概率论与数理统计课后题答案

1 第1章

三、解答题

1．设P(AB) = 0，则下列说法哪些是正确的？ (1) A和B不相容； (2) A和B相容； (3) AB是不可能事件； (4) AB不一定是不可能事件； (5) P(A) = 0或P(B) = 0 (6) P(A – B) = P(A) 解：(4) (6)正确.

2．设A，B是两事件，且P(A) = 0.6，P(B) = 0.7，问： (1) 在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ (2) 在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？ 解：因为P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)， 又因为P(B)?P(A?B)即P(B)?P(A?B)?0. 所以

(1) 当P(B)?P(A?B)时P(AB)取到最大值，最大值是P(AB)?P(A)=0.6.

(2) P(A?B)?1时P(AB)取到最小值，最小值是P(AB)=0.6+0.7-1=0.3. 3．已知事件A，B满足P(AB)?P(AB)，记P(A) = p，试求P(B)． 解：因为P(AB)?P(AB)，

即P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)， 所以 P(B)?1?P(A)?1?p.

4．已知P(A) = 0.7，P(A – B) = 0.3，试求P(AB)．

解：因为P(A – B) = 0.3，所以P(A )– P(AB) = 0.3, P(AB) = P(A )– 0.3, 又因为P(A) = 0.7，所以P(AB) =0.7– 0.3=0.4，P(AB)?1?P(AB)?0.6.

5． 从5双不同的鞋子种任取4只，问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少？ 解：显然总取法有n?C410种，以下求至少有两只配成一双的取法k： 法一：分两种情况考虑：k?C121)2+C25C4(C25

其中：C1215C4(C2)2为恰有1双配对的方法数 11法二：分两种情况考虑：k?C1?C8?C6252!+C5

其中：C1C118?C65?2!为恰有1双配对的方法数

法三：分两种情况考虑：k?C12?C125(C84)+C5 其中：C1215(C8?C4)为恰有1双配对的方法数 法四：先满足有1双配对再除去重复部分：k?C125C8-C25

1

2 414法五：考虑对立事件：k?C10-C54(C2)

14 其中：C54(C2)为没有一双配对的方法数

法六：考虑对立事件：k?C1114101?C10?C8?C6?C44!1111

其中：所求概率为p?C10?C8?C6?C44!kC410为没有一双配对的方法数

?1321.

6．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任取3人记录其纪念章的号码．求： (1) 求最小号码为5的概率； (2) 求最大号码为5的概率． 解：(1) 法一：p?C5212C10C4C23103?112120，法二：p?C3A5A103?112120

(2) 法二：p??，法二：p?C3A4A31012?

7．将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率． 解：设M1, M2, M3表示杯子中球的最大个数分别为1，2，3的事件，则

P(M1)?A4433221?38, P(M2)?C3?A443?916, P(M3)?C443?116

8．设5个产品中有3个合格品，2个不合格品，从中不返回地任取2个，求取出的2个中全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少？

解：设M2, M1, M0分别事件表示取出的2个球全是合格品，仅有一个合格品和没有合格品，则 P(M2)?C3C52211?0.3,P(M1)?C3C2C52?0.6,P(M1)?C2C522?0.1

9．口袋中有5个白球，3个黑球，从中任取两个，求取到的两个球颜色相同的概率．

解：设M1=“取到两个球颜色相同”，M1=“取到两个球均为白球”，M2=“取到两个球均为黑球”，则M?M1?M2且M1?M2??.

所以P(M)?P(M1?M2)?P(M1)?P(M2)?C5C228?C3C228?1328.

10． 若在区间(0，1)内任取两个数，求事件“两数之和小于6/5”的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示任取两个数，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 任取两个数的所有结果构成样本空间? = {(x，y)：0 ? x，y ? 1} 事件A =“两数之和小于6/5”= {(x，y) ? ? ： x + y ? 6/5} 因此

A的面积?的面积?4?1????2?5?112P(A)???1725．

图？ 2

3

22ax?x（a为常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面

11．随机地向半圆0?y?积成正比，求原点和该点的连线与x轴的夹角小于

?4的概率．

解：这是一个几何概型问题．以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标，?表示原点和该点的连线与x轴的夹角，在平面上建立xOy直角坐标系，如图. 随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间 ?={(x，y)：0?x?2a,0?y? 事件A =“原点和该点的连线与x轴的夹角小于 ={(x，y)：0?x?2a,0?y?因此

1P(A)?A的面积?的面积?2a?12222ax?x}

?4”

?42ax?x,0???2}

142?a2?1?a??1． 2 12．已知P(A)?14,P(BA)?1314,P(AB)??13?11212，求P(A?B)．

P(AB)P(A|B)112?13 解：P(AB)?P(A)P(BA)?,P(B)?1416?112?12?16,

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)???.

13．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是多少？

解：题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品，则两件均为不合格品的概率”。 设A=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”，B=“两件均为不合格品”；

P(A)?1?P(A)?1?C6C22102?23，P(B)?21523C4C210?215，

P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)P(A)?/?15

14．有两个箱子，第1箱子有3个白球2个红球，第2个箱子有4个白球4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中取出一个球，此球是白球的概率是多少？已知上述从第2个箱子中取出的球是白球，则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少？

解：设A=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”，B=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”，则

P(A)?C2C115?35,P(A)?25，由全概率公式得

35C5C1P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)??19?25?C4C119?2345,

3

4 由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(A)P(B|A)P(B)?35?C5C911/2345?1523.

15．将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，而B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？

解：设M=“原发信息是A”，N=“接收到的信息是A”， 已知

P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.01,P(M)?2313.

所以

P(N|M)?0.98,P(N|M)?0.99,P(M)?,

由贝叶斯公式得

P(M|N)?P(M)P(N|M)P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)?221196?0.98?(?0.98??0.01)?. 333197

111 16．三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,,，问三人中至少有一人能将此密

534码译出的概率是多少？

解：设Ai=“第i个人能破译密码”，i=1,2,3. 已知P(A1)?15,P(A2)?13,P(A3)?14,所以P(A1)?45,P(A2)?23,P(A3)?34,

至少有一人能将此密码译出的概率为

1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A2)?1?45?23?34?35.

