奥数：六年级奥数 杂题 抽屉原理（ABC级）.教师版

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抽屉原理

知识框架

一、 知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、 抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、 抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商??余数

余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x?1?x??n?1??， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

重难点

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抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是： （1） 理解抽屉原理的基本概念、基本用法； （2） 掌握用抽屉原理解题的基本过程； （3） 能够构造抽屉进行解题； （4） 利用最不利原则进行解题；

（5） 利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

例题精讲

（一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？

【考点】抽屉原理

【难度】1星

【题型】解答

6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其【解析】

中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的．

利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6?5?1??1 ，1?1?2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯

定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．

【答案】对

【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”

你知道张老师为什么这样说吗？

【考点】抽屉原理 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 略．

【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物品”，

根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．

【答案】从题目可以看出，这道题显然与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽

屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．

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【例 2】 人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有 人的头发的

根数相同。

图8

【考点】抽屉原理

【难度】2星 【题型】填空

【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，1试

【解析】 这是一道抽屉原理的题目，所以要先分清楚什么是抽屉，什么是苹果。此题中的抽屉是人的头发：

有20万个，中国的人数是苹果：13亿人，所以至少应有：1300000000?200000?6500（人）。

【答案】6500人

【巩固】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

【考点】抽屉原理 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 略．

【答案】一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730?366?1??364，

所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天

【例 3】 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，

他们的朋友人数一样多．

【考点】抽屉原理 【难度】3星 【解析】 略．

【答案】数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学

至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多

【题型】解答

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