《复变函数》试卷 - A及答案

( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 学院 专业 座位号 3诚信应考,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

2009《复变函数-A》试卷

注意事项：1. 考前请将密封线内填写清楚；

2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； 3．考试形式：闭卷；

4. 本试卷共 7大题，满分100分， 考试时间120分钟。 题 号 1 得 分 评卷人 2 3 4 5 6 7 总分 1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 2009(z??)C

（3）在映射w?z2下，区域w?1， 0?argw??的原像为 _____________ ________ 姓名 学号 （4）函数 w?x2?ixy 在如下范围内可导： （5）计算积分?(z?i)e?zdz?

0i

（6）函数f(z)?ezcosz2在z0?0的泰勒展开式为 2

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2，计算题，(每题5分，合计25分)。

（1）计算 Ln(? 和5i12) ii 的值

（2）求解方程ch z?1

（3）设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)在复平面上解析，求l，m，n

z（4）计算积分?dz，其中C:z?2正向

zC1sinzz（5）函数 f(z)?3和g(z)?e?1 都有什么奇点？如果是极点，请指出它是

z几阶极点。

3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

?n2n（1）?nz；

n?1e（2）?enzn。

n?1?i?1d?， 0?p?1。

01?2psin??p215，(本题10分) 计算积分?2dz， C:z?2，为正向曲线。 5(z?1)(z?1)(z?3)C4，(本题10分) 计算积分?2?6， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1）f(z)?（2）f(z)?1， 0?z?1?1； 1?z?1??? 2z(1?z)ln(1?z)， 0?z?1 2z??7，(本题5分) 计算积分?

0x2dx。 4x?1《复变函数-A 》试卷第 2 页 共 6 页

华南理工大学期末考试 2009《复变函数》试卷 A答案

1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知 z4?1?i，则z所有取值为

z?2e

82nk?164??(n?0,1,2,3)

（2）设函数f(z)在单连通区域D内解析，C是D内一条简单正向闭曲线，

f(z)?在C的外部，则积分?dz? 0 2009(z??)C（3）在映射w?z2下，区域w?1， 0?argw??的原像为

??{zz?1,0?argz?????argz??}

22（4）函数 w?x2?ixy 在如下范围内可导：(0,0) （5）计算积分?(z?i)e?zdz? 1?i?ei

0i

（6）函数f(z)?ezcosz2在z0?0的泰勒展开式为

z61381?z??z?...

22422

2，计算题，(每题5分，合计25分)。

5i12) ii 的值 （1）计算 Ln(? 和

Ln(5?12i)?ln13?iArctan12 5ii?eiLni?ei[lni?i(?2k?)]2??e?(?2k?)2?,n?Z

（2）求解方程ch z?1

chz?cos(iz)?1iz?2k? z??2k?i

（3）设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)在复平面上解析，求l，m，n

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u?my2?nx2y,v?x3?lxy2?u?v?2nyx,?2lxy?x?y2nyx?2lxy?n?l?u?v?2my?nx2,???3x2?y?x2my?nx2??3x2?m?0,n??3?m?0,n?l??3（4）计算积分?C

zdz，其中C:z?2正向 z

C的参数方程：z=2ei?(0?z?2?)原式=?2?02?2?2e-i?i?

ied???id??i??2?i0021sinzz（5）函数 f(z)?3和g(z)?e?1 都有什么奇点？如果是极点，请指出它是

z几阶极点。

f(z),0,极点，且m=2。 g(z),1,本性奇点。

3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

?n2n（1）?nz；

n?1e（2）?enzn。

n?1?i?（）1limnn??n2?1n2?1?limen?eenn????R?e(2)limnen??ni

i?limen??n2?limcosn???n2_isin?n2?1R?14，(本题10分) 计算积分?2?01d?， 0?p?1。 21?2psin??p《复变函数-A 》试卷第 4 页 共 6 页

设z?ei?则sin??原式?pi,z?1?11dz(z?),d??2iziz1dzpz2?(p2?1)iz?p11为不解析点，且?1pipi1z?1piz?piz?pi

??pip2?1Res(f(z),pi)?lim(z?pi)f(z)?lim2?pp2?1?原式?2?iRes(f(z),pi)?5，(本题10分) 计算积分?C1dz， C:z?2，为正向曲线。

(z2?1)5(z?1)(z?3)Res(f(z),?)?0原式??2?i[Res(f(z),3)?Res(（z），f?)] ?2?i?31056， (本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数：

（1）f(z)?（2）f(z)?1， 0?z?1?1； 1?z?1??? 2z(1?z)ln(1?z)， 0?z?1 2z(1)0?z?1时1111?n?nf(z)?????z?(n?1)z??z1?z(1?z)2z00z?1时1111?1n?1?n?1n?2f(z)??????()??()11zz(1?）[z(1?）]2z0zz0zzzn(?1)?n?2?nnzn?1(2)原式???(?1) 2znn?1?n

7，(本题5分) 计算积分???0x2dx。 4x?1《复变函数-A 》试卷第 5 页 共 6 页

原式??,存在四个一阶极点??i1x?2x取r?1,以O为圆心，r为半径做圆，考虑上半圆盘D，记边界为02??dx?Lr?[?r,r],z?e4,e在半圆盘内，由留数定理得i3?i4?rdx??dz?4?2?i[Res(f(z),e)?Res(f(z),ei3?i4)]-rx2?1Lrx2z2?1z2?3??e4i?e4i2i4e?i??4?dzL?1r21r4?1?rz?z2limz???dzL?0rz2?1z2且原函数为偶函数?原式=?2i4

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