17．设事件A与B相互独立，已知P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7，求P(BA). 解：由于A与B相互独立，所以P(AB)=P(A)P(B),且

P(A∪B)=P(A)+ P(B) - P(AB)= P(A)+ P(B) - P(A)P(B)

将P(A) = 0.4，P(A∪B) = 0.7代入上式解得 P(B) = 0.5，所以

P(BA)?1?P(BA)?1?P(AB)P(A)?1?P(A)P(B)P(A)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

或者,由于A与B相互独立,所以A与B相互独立，所以

P(BA)?P(B)?1?P(B)?1?0.5?0.5.

18．甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率是多少？

解：设A=“甲射击目标”，B=“乙射击目标”，M=“命中目标”， 已知P(A)=P(B)=1,P(MA)?0.6,P(MB)?0.5,所以

P(M)?P(AB?AB?AB)?P(AB)?P(AB)?P(AB).

4

5 由于甲乙两人是独立射击目标，所以

P(M)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.5?0.4?0.5?0.6?0.5?0.8.

P(A|M)?P(AM)P(M)?P(A)P(M|A)P(M)?1?0.60.8?0.75

19．某零件用两种工艺加工，第一种工艺有三道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，0.1；第二种工艺有两道工序，各道工序出现不合格品的概率分别为0.3，0.2，试问： (1) 用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些？

(2) 第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时，情况又如何？

解：设Ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2,3； Bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”，i=1,2.

（1）根据题意，P(A1)=0.7，P(A2)=0.8，P(A3)=0.9，P(B1)=0.7,P(B2)=0.8, 第一种工艺加工得到合格品的概率为

P(A1A2A3)= P(A1)P(A2)P(A3)=0.7?0.8?0.9?0.504,

第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.8?0.56,

可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。

（2）根据题意，第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504，而P(B1)=P(B2)=0.7, 第二种工艺加工得到合格品的概率为

P(B1B2)= P(B1)P(B2)=0.7?0.7?0.49.

可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。

1．设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件ABC = ?，P(A)?P(B)?P(C)?P(A?B?C)?91612,且已知

，求P(A)．

解：因为ABC = ?，所以P(ABC) =0,

因为A，B，C两两相互独立，P(A)?P(B)?P(C),所以

P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(A)P(B)?P(B)P(C)?P(A)P(C)?3[P(A)]

2由加法公式P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)得

3P(A)?3[P(A)]?2916 即 [4P(A)?3][4P(A)?1]?0

考虑到P(A)?12,得P(A)?14.

2．设事件A，B，C的概率都是

12，且P(ABC)?P(ABC)，证明：

122P(ABC)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?．

证明：因为P(ABC)?P(ABC)，所以

P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?[P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]P(A)?P(B)?P(C)?12将

代入上式得到

5

6 P(ABC)?1?[32?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)]

整理得

2P(ABC)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?12.

3．设0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，P(A|B) +P(A|B)?1，试证A与B独立． 证明：因为P(A|B) +P(A|B)?1，所以

P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?P(AB)P(B)?1?P(A?B)1?P(B)?1,

将P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)代入上式得

P(AB)P(B)?1?P(A)?P(B)?P(AB)1?P(B)P(AB)?P(A)P(B),

?1,

两边同乘非零的P(B)[1-P(B)]并整理得到 所以A与B独立.

4．设A，B是任意两事件，其中A的概率不等于0和1，证明P(B|A)?P(B|A)是事件A与B独立的充分必要条件．

证明：充分性，由于P(B|A)?P(B|A)，所以

P(AB)P(A)P(AB)P(A)?P(AB)P(A),即

?P(B)?P(AB)1?P(A),

两边同乘非零的P(A)[1-P(A)]并整理得到P(AB)?P(A)P(B),所以A与B独立. 必要性：由于A与B独立，即P(AB)?P(A)P(B),且P(A)?0,P(A)?0,所以 一方面

P(B|A)?P(AB)P(A)?P(A)P(B)P(A)?P(B),

另一方面

P(B|A)?P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)P(A)?P(B)?P(A)P(B)P(A)?P(B),

所以P(B|A)?P(B|A).

5．一学生接连参加同一课程的两次考试．第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为

p2.

(1) 若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率． (2) 若已知他第二次及格了，求他第第一次及格的概率．

解：设Ai=“第i次及格”，i=1，2.已知P(A1)?p,P(A2|A1)?p,P(A2|A1)?由全概率公式得 6

p2,

7 P(A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A1)P(A2|A1)?p?(1?p)2p2

(1) 他取得该资格的概率为

P(A1?A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)?P(A1)?P(A2)?P(A1)P(A2|A1),?p?p?(1?p)22p2?p?23p?p2.

(2) 若已知他第二次及格了，他第一次及格的概率为

P(A1|A2)?P(A1A2)P(A2)?P(A1)P(A2|A1)P(A2)?2p?pp?(1?p)p2?2pp?1.

6．每箱产品有10件，其中次品从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品为不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2%，一件次品被误判为正品的概率为10%．求检验一箱产品能通过验收的概率．

解：设Ai=“一箱产品有i件次品”，i=0，1，2.设M=“一件产品为正品”，N=“一件产品被检验为正品”. 已知P(A0)?P(A1)?P(A2)?由全概率公式

P(M)?P(A0)P(M|A0)?P(A1)P(M|A1)?P(A2)P(M|A2)?P(M)?1?P(M)?1?910?11013(1?910?810)?910,

13,P(N|M)?0.02,P(N|M)?0.1,

,又P(N|M)?1?P(N|M)?1?0.02?0.98,

由全概率公式得一箱产品能通过验收的概率为

P(N)?P(M)P(N|M)?P(M)P(N|M)?910?0.98?110?0.1?0.892.

7．用一种检验法检验产品中是否含有某种杂质的效果如下．若真含有杂质检验结果为含有的概率为0.8；若真含不有杂质检验结果为不含有的概率为0.9；据以往的资料知一产品真含有杂质或真不含有杂质的概率分别为0.4和0.6．今独立地对一产品进行三次检验，结果是两次检验认为含有杂质，而有一次认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率．

解：A=“一产品真含有杂质”，Bi=“对一产品进行第i次检验认为含有杂质”，i=1,2,3.

