换，则所得函数图象对应解析式为y?sin(?2x?3将整个图象沿x轴向右平移

例2．已知函数f(x)?2cosxsin(x??3)?3sin2x?sinxcosx?2（x?R），该函数的

图象可由y?sinx（x?R）的图象经过怎样的变换得到？

13cosx)?3cos2x?sinxcosx?2

22 ?2sinxcosx?3(cos2x?sin2x)?2

? ?sin2x?3cos2x?2?2sin(2x?)?2

3??①由y?sinx的图象向左平移个单位得y?sin(x?)图象，

331?②再保持图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的得y?sin(2x?)图象，

23?③再保持图象上各点横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得y?2sin(2x?)图象，

3?④最后将所得图象向上平移2个单位得y?2sin(2x?)?2的图象．

3?说明：（1）本题的关键在于化简得到y?2sin(2x?)?2的形式；（2）若在水平方向先伸

3?缩再平移，则要向左平移个单位了．

6?例3．函数y?sin2x的图象向右平移?（??0）个单位，得到的图象关于直线x?对

6称，则?的最小值为 （ A ）

5?11?11?(A)(B)(C)(D)以上都

12612解：f(x)?2cosx(sinx?不对

?)，图象关于x?略解：平移后解析式为y?sin(2x?2（k?Z）， ∴????6

对称，∴2??6?2??k???2k?5???（k?Z），∴当k??1时，?的最小值为． 21212

例4．已知函数y?Asin(?x??)（A?0,|?|??）的一段图象如下图所示，求函数的解析式．

解：由图得A?2,T3?????(?)?，∴T??，∴??2， 2882∴y?2sin(2x??)，又∵图象经过点(?∴2?2sin(??8,2)，

2 （k?Z）， 4423?3?)． ∴??2k??，∴函数解析式为y?2sin(2x?44

（四）巩固练习：

1．如果函数y?sin2x?acos2x的图象关于直线x?????)，∴????2k?????0 8?2 3? 8?8对称，则a??1；

2．若函数f(x)?Asin(?x??)（A?0,??0,0???2?）的最小值为?2，周期为

2?，35?7?)或y?2sin(3x?)）且它的图象过点(0,?2)，求此函数解析式．（y?2sin(3x? 44

五．课后作业：《高考A计划》考点29，智能训练8，9，11，12，14．

第7课时 三角函数的性质（一）

一．课题：三角函数的性质（一）

二．教学目标：掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，

会求经过简单的恒等变形可化为y?Asin(?x??)或y?Atan(?x??)的三角函数的周期．

三．教学重点：求三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提． 四．教学过程： （一）主要知识：

三角函数的定义域、值域及周期如下表： 函数 定义域 值域 周期 y?sinx [?1,1] 2? R y?cosx [?1,1] 2? R y?tanx {x|x?k???2,k?Z} R ? （二）主要方法：

1．求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组）．一般可用三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解．列三角不等式，既要考虑分式的分母不能为零；偶次方根被开方数大于等于零；对数的真数大于零及底数大于零且不等于1，又要考虑三角函数本身的定义域；

2．求三角函数的值域的常用方法：①化为求代数函数的值域；②化为求y?Asin?(x???)B的值域；③化为关于sinx（或cosx）的二次函数式； 3．三角函数的周期问题一般将函数式化为y?Af(?x??)（其中f(x)为三角函数，

??0）．

（三）例题分析：

例1．求下列函数的定义域： （1）f(x)?3?tanx；（2）f(x)?tan(sinx)；（3）f(x)?2cosx?1．

tanx?1解：（1）由3?tanx?0，得tanx?3，∴k??∴f(x)的定义域为(k??（2）∵??2?x?k???3(k?Z)．

?,k??](k?Z)．

23??2??1?sinx?1??2，∴x?R．即f(x)的定义域为R．

（3）由已知

10?2cx?o?s?lgx(?t?an1)??，得?tax?n?10??x?k???(k?Z)??21?cox?s?2?0x?n0?ta?x?n?1?ta???x?k??(k?Z)?2，

???2k???x?2k???33?(k?Z)， ∴?x?k?????k???x?k??42???∴原函数的定义域为(2k??,2k?)?(2k?,2k??)(k?Z)．

433?sinx1?sinx2sinxcos2x例2．求下列函数的值域：（1）y?；（2）y?log2；（3）y?．

3?sinx3?cosx1?sinx2sinx(1?sin2x)11?2sinx(1?sinx)??2(sinx?)2?，解：由题意1?sinx?0，∴y?

