2014届高考数学一轮轻松突破复习 1.3.6函数y=Asin（ωx+φ）的图象及简单三角函数模型的应用 文

2014届高考数学一轮轻松突破 1.3.6函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

及简单三角函数模型的应用 文

一、选择题

π???π?1．函数y＝sin?2x－?在区间?－，π?的简图是( ) ?3??2?

A B

C D

解析：当x＝－π??π?π?3时，y＝sin??2×??－3??－3??＝0. 所以排除C、D.

又当x＝0时，y＝sin???－π3???

＝－32＜0，

排除B.故选A. 答案：A

2．下列函数中，图象的一部分如下图所示的是( A．y＝sin???

x＋π6???

B．y＝sin??π?2x－6??? C．y＝cos??π?4x－3??? D．y＝cos???

2x－π6??? 解析：由图知T＝4×??ππ?12＋6???

＝π，

∴ω＝2，排除A、C.

∵图象过??π?12，1???

代入B项，

- 1 -

)

?π??ππ?∴f??＝sin?2×－?＝0≠1. ?12??126?

答案：D

π??3．为得到函数y＝cos?2x＋?的图象，只需将函数y＝sin2x的图象( )

3??5π

A．向左平移个单位长度

125π

B．向右平移个单位长度

125π

C．向左平移个单位长度

65π

D．向右平移个单位长度

6

π??π?5π??π???解析：y＝cos?2x＋?＝sin?＋?2x＋??＝sin?2x＋?. 3??3?6????2?

5π?5π?由题意知要得到y＝sin?2x＋?的图象只需将y＝sin2x向左平移个单位长度．

6?12?答案：A

4．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)对任意x都有f?

?π＋x?＝f?π－x?，则f?π?等于 ( )

??6??6??6?????

A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0

π?π??π?解析：由f?＋x?＝f?－x?可知x＝是f(x)的一条对称轴．又∵y＝2sin(ωx＋φ)在对6?6??6?称轴处取得最值，∴选B.

答案：B

π

5．函数y＝sin2x的图象，向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象恰好关于x＝对称，则6φ的最小值为( )

51111

A.π B.π C.π D．以上都不对 12612

π

解析：y＝sin2x的图象向右平移φ个单位得到sin2(x－φ)的图象，又关于x＝对称，则6ππ5?π?2?－φ?＝kπ＋(k∈Z)，2φ＝－kπ－，取k＝－1，得φ＝π. 2612?6?答案：A

?π?6．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)是奇函数，且在?0，?上是减函数的θ的一

4??

个值是( )

π2π4π5π

A. B. C. D. 3333

π??解析：f(x)＝sin(2x＋θ)＋3cos(2x＋θ)＝2sin?2x＋θ＋?，

3??ππ

∵f(x)为奇函数，∴θ＋＝kπ，即θ＝kπ－(k∈Z)．

33

- 2 -

2?π?又∵f(x)在?0，?上是减函数，∴θ＝π.

4?3?

答案：B

二、填空题

7．函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是__________．

??3sinx x∈[0，π]，

解析：数形结合法：f (x)＝?

?－sinx x∈π，2π].?

由图象知：1＜k＜3.

答案：1＜k＜3

8．函数y＝sinxcosx＋3cos2x－3的图象相邻的两条对称轴之间的距离是__________． 13解析：y＝sin2x＋

2

1＋cos2x－3

2

133＝sin2x＋cos2x－ 222π?3?＝sin?2x＋?－，

3?2?

∴周期为π.

π

∴相邻两对称轴之间的距离为.

2π答案： 2

3??9．关于函数f(x)＝2sin?3x－π?，有下列命题： 4??2

①其最小正周期为π；

3

3

②其图象由y＝2sin3x向左平移个单位而得到；

4

?π5π?③在?，?上为单调递增函数，则其中真命题为__________(写出你认为正确答案的序号)． ?1212?

2π

解析：∵T＝，∴①对；

3

3

对于②，y＝2sin3x向左平移个单位

4

?3??y＝2sin3?x＋?，不是f(x)，∴②不对； ?4?

3π???π5π?对于③，f(x)＝2sin?3x－?，x∈?，?时， 4???1212?

- 3 -

3π?ππ??π5π?3x∈?，?，3x－∈?－，?，

4?4?22??4

?π5π?∴在?，?上为单调增函数．∴③对． ?1212?

答案：①③ 三、解答题

?1π?10．已知函数f(x)＝3sin?x－?，x∈R.

4??2

(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；

(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？ 解析：(1)列表取值：

x 1πx－ 24f(x) π 20 0 3π 2π 23 5π 2π 0 7π 23π 2－3 9π 22π 0 描出五个关键点并用光滑连线连接，得到一个周期的简图．

π

(2)先把y＝sinx的图象向右平移个单位，然后把所有的点的横坐标扩大为原来的2倍，再

4把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．

11．如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b. (1)求这段时间的最大温度； (2)写出这段曲线的函数解析式．

解析：(1)由图知，这段时间的最大温差是30－10＝20(℃)．

(2)图中从6时到14时的图象是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象． 12ππ∴·＝14－6，解得ω＝. 2ω8

11

由图知：A＝(30－10)＝10，b＝(30＋10)＝20，

22

?π?这时y＝10sin?x＋φ?＋20， ?8?

3

将x＝6，y＝10代入上式可取φ＝π.

4综上所求的解析式为

- 4 -

3??π

y＝10sin?x＋π?＋20，x∈[6,14]．

4??812．已知函数f(x)＝?1＋

?

?

1?m?π??π?sin2x＋sin?x＋?sin?x－?. ?tanx?4?4?2??

?π3π?(1)当m＝0时，求f(x)在区间?，?上的取值范围；

4??8

3

(2)当tanα＝2时，f(α)＝，求m的值．

5

1?11?解析：(1)当m＝0时，f(x)＝?1＋sin2x＝sin2x＋sinxcosx＝(sin2x－cos2x)＋ ?22?tanx?＝

π?12?

sin?2x－?＋

4?22?

π?5??π3π?又由x∈?，?得，2x－∈?0，π?. 4?4?4??8π??2??所以sin?2x－?∈?－，1?， 4??2??从而f(x)＝

π?1?1＋2?2?sin?2x－?＋∈?0，?. 4?2?2?2?

m

(2)f(α)＝sin2α＋sinαcosα－cos2α

2＝

1－cos2α1m

＋sin2α－cos2α 222

11＝[sin2α－(1＋m)cos2α]＋， 22

2sinαcosα2tanα4由tanα＝2得sin2α＝＝＝，

sin2α＋cos2α1＋tan2α5cos2α－sin2α1－tan2α3

cos2α＝＝＝－.

sin2α＋cos2α1＋tan2α531?4

所以＝?＋52?5

1＋m3?1＋， 5??2

得m＝－2.

因此实数m的值为－2. - 5 -

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