与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习（有答案）

与角平分线有关的常用结论、辅助线总结

角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。

一、总结

下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。

1、如图1，OP平分∠AOB，点D在OA上，DE∥OB交OE于点E

A∵OP平分∠AOB ∴∠DOE=∠EOB

D∵DE∥OB E∴∠BOE=∠DEO ∴∠DOE=∠DEO

OB∴OD=DE

图1

由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。

例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（ ） A．30° B．45° C．60° D．75°

分析：由题意可得：∠1=∠2，AN=MN，∠MGA=90°，则NG=2AM，故AN=NG，则∠2=∠4，∵EF∥AB，

1

1

图2

∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=3×90°=30°，∴∠DAG=60°．故选：C．

2、角平分线遇到垂线：

如图3，OP平分∠AOB，点D在OA上，DP⊥OP于点P。遇到这种情况，我们可以

A作辅助线：

D延长DP交OB于点E，

P∵OP平分∠AOB

∴∠DOP=∠EOP ∵DP⊥OP EBO图3 ∴∠ODP=∠OEP

∴OD=OE ∴DP=PE

通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。

例题：如图4，在直角梯形ABCD中， AD∥BC，∠B=90°，E为

F

AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD．求证：AE=BE 图4 分析：由已知，AD∥BC，ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，可得DE⊥EC，延长DE交CB延长线于F，有上述结论可知，E为DF中点，可证△ADE≌△BFE

3、从角平分线做角一边的垂线

OADP图5

EB如图3，OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D。这种条件下，我们经常过点P作PE⊥OB于点B，补全轴对称图形，由角平分线性质定理得到PD=PE。

2

例题：如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于E，△ABC的面积是30cm，AB=18cm，BC=12cm，求DE．

分析：根据已知条件，过点D，作DF⊥BC，垂足为点F，可得DE=DF，再由面积法构造方程求DE=2 二、练习题：

1、（2016·辽宁丹东）如图6，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC长为（ ） A．8B．10C．12D．14

2、（2016·陕西）如图7，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=8，BC=6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（ ） A．7 B．8 C．9D．10

图6

图7

图8

图9

3、（2016·青海西宁）如图8，OP平分∠AOB，∠AOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC=4，则PD= ．

4、如图9，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，使C恰好落在C'位置，∠DBC=25°，则∠ABC'= °．

5、（大连）如图10，在任意平行四边形ABCD中，如果点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE =∠EAD。求证：EF⊥AE

图10

6、如图11，△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BE平分∠ABC交AC于D,CE⊥BD的延长线于E,求证：BD=2CE

图11

8、如图，在△ABC中，AB=CB，CB⊥AB垂足为B．AD是∠BAC的平分线，DF⊥AC，垂足为F，且BE=CF．

（1）求证：△EBD≌△DFC；

B

（2）判断△AED是否为等腰三角形？并说明理由． E D

C A F

9、（2016秋?泉山区校级月考）如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，且BD=DF．求证： （1）DE=DC； （2）BE=CF．

10、（成都）已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G． （1）求证：BF=AC；

1（2）求证：CE=BF；

2

11、（2017德州）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． 求证：四边形BFEP为菱形；

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