已知独立进行的三次检验中两次认为含有杂质，一次认为不含有杂质，不妨假设前两次检验认为含有杂质，第三次认为检验不含有杂质，即B1，B2发生了，而B3未发生. 又知P(Bi|A)?0.8,P(Bi|A)?0.9,P(A)?0.4,所以

P(Bi|A)?0.2,P(Bi|A)?0.1,P(A)?0.4,P(A)?0.6,

所求概率为P(A|B1B2B3)?P(AB1B2B3)P(B1B2B3)?P(A)P(B1B2B3|A)P(A)P(B1B2B3|A)?P(A)P(B1B2B3|A),

由于三次检验是独立进行的，所以 P(A|B1B2B3)??P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)?P(A)P(B1|A)P(B2|A)P(B3|A)?0.905.0.4?0.8?0.8?0.20.4?0.8?0.8?0.2?0.6?0.1?0.1?0.9

7

8 8．火炮与坦克对战，假设坦克与火炮依次发射，且由火炮先射击，并允许火炮与坦克各发射2发，已知火炮与坦克每次发射的命中概率不变，它们分别等于0.3和0.35.我们规定只要命中就被击毁．试问 (1) 火炮与坦克被击毁的概率各等于多少？ (2) 都不被击毁的概率等于多少？

解：设Ai=“第i次射击目标被击毁”，i=1,2,3,4. 已知P(A1)?P(A3)?0.3,P(A2)?P(A4)?0.35,所以

P(A1)?P(A3)?0.7,P(A2)?P(A4)?0.65,

(1) 火炮被击毁的概率为

P(A1A2?A1A2A3A4)?P(A1A2)?P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.35?0.7?0.65?0.7?0.35?0.356475

坦克被击毁的概率为

P(A1?A1A2A3)?P(A1)?P(A1A2A3)?P(A1)?P(A1)P(A2)P(A3)?0.3?0.7?0.65?0.3?0.4365

(2) 都不被击毁的概率为

P(A1A2A3A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?0.7?0.65?0.7?0.65?0.207025.

9．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两次为止，此人即为冠军，而每次比赛双方取胜的概率都是

12，现假定甲乙两人先比，试求各人得冠军的概率．

解：Ai=“甲第i局获胜”， Bi=“乙第i局获胜”，Bi=“丙第i局获胜”，i=1,2,….， 已知P(Ai)?P(Bi)?P(Ci)?12,i?1,2,...，由于各局比赛具有独立性，所以

在甲乙先比赛，且甲先胜第一局时，丙获胜的概率为

1?1??1??1?P(A1C2C3?A1C2B3A4C5C6?A1C2B3A4C5B6A7C8C9?...)??????????...?,7同样，在甲乙?2??2??2?17369先比赛，且乙先胜第一局时，丙获胜的概率也为丙得冠军的概率为2?17?27,

12(1?27)?514.

,甲、乙得冠军的概率均为

第二章

2

一、填空题：

1. P?X?x?，F(x2)?F(x1)

kkn?k2. P{X?k}?Cnp(1?p)，k = 0，1，…，n

3. P{X?k}?4.

11???kk!e??,??0为参数，k = 0，1，…

8

9 ?1, a?x?b 5. f(x)???b?a??0, 其它6. f(x)?12???(x??)2?22ex2,???x???

7. ?(x)?8. ?(9.

b??12?e?2,???x???

)

?)??(a???X -1 1 2 pi 0.4 0.4 0.2 分析：由题意，该随机变量为离散型随机变量，根据离散型随机变量的分布函数求法，可观察出随机变量的取值及概率。 10.

964

121分析：每次观察下基本结果“X≤1/2”出现的概率为?的观察可看作是3重伯努利实验，所以

-?f(x)dx??202xdx?14，而本题对随机变量X取值

13?29212P?Y?2??C3()(1?)?

446411. P?X ?2.2??P???X?12?2.2?1?2.2?1)?0.7257, ???(2?2X?15.8?1?5.8?1?1.6?1??1.6?1P??1.6?X ?5.8??P???)??()???( 222?22???(2.4)??(?1.3)??(2.4)??(1.3)?1?0.8950,同理，P{| X | ? 3.5} =0.8822. 12. G(y)?P?Y?3X?1?y??P?X???y?1?y?1?F(). ?3?313.

1348，利用全概率公式来求解：

P?Y?2??P?Y?2X?1?P?X?1??P?Y?2X?2?P?X?2? ?P?Y?2X?3?P?X?3??P?Y?2X?4?P?X?4? ?0?14?12?14?13?14?14?14?1348.二、单项选择题：

1. B，由概率密度是偶函数即关于纵轴对称，容易推导

F(-a)=??a??f(x)dx??0??f(x)dx-?0-af(x)dx?12-?0-af(x)dx?12??a0f(x)dx

2. B，只有B的结果满足F(??)?limF(x)?1

x??? 9

10 3. C，根据分布函数和概率密度的性质容易验证

?2,X?24. D，Y??，可以看出Y不超过2，所以

X,X?2??1, y?2?1, y?2?1, y?2???x?yFY(y)?P?Y?y?????y1???,??0， ?edx,y?2??P?X?y?,y?2??0?1?e,y?2??可以看出，分布函数只有一个间断点.

5. C, 事件的概率可看作为事件A（前三次独立重复射击命中一次）与事件B（第四次命中）同时发生的概率，

即

13?2 p?P(AB)?P(A)P(B)?C3p(1?p)?p.

三、解答题

（A）

1．(1)

X pi 1 11362 9363 7364 5365 3366 136

分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共36种，如果X=1，则表明两次中至少有一点数

11为1，其余一个1至6点均可，共有C2?6-1（这里C2指任选某次点数为1，6为另一次有6种结果11均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C2?6多算了一次）或C2?5?1种，故

P?X?1??C2?6-1361?C2?5?1361?1136,其他结果类似可得.

(2)

x? 0 ，?P{X??P{X?F(x)??P{X?P{X??P{X? x?1 ，?1?1}，1?x?2?1}?P{X?2}，2?x?3?1}?P{X?2}?P{X?3}， 3?x?4?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}， 4?x?5?1}?P{X?2}?P{X?3}?P{X?4}?P{X?5}，5?x?6?6

10

11 ? 0 ， x?1??11?36，1?x?2??20，2?x?3?36 ???27， 3?x?4 ?36?32?， 4?x?5?36?35?，5?x?6?36?1 ， x?62．

X-91 9 p1251i 126126 注意，这里X指的是赢钱数，X取0-1或100-1，显然P?X?99??2C5?110126.