1?sinx2211∵?1?sinx?1，∴sinx?时，ymax?，但sinx??1，∴y??4，

221∴原函数的值域为(?4,]．

2

（2）∵?1?sinx?1，又∵∴函数y?log2

（3）由y?3?sinx613?sinx??1，∴??2，∴?1?y?1，

3?sinx3?sinx23?sinx3?sinx的值域为[?1,1]．

3?sinx1?sinx2得sinx?ycosx?3y?1，∴y?1sin(x??)?3y?1，

3?cosx1?y这里cos??，sin??．

221?y1?y32∵|sin(x??)|?1，∴|3y?1|?y?1．解得0?y?，

4∴原函数的值域为{y|0?y?}．

例3．求下列函数的周期：

34sin2x?sin(2x?)?cos4x?sin4x3；（1）y?（2）y?2sin(x?)sinx；（3）y?．

?2cos4x?sin4xcos2x?cos(2x?)3?133sin(2x?)sin2x?sin2x?cos2x6?tan(2x??)，∴周期22?解：（1）y??6133cos(2x?)cos2x?cos2x?sin2x622?T?．

2（2）y??2sinxcosx??sin2x，故周期T??．

1?tan4x???tan(4x?)，故周期T?． （3）y?1?tan4x44n?,(n?N*)，试求：f(1)?f(2)???f(102)的值． 例4．若f(n)?sin6n?,(n?N*)的周期为12， 解：∵f(n)?sin6?2?12????sin?0， 而f(1)?f(2)???f(12)?sin?sin666∴f(1)?f(2)???f(96)?0，

∴原式?f(97)?f(98)???f(102)?f(1)?f(2)???f(6)?2?3．

（四）巩固练习：

1．函数y?sinx?16?x2的定义域为[?4,??]?[0,?]． 2．函数y?sin6x?cos6x的最小正周期为

??． 2

五．课后作业：《高考A计划》考点30，智能训练2，5，12，14．

第8课时 三角函数的性质（二）

一．课题：三角函数的性质（二）

二．教学目标：掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题． 三．教学重点：三角函数奇偶性的判断及三角函数单调区间的求解及其应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

三角函数的奇偶性和单调性具体如下表： 函数 奇偶性 单调区间 ??奇 在[2k??,2k??]上增 y?sinx 22 在[2k??偶 奇 y?cosx 3?]减(k?Z) 22在[2k???,2k?]上增 在[2k?,2k???]减(k?Z) ,2k???y?tanx 在(k???,k??)上增(k?Z) 22? （二）主要方法：

1．三角函数的奇偶性的判别主要依据定义：首先判定函数的定义域是否关于原点对称，当函数的定义域关于原点对称时，再运用奇偶性定义判别；

2．函数y?Asin(?x??)(A?0,??0)的单调区间的确定，基本思路是把?x??看作一个整体，运用复合函数的单调规律得解； 3．比较三角函数值的大小，利用奇偶性或周期性转化为属于同一单调区间上的同名函数值，再利用单调性比较大小．

（三）例题分析：

例1．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)?|sin2x|?x?tanx；（2）f(x)?解：(1)∵f(x)的定义域为{x|x?k??cosx(1?sinx)．

1?sinx,k?Z}，∴定义域关于原点对称， 2又∵f(?x)?|sin(?2x)|?(?x)?tan(?x)?|sin2x|?x?tanx?f(x)，∴f(x)为偶函数．

（2）∵f(x)的定义域为{x|x?2k??数．

例2．比较下列各组中两个值的大小：

??2,k?Z}不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函

3173?3?)，sin(cos)． ，sin，?cos；（2）sin(sin2488101?177?cos(?)，?cos?cos(??)， 解：（1）∵sin10210447?13???及y?cosx在(0,?)内是减函数， 又∵0?????42102317??cos． ∴可得cos?sin21043??3?3??sin，∴0?cos?sin?1，而y?sinx在(0,1)上递增， （2）∵cos88883?3?)?sin(cos)． ∴sin(sin88（1）cos例3．设定义域为R的奇函数y?f(x)是减函数，若当0???2 f(co?s?m2?si?nf?)?m(?2，求2)0m的值．

解：∵y?f(x)是奇函数，∴f(?2m?2)??f(2m?2)，原不等式可化为

?2时，

f(cos2??2msin?)?f(2m?2)?0，即f(cos2??2msin?)?f(2m?2)．

2∵f(x)是减函数，∴cos??2msin??2m?2，

2即sin??2msin???1?2m，(sin??m)2?m2?2m?1，∵0????2，

∴0?sin??1．

当m?2m?1?0即1?2?m?1?2时，(sin??m)2?m2?2m?1成立； 当m?1?2时，(1?m)2?m2?2m?1，即1??1成立； 当m?1?2时，(0?m)2?m2?2m?1，即m??综上所述，m的取值范围是m??例

21． 21． 231，智能训练

13：已知函数

4．《高考A计划》考点

f(x)?sin(?x??)(??0,0????)是R上的偶函数，其图象关于点M(在区间[0,3?,0)对称，且4?2]上是单调函数，求?和?的值．

解：由f(x)是R上的偶函数，得f(?x)?f(x)，即sin(??x??)?sin(?x??)， 展开整理得：?cos?sin?x?cos?sin?x，对任意x都成立，且??0，所以cos??0．

3?3??x)??f(?x)．

2443?3?3?3?3???3???)?cos取x?0，得f()??f()，所以f()?0，∴f()?sin(．

44444243??3???2?0,又??0,得??k?，(k?N)．即??(2k?1),k?0,1,2,? 所以cos442322??当k?0时,??,f(x)?sin(x?)在[0,]上是减函数；