?3．?a?k???1，所以a?e??.

k?0k!?ae?0，x?-1?0，x?-1???1，?4．(1) f(x)??P{X??1}，?1?x?21?x?2??P{X??1}?P{X?2}，2?x?3???4，

?3?，?1，x?3?2?x?3?4?1，x?3(2) P??X?1?2?p P???X??1??1、 ??3?X?5???P?X?2??1、 ?4?22?2 P?2?X?3??P??X?2???X?3???P?X?2??P?X?3??34；

??1??1?1??225．(1) P?X?偶数??111?2?2i????122?24???22i???limi??????1?13， ?22??(2) P?X?5??1?P?X?4??1?1516?116，

11

12 i1??1??1??3??3?2?2???11??. ?lim?3ii??1721?32(3) P?X?3的倍数???i?1?6．(1) X~P?0.5t??P?1.5? P?X?0??e?1.5. (2) 0.5t?2.5 P?x?1??1?P?x?0??1?e?2.5. 7．解：设射击的次数为X，由题意知X~B?400，0.2?

P?X?2??1?P?X?1??1??1??1k?0C4000.020.98kk400?k?1k?08Kk!e?8?1?0.28?0.9972，其中8=400×0.02.

8．解：设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数，X~B?5，0.3? 则指示灯发出信号的概率

p?P?X?3??1?P?X?3??1?(C50.30.7?C50.30.7?C50.30.7)

005114223 ?1?0.8369?0.1631；

?x9. 解：因为X服从参数为5的指数分布，则F(x)?1?e5，P?X?10??1?F(10)?e?2，Y~B?5，e?2?

k?2k?25?k则P{Y?k}?C5(e)(1?e),k?0,1,?5

P{Y?1}?1-P{Y?0}?1?（1?e）?0.5167

?2510. (1)、由归一性知：1???????f(x)dx????2?2acosxdx?2a，所以a?12?12.

(2)、P{0?X??4}??4120cosxdx?sinx|04?24.

11. 解 （1）由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)?limF(x)?F(1)，即A=1.

x?1?x?1?（2）P?0.3?X?0.7??F(0.7)?F(0.3)?0.4. （3）X的概率密度f(x)?F?(x)???2x,0?x?1?0, .

?10?x?5?12. 解 因为X服从（0，5）上的均匀分布，所以f(x)??5

?0其他? 若方程4x?4Xx?X?2?0有实根，则??(4X)?16X?32?0，即 X?2 X??1 ，所以有实根的概率为 p?P?X?2??P?X??1??222?5152dx???1??0dx?15x52?35

4) 所以 13. 解: (1) 因为X~N(3，P{2?X?5}?F(5)?F(2)

12

13 ??(1)??(0.5)?1?0.8413?0.6915?1?0.5328

P??4?X?10??F(10)?F(?4)

??(3.5)??(?3.5)?1?2?(3.5)?1?2?0.998?1?0.996

P?X?2??1?P?X?2??1?P??2?X?2?

?1??F(2)?F(?2)??1???(?0.5)??(?2.5)?

?1???(2.5)??(0.5)??1?0.3023?0.6977

P?X?3??1?P?X?3??1?F(3)?1??(0)?1?0.5?0.5

(2) P?X?c??1?P?X?c?，则P?X?c??12?F(c)??(c?312)?2，经查表得?(0)?12，即

c?3c?32?0，得；由概率密度关于x=3对称也容易看出。

(3) P?X?d??1?P?X?d??1?F(d)?1??(d?32)?0.9，

则?(d?32)?0.1，即?(-d?32)?0.9，经查表知?(1.28)?0.8997，

故-d?32?1.28，即d?0.44；

14. 解：P?X?k??1?P?X?k??1?P??k?X?k??1??(k?)??(?k?)

?2?2?(k?)?0.1

所以 ?(k?)?0.95，p?X?k??F(k)??(k?)?0.95；由对称性更容易解出；

15. 解 X~N(?,?2)则 P?X??????P?????X?????

?F(???)?F(???) ??(??????)??(??????)

??(1)??(?1) ?2?(1)?1?0.682 6上面结果与?无关，即无论?怎样改变，P?X?????都不会改变； 16. 解：由X的分布律知

p 1115 16 5 15 1130 x -2 -1 0 1 3 X2 4 1 0 1 9

13

14 X

2 1 0 1 3

所以 Y的分布律是

Z的分布律为

Y 0 p 151 7304 159 1130 Y 0 p 151 7302 153 1130? 217. 解 因为服从正态分布N(?,?2)，所以f(x)?12??(x??)2?2e，

则 F(x)?12???x?(x??)2?22e??dx，FY(y)?p?e?y?，

x当y?0时，FY(y)?0，则fY(y)?0 当y?0时，FY(y)?p?ex?y??p?x?lny?

fY(y)?FY(y)?(F(lny))??'1y12???(lny??)2?22e

?1?所以Y的概率密度为fY(y)??y??0?1X~U(0,1)f(x)?18. 解，??012???(lny??)2?22ey?0； y?00?x?1 ，

FY(y)?p?Y?y??p?1?x?y??1?F(1?y)，

所以fY(y)?fX(1?y)???1,0?1?y?1?0,其他?1,0?y?1 ???0,其他?119. 解：X~U(1,2)，则f(x)???01?x?2其他

FY(y)?P?Y?y??Pe当y?0时，FY?(y)?P?e2X2X?y ??y??0，

当y?0时， 14

15 FY(y)?P???X?12lny????FX(12lny)， '1?f?1f1X(lny)e2?x?e4Y(y)?FY(y)?(F(2lny))???22??0其他?1

2???2ye?x?e4??0其他20. 解: (1) F?1Y1(y)?P?Y1?y??P?3X?y??P?X??3y???F1?X(3y)

f'Y1(y)?FY1(y)?(F(13y))??13fX(13y)

?因为f?3x2?1?x?1X(x)??

?2?0其他11?122所以f?y,?1?1Y1(y)?3fX(3y)?????3?y?3?y,?183y?1?1?0,其他?18?0,其他

(2) FY2(y)?P?Y2?y??P?3?X?y??P?X?3?y??1?FX(3?y)，

f'Y2(y)?FY2(x)?[1?FX(3?y)]'?fX(3?y)

?3因为f(x)???x2?1?x?1X，

?2?0其他?3 所以fy)?f?(3?y)2,?1?3?y?1??3(3Y2(X(3?y)?????22?y)2,2?y?4?0,其他??0,其他（3）F2YyP3()??Y3?y??P?X?y? 当y?0时，F'Y3(y)?P?X2?y??0，fY()3y?FY(3x)?0

当y?0时，FY3(y)?P??y?X?y??FX?y??FX(?y)，

f'?y??F(?'1Y3(y)?FY3(x)?[Fy)]?[fy?y)]

2yX???fX(?1所以 f(y)???2y[fX?y??fX(?y)],y?0Y3??0,y?0，

?3fx2因为??1?x?1X(x)??，

?2?0其他

15

当x+ y≤1时，f ( x,y)≠fX ( x) f Y(y),所以X和Y不是相互独立的

2

36 2

22. 设随机变量(X, Y )的概率密度为

?1/2,f(x,y)???0|y|?2x,0?x?1其它.

y验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的．

解：由于f ( x,y)的非零区域为D: 0 < x < 1, | y |< 2x E(X)?1y?2x??Dxf(x,y)dxdy???012x12122x?2xxdydx??2xdx?0223,

OE(Y)???Dyf(x,y)dxdy???012x?2x1ydydx?0, 12xydydx?0,所以Cov(X，

xE(XY)???Dxyf(x,y)dxdy???0?2xy??2xY)=0，从而

?xy?Cov(x,y)D(x)?D(y)?0，因此X与Y不相关 .

fX(x)?????2x1?dy?2x,0?x?1 f(x,y)dy????2x2?0,其他?f1y?11dx??,?2?y?0???y224?2??1y?1(y)??f(x,y)dx???y2dx??,0?y?2 Y??24?20,其他???所以，当0

.1. 某公司计划开发一种新产品市场，并试图确定该产品的产量，他们估计出售一件产品可获利m元，而积压一件产品导致n元的损失，再者，他们预测销售量Y（件）服从参数?的指数分布，问若要获利的数学期望 36

37 最大，应该生产多少件产品？（设m,n,?均为已知）.

解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y ?mY?n(x?Y),0?Y?x? Q Q ( Y ) ? ? 0< y

mx,Y?x? y?1 ? x ?e? , y?0,??0Y的边缘密度函数为f(y)??Y ??0,y?0?

yy??x??11??? E(Q)??Q(Y).fY(Y)dy???my?n(x?y)?e.dy??mx.edy??0x?? yyy???xx????? ??(m?n)yde?nxde??0?0?xmxde

yyyy?????x?xx ??(m?n)ye??e??m?n?dy??nxe??mxe???00x?0?? ??xyxx ????x??(m?n)xe???m?n??e?0?nxe??nx?mxe?

x? ???(m?n)?e??m?n??nx xx???dE(Q)1? 令??(m?n)?e?????n?(m?n)e??n?0dx???

x?nn ?则e?,?x???lnm?nm?n

x2 dE(Q)m?n??又??e?0 dx?n

?当x???ln时，E(Q)取最大值m?n2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为?的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则

?XY???rX?rX?r?k????e,k?rk!?的分布为P?Y?k???k?????,k?r?e??k?rk!，Y

设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为

?my?n?r?y?Z?g?Y????mr?r?1k?E?g?Y??????k?0k!?Y?rY?r

??e?????km??r?k?n????kk??????i?rk!?e??mr??k??k?m?n??r?1k?0r?2k!kee????nr?r?1k?0r?1kk!kee????mr?r?1k?0k!e??k????mr???k?0k!?e??????

??m?n??????k?0k!?nr?k?0???k!?mr 37

38 当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大.

用软件计算??100,m?10,n?0时E?g?Y???100,此时r?150

(B)组题

1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率．

解：(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为 P{X?k}?C3C3C63k3?k， k=0,1,2,3.

即 X 0 1 2 3 pi 因此

E(X)?0?120?1?920?2?920?3?120?32.

120

920

920

120

(2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有

3 P(A)??P{Xk?03?k}P{AX?k}

k613 =?P{X?k}?k?0?kP{X?6k?0?k}

=

16E(X)?131??. 6240?x??，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大其他x?1?cos,2. 随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?于

?3的次数，求Y 2的数学期望 解：依题意，Y~B(4, p), p=P{X >

?3}=

???/3f(x)dx????/312cosx2dx?sin2

x2???/312

2

所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y) = D(Y)+[E(Y)]=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量

??1,X???1,若U??1;若U??1??1,Y???1,若U?1.

若U?1试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)D(X?Y)．

38

39 ?1, 解：(1) fU(u)???4??0,?2?u?2 其他?1P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=?P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1

14?1du?12，

2P{X =1, Y =1}= P{U > -1且U >1}= P{U > 1}=?所以X和Y的联合分布律为 X -1 Y -1 1 1/4 0 1/2 1/4 X pi Y 1 141du?14，

(2) X和Y的边缘分布律分别为

– 1 1/4 – 1 1 3/4 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2

4. 设随机变量X的期望E(X)与方差D(X)存在，且有E(X)?a,D(X)?b(b?0)，Y?E(Y)?0,D(Y)?1．

X?ab，证明

证明：首先证明E（Y）存在

(1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：P{X?xi}?pi,i,?1,2,? 则由E(X)存在知，E(X)?记Y?X?ab???xi?1ipi绝对收敛，且E(X)?a,

??g(X),则?g(xi)pi?i?1?i?1?xi?a??b??1?p??ib???i?1xipi?ab绝对收敛，

所以E（Y）存在，E(Y)?E???X?a??X?a,??0D(Y)?D???b?b???D(X)???1 ?b?(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则：

39

40 由E?X?存在知则???????xf?x?d?x?绝对收敛。1???xf?x?d?x???????bX?ab??f?x?d?x????????af?x?d?x????1???xf?x?d?x??????b?a???a?绝对收敛??因为?????xf?x?d?x?绝对收敛，所以?X?aE?Y??E??b?1???xf?x?d?x???????b

即E?Y?存在，且?X?aD?Y??D??b??11???E?X??a??0?EX?a???bb??11???D?X?a??D?X??1b?b2

5. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk,(k?1,2,?)，且E(X)，E(X )，D(X)都存在，试证明：函数f(x)???(xk?1k2?x)pk在x?E(X)时取得最小值，且最小值为D(X)．

?证明：令df(x)??2?(xk?x)pk?0，

dxk?1?则??xkpk?k?1???xpk?1?k?0，

??xk?1kpk?x?pk??E(X)?x?0，所以，x?E(X)

k?1又

df(x)dx22?1?0，所以x?E(X)时，f(x)????(xk?1k2?x)pk取得最小值，此时

f(E(X))??(xk?1k?E(X))pk?D(X)