3322又0????，所以???．由f(x)的图象关于点M对称，得f(当k?1时,??2,f(x)?sin(2x?当k?2时,???)在[0,]上是减函数；

22?10??,f(x)?sin(?x?)在[0,]上不是单调函数； 3222综上所得??或??2．

3（四）巩固练习：

1．①函数y?tanx在它的定义域内是增函数；②若?、?是第一象限角，且???，则

tan??tan?；③函数y?Asin(?x??)一定是奇函数；④函数y?|cos(2x?小正周期为

?3)|的最

?2．上列四个命题中，正确的命题是

（ B ）

(A)① (B)④ (C)①、② (D)②、③ 2

．

若

0??????4，

sin??cos??a，

sin??cos??b，则

（ A ）

(A)a?b (B)a?b (C)ab?1 (D)ab?2

3．函数y?3sin(?3?2x)的单调递减区间是[k???12,k??5?]12k?Z．

五．课后作业：《高考A计划》考点31，智能训练7，8，9，11，12，14，15．

第9课时 三角函数的最值

一．课题：三角函数的最值

二．教学目标：掌握三角函数最值的常见求法，能运用三角函数最值解决一些实际问题． 三．教学重点：求三角函数的最值． 四．教学过程：

（一）主要知识：求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理：

①y?asinx?b，设t?sinx化为一次函数y?at?b在闭区间t?[?1,1]上的最值求之； ②y?asinx?bcosx?c，引入辅助角?(cos??aa?b22,sin??ba?b22)，化为

y?a2?b2sin(x??)?c求解方法同类型①；

③y?asin2x?bsinx?c，设t?sinx，化为二次函数y?at2?bt?c在t?[?1,1]上的

最值求之；

x?④y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c，设t?sincxo化为二次函数

a(t2?1)y??bt?c在闭区间t?[?2,2]上的最值求之；

?2at2?b⑤y?atanx?bcotx，设t?tanx化为y?用?法求值；当ab?0时，还可用平

t均值定理求最值； ⑥y?asinx?b根据正弦函数的有界性，即可分析法求最值，还可“不等式”法或“数形

csinx?d结合”．

（二）主要方法：①配方法；②化为一个角的三角函数；③数形结合法；④换元法；⑤基本不等式法．

（三）例题分析：

例1．求函数y?sinx?cos(x?解：y?sinx?cosxcos当x?2k???6)的最大值和最小值．

?3，ymax33??sinx?cosx?3sin(x?)．

662262?，ymin??3(k?Z)． ?3，当x?2k??3?sinxsin??

例2．求函数y?(sinx?2)(cosx?2)的最大、最小值．

解：原函数可化为：y?sinxcosx?2(sinx?cosx)?4，令sinx?cosx?t(|t|?2)，

t2?1t2?113?2t?4?(t?2)2?． 则sinxcosx?，∴y?2222∵t?2?[?2,2]，且函数在[?2上]为减函数，∴当t?2时，即

?93?x?2k??(k?Z)(k?Z)时，时，ymin??22；当t??2时，即x?2k??4249ymax??22．

22,3sin?的最大值；

1?3sin2?

例3．求下列各式的最值：（1）已知x?(0,?)，求函数y?（2）已知x?(0,?)，求函数y?sinx?解：（1）y?2的最小值． sinx31?3sin?sin??1313?，当且仅当sin??时等号成立．故ymax?．

22323(0?t?1)（2）设sinx?t，则原函数可化为y?t?2)上为减函数，∴当t?1时，，在(0,1tymin?3．

说明：y?sinx?a型三角函数求最值，当sinx?0，a?1时，不能用均值不等式求sinx最值，适宜用函数在区间内的单调性求解．

例4．求函数y?2?cosx(0?x??)的最小值．

sinx解：原式可化为ysinx?cosx?2(0?x??)，引入辅助角?，tan??1，得 y1?y2sin(x??)?2，∴sin(x??)?21?y2，由|21?y2得y?3或y??3． |?1，

又∵?1?cosx?1，∴2?cosx?0，且sinx?0，故y?0．∴y?3，故ymax?3．

例5．《高考A计划》考点32，智能训练10：已知sin??sin??的最大值是 ． 解

23os??cos，则y?c23?y24?：∵

(sin??sin?)2?(cos??cos?)2?2?cos(???)?，

∴y?513?2cos(???)，故当cos(???)?1时，ymax?． 42

（四）巩固练习：

1．已知函数y?Asin(?x??)在同一周期内，当x?取

得

最

小

值

?9

时，取得最大值

数

的

14?，当x?时，29析

式

?12，则该函解是

（ B ）

(A)1?y?2sin(x?)36

(B)y?1?sin(3x?)26

(C)1?y?sin(3x?)

261?(D)y?sin(?3x?)

262．若方程cos2x?23sinxcosx?k?1有解，则k?[?3,1]．

五．课后作业：《高考A计划》考点32，智能训练6，8，9，12，13，14．

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