2 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为

X pi 记U?max(X,Y),V?min(X,Y)， (1) 求(U，V)的分布律；

(2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y 1 X 1 2 (X ,Y) pij U V 40

4/9 2/9 2 2/9 1/9 （1，1） 4/9 1 1 （1，2） 2/9 2 1 （2，1） 2/9 2 1 （2，2） 1/9 2 2 1 2/3 2 1/3

41 V 1 U 1 2 4/9 4/9 2 0 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为

?1/2,?fX(x)??1/4,?0,??1?x?00?x?2 其它令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)．

解：

E(X)??????xfｘ(x)dx?2?30?11/2xdx??02021/4xdx?1/4E(Y)?E(X)?3?????xfｘ(x)dx???2?0?1x/2dx??20x/4dx?5/62E(XY)?E(X)????xfｘ(x)dx?3??1x/2dx?23?20x/4dx?7/83

则：Cov(X,Y)?E(X)?E(X)E(X)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B)

P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数．

(1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1．

证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1 ?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 ,

??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B?

即??0是事件A和B独立的充分必要条件(2) 考虑随机变量X和Y

１，A出现?X＝?０，　A不出现?１，B出现? Y＝?

０，　B不出现?

41

42 X服从0-1分布:

X pi Y服从0-1分布:

X pi 可见, E?X??P?A?,E?Y??P?B?

0 1-P(B) 1 P(B) 0 1-P(A) 1 P(A) ????E?X???P?A?P?A?

D?Y??E?Y???E?Y???P?B?P?B?

D?X??EX2222Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??P?AB??P?A?P?B?

随机变量Ｘ和Ｙ的相关系数?1?P(AB)?P(A)P(B)P(A)P(A)P(B)P(B)??

由两随机变量的相关系数的基本性质有??1

第五章

5三、解答题

1. 设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且X～P(?)，X?P{|X??|?2?}的下界。

?ni?11nXi，试利用契比谢夫不等式估计

解：因为X～P(?)，E(X)?E(D(X)?D(1n1n?ni?1Xi)?1n21ni?E(Xni?1)?1n?n???

?ni?1Xi)?1n2n?i?1D(Xi)?n??1n?

由契比谢夫不等式可得

P{|X??|?2?}?1??/n4??1?14n

2. 设E(X) = – 1，E(Y) = 1，D(X) = 1，D(Y) = 9，? XY = – 0.5，试根据契比谢夫不等式估计P{|X + Y | ? 3}的上界。

解：由题知 ??X?Y????X????Y?=??1??1=0 Cov?X,Y?=?xy?D?X??D?Y?=??0.5??1?9= -1.5

D?X?Y??D?X??D?Y??2Cov?X,Y??1?9?2???1.5??7

所以P?X?Y?3????(X?Y)?0?3??79

3. 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布．现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率．

解：设i个元件寿命为Xi小时，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

则X1 ，X2 ，... ，X16独立同分布，且 E(Xi ) =100，D(Xi ) =10000，i = 1 ,2 , ...... , 16 ，

42

43 16164E(??i)?1600,D(??i)?1.6?10， i?1i?116由独立同分布的中心极限定理可知：??i近似服从N ( 1600 , 1.6?10000)，所以

i?116i?????i?1????1920?=1???????i?116i?16???i?1600?1920?1600i?1?1920??1??????160000?1.6?10000????? ?????1???0.8?=1- 0.7881= 0.2119

4. 某商店负责供应某地区1000人商品，某种商品在一段时间内每人需要用一件的概率为0.6，假定在这一时间段各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销（假定该商品在某一时间段内每人最多可以买一件）．

解：设商店应预备n件这种商品，这一时间段内同时间购买此商品的人数为X ， 则X ~ B（1000，0.6），则E(X) = 600，D (X ) = 240， 根据题意应确定最小的n，使P{X ≤n }= 99.7%成立. 则P{X ≤n }?????X?600240?n?600?n?600??()?0.997??(2.75) ?240?240所以n?2.75?240?600?642.6，取n=643。

即商店应预备643件这种商品，才能以99.7%的概率保证不会脱销。

5. 某种难度很大的手术成功率为0.9，先对100个病人进行这种手术，用X记手术成功的人数，求P{84 < X < 95}．

解：依题意, X ~ B（100，0.9），则E(X) = 90，D (X ) = 9，

P{84?X?95)?P{84?903?X?903?95?903}

55??()??(?2)??()?1??(2)?0.95254?1?0.97725?0.92979

336. 在一零售商店中，其结帐柜台替顾客服务的时间（以分钟计）是相互独立的随机变量，均值为1.5，方差为1．求对100位顾客的总服务时间不多于2小时的概率．

解：设柜台替第i位顾客服务的时间为X i ，i = 1,2,3.....100. 则X i ，i = 1,2,3.....100独立同分布，且E（X i）=1.5，D(X i )=1，所以

???100?P????i?1??? ????3??1???3??1?0.9987?0.0013

即对100位顾客的服务时间不多于两个小时的概率为0.0013.

?100??xi?100?1.5120?150??xi?120??P?i?1?100?1100????7. 已知笔记本电脑中某种配件的合格率仅为80%，某大型电脑厂商月生产笔记本电脑10000台，为了以99.7%的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件，问：此生产厂商每月至少应购买该种配件多少件？

解：设此生产厂商每月至少应购买n件该种配件，其中合格品数为X，则X ~ B(n，0.8), 0.997=P{X?10000}=错误！未找到引用源。P{

X?0.8n0.16n?10000?0.8n0.4n}?1??(10000?0.8n0.4n)错误！未找

43

44 到引用源。 ，

解得 n=12655错误！未找到引用源。

即此生产厂商每月至少应购买12655件改种配件才能满足以99.7错误！未找到引用源。的把握保证出厂的电脑均能装上合格的配件。

8. 已知一本300页的书中，每页的印刷错误的个数服从参数为0.2的泊松分布，试求整书中的印刷错误总数不多于70个的概率．

解：记每页印刷错误个数为Xi，i=1，2，3，…300，

则它们独立同服从参数为0.2的泊松分布，所以E（X i）=0.2，D(X i )=0.2 所以 ?300 P???i?1?300?X-0.2?300??i70-60???i?1?Xi?70??P?????0.2?30060????????10??? ?????1.29??0.90147?60?9. 设车间有100台机床，假定每台机床是否开工是独立的，每台机器平均开工率为0.64，开工时需消耗电能a千瓦，问发电机只需供给该车间多少千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产？

解：设发电机只需供给该车间m千瓦的电能就能以概率0.99保证车间正常生产， 记X为100台机床中需开工的机床数，则X ~ B(100，0.64), E（aX）=64a ，D(aX ) =100×0.64×0.36a

2

?aX?64am?64a?P?aX?m??P????0.99??(2.33)

4.8a??a100?0.64?0.36m?64a4.8a?2.33，所以m?64a?2.33?4.8a?75.18a

10. 某保险公司的老年人寿保险有1万人参加,每人每年交200元．若老人在该年内死亡，公司付给家属1万元．设老年人死亡率为0.017，试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率．

解：设当年内投保老人的死亡数为X，则X ~ B (10000,0.017)。 保险公司在一年内的保险亏本的概率为 P?X?200??1?P?X?200?

??200?10000?0.017 ?1?????170?(1?0.017)?????

?1??(2.321)?0.01

所以保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率是0.01

四、应用题

1. 某餐厅每天接待400名顾客，设每位顾客的消费额（单位：元）服从区间(20，100)上的均匀分布，且顾客的消费额是相互独立的，求该餐厅的日营业额在其平均营业额?760元内的概率．

解：设每位顾客的消费额为Xi ，i =1,2,…400, 且 X i ~ U (20，100)，则

E?Xi??100?202?60,D?Xi???100?20?122?80?8012?16003，

由独立同分布的中心极限定理 44

45 400 所以

?i?11600??Xi~N?400?60,40?0?,

3??近似?P??400?i?1Xi?400?60400??760???24000400??P??760??????P??????i?1Xi??760??i

760400????3????16003???????760400?16003400??i?1X?2400016003?400?????P??760????2??3?i?1Xi?2400016003?760400?3?760??1??1?0.9505?2??1.64542. 设某型号电子元件的寿命（单位：小时）服从指数分布，其平均寿命为20小时，具体使用时当一元件损坏后立即更换另一新元件，已知每个元件进价为110元，试问在年计划中应为此元件作多少元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应（假定一年工作时间为2000小时）．

解：设应为这种元件作m元的预算，即需进m/110个元件， 记第i件的寿命为Xi小时，i =1，2，3···, m/110，且X i ~ E (20)， 所以E（X i）= 20 ，D(X i ) = 400，

?m/110?P??Xi?2000? ?i?1?=

?n??Xi?20?m/1102000?20m/110?P?i?1?400?m/11020m/110?????11000?m?)??1??(110m???=0.95

?(m?11000110m)?0.95??(1.645)，所以

m?11000110m?1.645,所以m=12980

即在年计划中应为此元件作12980元的预算，才可以有95%的把握保证一年的供应.

3. 据调查某村庄中一对夫妻无孩子、有1个孩子、有2个孩子的概率分别为0.05，0.8，0.15．若该村共有400对夫妻，试求：(1) 400对夫妻的孩子总数超过450的概率；(2) 只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率．

解：(1) 设第k对夫妻 孩子数为X k ，则X k的分布律为

X k p 4004000 0.05 1 0.8 2 0.15 22则E(Xk)?0?0.05?1?0.80?2?0.15?1.1，D(Xk)?E(Xk)?E(Xk)?0.19

?k?1Xk?400?1.1??k?1Xk?440

?440?400?0.1976400 故P(?Xk?450)?P(k?1k?1400?Xk450?4407676)?1??(450?44076)?1??(1.147)?0.1357即400对夫妻的孩子

总数超过450的概率为0.1357

(2) 设Y为只有一个孩子的夫妻对数，则Y ~ B (400,0.8)，

45

46 P{Y?Y?400?0.8340?400?0.8??340}?P???400?0.8?0.2??400?0.8?0.2??(340?400?0.8400?0.8?0.2)??(2.5)?0.9938

即只有1个孩子的夫妻数不多于340的概率为0.9938． （B）

?xm?xme,x?0，1. 设随机变量X的概率密度为f(x)??m为正整数，证明：P{0?X?2(m?1)}?（提?m!m?1?其它?0,示：利用Chebyshev不等式）．

证明：E（X）=?E(X)?2??0xf(x)dx=???xm?10m!ex?xdx?e?(m?2)m!dx?2?(m?1)!m!?m?1，

???0xf(x)dx?22???x2m?20m!e?xdx??m!1??(m?3)?1?x?(m?3)m!0?(m?2)(m?1)

D(X)?E(X)??E(X)??(m?2)(m?1)?(m?1)?m?1

由切比雪夫不等式

P?0?X?2(m?1)?=P?X?(m?1)?m?1??1?m?1(m?1)2=

mm?1

2. 设{Xn:n?1}为独立同分布的随机变量序列，其共同的分布如下表所示，证明{Xn}服从Chebyshev大数定律．

Xn pk 证明：???i????2?2?2 0 1/2 2 1/4 ?0

1/4 ?14?0?2121?2?21412，

2D?Xi???Xi????Xi????2????2?4?0??(2)?14?0?1

又因为{Xn:n?1}独立且同分布，所以?Xn?服从切比雪夫大数定律.

23. 设随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，E(Xn)?0,D(Xn)??(0??2???)，又E(Xn)存在

4（n=1,2,…），证明：

1n?ni?1（提示：利用Chebyshev大数定律） Xi????．

2P22证明：因为随机变量序列{Xn:n?1}独立同分布，所以{Xi}也独立同分布

E(Xi)?D(Xi)?E(Xi)??22242244，D(Xi)?E(Xi)?[E(Xi)]?E(Xi)??存在

由Chebyshev大数定律，

1n?ni?1Xi????

2P2第六章 （A）

三、解答题

1. 已知总体X～B(1，p)，X1，X2，…，Xn是X的一个样本，求 (1) X1，X2，…，Xn的联合分布律;

46

47 (2)

n?i?1Xi的分布律;

(3) E(X),D(X),E(S2). 解：因为X的分布律为

P{X?k}?(1?p)1?kkp,k?0,1(0?p?1)

且X1，X2，…，Xn均于X独立同分布，所以 （1）X1，X2，…，Xn的联合分布律为

nP{X1?x1,X2?x2,...,Xn?xn}?nn?P{Xi?1i?xi}

?p?xii?1n?(1?p)?xii?1,xi?0,1,i?1,2,...,nyyn?y （2）因为Y?n?i?1Xi~B(n,p)，所以P{Y?y}?Cnp(1?p),y?0,1,2,3,...,n.

（3）因为，所以

E(X)?E(X)?p,D(X)?D(X)n?p(1?p)n,E(S)?D(X)?p(1?p).

2

2. 从总体N(52，6.3)中随机抽取一个容量为36的样本，计算样本均值X落在50.8到53.8之间的概率．

2?6.3 解：因为X~N(52，6.3)，所以 X~N?52,?36?2

2

??， ??)??(50.8?526.32

P{50.8?X?53.8}??(53.8?526.336)?0.8293

36 3. 某种灯管寿命X（以小时计）服从正态分布X ～ N(?，? )，X为来自总体X的样本均值． (1) 求X与?的偏差大于

2

2?n的概率．

(2) 若?未知，? = 100，现随机取100只这种灯管，求X与?的偏差小于1的概率．

2?? 解：因为X～N(?，? )，X~N??,?n?2

?X???，~N(0,1),所以 ??n????????2??X???X????X?????P?X????P?2?1?P?2?1?P?2??2??????? (1) ??n?n?n?n?????????????1?[?(2)??(?2)]?2?2?(2)?2?2?0.9772?0.0456. (2) 因为? = 100，n=100，?2

n?1，所以

???1??X????X???PX???1?P???P?1????n?n?n??????????

??(1)??(?1)?2?(1)?1?2?2?(1)?2?0.8413?1?0.6826. 4. 在天平上反复称量重量为w的物体，每次称量结果独立同服从N(w，0.04)，若以X表示n次称重的算术平均，则为使P{X?w?0.1}?0.95，n至少应该是多少？

解：X1，X2，…，Xn为称重的结果，则X1，X2，…，Xn相互对立且均服从N(w，0.04)，于是

X?w0.2n~N?0,1?，欲

47

48 ?X?w使P{X?w?0.1}?0.95，须使P?????0.2n0.10.2????0.95，即 n?????X?w?P??0.5n??2?(0.5n)?1?0.95, ???0.2n?解得?(0.5n)?0.975,查表得?(1.96)?0.975,

由于?(x)是递增函数，须使0.5n?1.96,解得n>15.366,故n至少为16. 5. 从正态总体N(?,0.52)中抽取样本X1，X2，…，X10

?2 (1) 已知? = 0，求P?X?4??i?；

?i?1??10 (2) ?未知，求P??(Xi?X)2?0.675??．

?i?1?10 解：（1）因为Xi～N(0，0.5 2)，令

Xi?00.5~N?0,1?，即2Xi~N?0,1?,

2???(2Xi)，则??22i?11010?(2Xi?1i22)~?(10)

由于

?10??10?22P??Xi?4??P??(2Xi)?16??P??i?1??i?1??2?16

?

查表知?02.1(10)?16，所以P??Xi2?4??P??2?16??0.1.

?i?1??10? (2) ）因为Xi～N(?，0.5 2)，即X~N???,?Xi?X~N?0,0.275?,

0.25??，所以 10?Xi?X0.275~N?0,1?,

10?(i?1Xi?X0.275)~?(10)

22?10Xi?X20.675??10Xi?X2??10?2)?)?2.4545?， P??(Xi?X)?0.675?=P??(??P??(0.275?0.2750.275?i?1??i?1?i?1?查表知?02.992(10)?2.45，所以

?10?2P??(Xi?X)?0.675??0.992 ?i?1? 6. 已知X ~ t (n)，求证X ~ F(1，n)．

证明：因为X ~ t (n)，存在Y ～ N(0，1)，Z ～ ?2(n)，Y与Z独立，使

X?YZn2

，

由于Y2~?2(1)，Z~?2(n)，且Y2与Z独立，所以

X2?Y2Zn~F(1,n).

48

49 第七章 7（A）

三、解答题

1. 设总体X服从几何分布，分布律为P?X?k??(1?p)k?1p,k?1,2,....，(0?p?1)求p的矩估计量． 解：因为P?X?k??(1?p)k?1p,k?1,2,....，所以X的一阶矩

nnnE(X)??kP{X?k}??k(1?p)k?1p??p(?(1?p)k)'k?1k?1k?1//

??p?1?p??1?p?11??1?(1?p)???p???p???p(?)?.?p2p用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到X?1p,

所以p的矩估计量为p??1X.

2. 求均匀分布X~U(a,b)中参数a,b的矩估计量．

解：设X1，X2，…，Xn为总体X的一个样本，总体X的一阶、二阶矩分别为

?a?b1?E(X)?

2 22?2 = E(X) = D(X) + [E(X)] 2

=

(b?a)a?b2?b2

12?(a?ab2)2?3用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到

??Aa?b1??2 ?a2?2?Aab?b2?3解得a,b的矩估计量为

a??A3n21?3A3n2?3A21?A1?n?X22i?3X?X?i?1n?(Xi?X)2

i?1nnb??A1?3A2?3A21?A1?3n?X2i?3X2?X?32)2

i?1n?(Xi?Xi?1 3. 设总体X的概率密度为

f(x;?)?12e?|x??|，???x??

X1,?,Xn是来自X的简单随机样本，求参数?的矩估计量．

解：总体X的一阶为

49

50 ???1?E(X)??121????x12?e?|x??|dx????x12??e(x??)dx???x12e?(x??)dx???xde(x??)?121?????xde?(x??)?xe(x??)|?????e(x??)dx?1xe?(x??)|????1??

?(x??)?edx22??22?1????1(x??)?11??22?de??2??2?de?(x??)???用样本的一阶A1=X代替总体X的一阶矩E(X)得到???X.

4. 设总体X的概率密度为??1?(xf(x;?)??e??)/θ,x??，其中?(??0),?是未知参数，???0,其它自X的简单随机样本，求?和?的矩估计量． 解：总体X的一阶为

???1?E(X)??x1e?(x??)/θdx??????xde?(x??)/θ?????xe?(x??)/θ|?????e?(x??)/θdx

????????de?(x??)/θ????.?总体X的二阶为

???(X22?E)??x21e?(x??)/θdx??????x2de?(x??)/θ?????x2e?(x??)/θ|??θ???2xe?(x??)/dx???2?2?(???)??2?2???2?2?(???)2??2用样本的一阶、二阶矩A1和A2分别代替总体的一阶、二阶矩?1和?2，得到

?A?1?????A?(???)2??2

2 50

X1,?,Xn是来