代数系统习题

第三部分：代数系统

1.在代数系统S,?中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算?必定可结合。( ) 2.每一个有限整环一定是域，反之也对。( ) 3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。( ) 4.设?A,???是布尔代数，则?A,???一定为有补分配格。( )

5.设Q为有理数集，Q上运算?定义为a?b?max(a,b)，则 Q,? 是半群。( ) 6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。( ) 7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。( ) 8.循环群一定是阿贝尔群。( ) 9.每一个链都是分配格。( )

1. 对自然数集合N，哪种运算不是可结合的，运算定义为任a,b?N

( ) A. a?b?min(a,b) B. a?b?a?2b C. a?b?a?b?3 D. a?b?a?b (mod3) 2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( ) A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 不能构成交换群 D. 能构成交换群 3. 循环群Z3,?3的生成元为?1?,?2?，它们的周期为 ( ) A. 5 B. 6 C. 3 D. 9

4. 设是环，则下列正确的是 ( )

A. 是交换群 B. 是加法群 C. ?对*是可分配的 D. *对?是可分配的

5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( ) A. N B. {2x|x?I} C. {2x?1|x?I} D. {x|x是质数} 6. 具有如下定义的代数系统?G,??，哪个不构成群 ( )

A. G={1,10}，?是模11乘 B. G={1,3,4,5,9}，?是模11乘

C. G＝Q(有理数集)，?是普通加法 D. G＝Q(有理数集)，?是普通乘法 7. 设G＝{2m?3n|m,n?I}，?为普通乘法．则代数系统?G,??的么元为 ( A.不存在 B. e＝20?30 C. e＝2×3 D. e＝2?1?3?1 8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )

A. 不能构成群 B. 不一定能构成群 C. 必能构成群 D. 能构成交换群

1

)

9. 在自然数集N上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b ?N ( )

A. a?b?a?b B. a?b?max(a,b) C. a?b?a?5b D. a?b?|a?b|

10. Q为有理数集，Q上定义运算?为a?b?a?b?ab，则?Q,??的幺元为

( )

A. a B. b C. 1 D. 0

11. 下面哪一种运算不是实数集R上的二元运算？ （ ）

A.数的加 B.数的减 C. 数的乘 (D) 数的除 12. ?G,??是群，则对? ( ) A. 满足结合律、交换律 B. 有单位元，可结合 C. 有单位元，可交换 D. 每元有逆元，有零元

13. 实数集R的下列运算，哪个满足结合律？ ( )

A. m?n?m?n B. m?n?1?m?n? 2C. m?n?m?2n D. m?n?m2?n2

14. 下面哪一种运算不是实数集R上的二元运算？ ( ) (A) 数的加 (B) 数的减 (C) 数的乘 (D) 数的除

15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )

A. 整环一定是域 B. 域下一定是整环 C. 域一定是整环 D. 域一定不是整环 16. 具有如下定义的代数系统G,?，哪个不构成群 ( )

A. G?{1,10}，?是模11乘 B. G?{1,3,4,5,9}， ?同(1) C. G?Q (有理数集)，?是普通加法 D. G?Q，?是普通乘法

17. Q为有理数集，Q,? (其中?为普通乘法)不能构成 ( ) A. 群 B. 独异点 C. 半群 D. 交换半群

18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )

（A）a*b=a+2b （B）a*b=a+b-ab

2

（C）a*b=a （D）a*b=|a+b| 19. 设I是整数集，?，分别是普通加法和乘法，则I,?,是 ( ) A. 域 B. 整环和域 C. 整环 D. 含零因子环

20. R为实数集，运算?定义为：a,b?R，a?b?a|b|，则代数系统R,?是 ( ) A. 半群 B. 独异点 C. 群 D. 阿贝尔群

21. 对自然数集合N，哪种运算不是可结合的 ( ) A. a?b?min(a,b) B. a?b?a?b?3 C. a?b?a?2b D. a?b?ab (mod3)

22.为有理数集，Q上定义运算?为：a?b?a?b?ab，则Q,?的么元是

( )

A. a B. b C. 1 D. 0 23. 设H,，K,是群G,的子群，下面哪个代数系统仍是G,的子群 ( )

A. HK, B. HK, C. H?K, D. K?H,

24. 群R,?与R?{0},? ( ) A. 同态 B. 同构 C. 后者是的前者的子群 D. (2)与(3)都正确

25. 在自然数集N上，下面哪种运算是可结合的 ( )

A. a?b?a?b B. a?b?max(a,b) C. a?b?a?2b D. a?b?|a?b|

26. 循环群I,?的所有生成元为 ( ) A. 1,0 B. -1,2 C. 1，2 D. 1，-1

27. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )

A. 循环群 B. 置换群 C. 变换群 D. 阿贝尔群

28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）

(A) 给定a>0且a?1，集合G?an?Z关于数的乘法。 (B) 非负整数集N，关于数的加法。 (C) 整数集Z，关于数的减法。

(D) 一元实系数多项式集合，关于多项式乘法。

1. 在环中进行计算，则（a+b）（a-b）＝ 2. S是一非空集合, P(S)是S的幂集, 代数系统P(S),

3

?n?中的幺元为

3. 设群G＝?a?是15阶循环群，则子群H＝?a?的元素是

4. 在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是 5. 在代数系统N,?中， (其中N为自然数集，+为普通加法)，仅有 有逆元． 6. 给定环

3?5x|x?I?,?,，其中I是整数集，?和是普通的加法和乘法，

它 整环．因为 ．

7. 设代数系统V??Z6,??，其中?为模6乘法，那么V中的幂等元是 8. S,?是独异点．对a,b?S，且a,b均有逆元，则(a)= ， 9. 设S是非空有限集，P(S)为S的幂集，代数系统?P(S),,?中，P(S)对 的么元为 ，零元为 ．

10. G,?是群，B?G且B是有限集，B,?是G,?的子群当且仅当 · 11. 设S为非空有限集，代数系统?2,U?中么元为 ，零元为 12.在A={1,2,...,10}与运算×11( 模11乘)构成的群中，元素5的阶是 13. 设S是非空有限集，P(S)为S的幂集，代数系统?P(S),,?中， P(S)对为 ，零元为 ．

14. 三阶群有 个(不同构)，其运算表为 15.半群

的么元

S?1?1

?(A),是独异点，因为

有幺元A

1. 设 |G|?2，且?a?G，a=e，证明G必含4阶子群．

2. 己知G＝｛1,2,3,4,5,6｝，?7为模7乘法．试说明?G,?7?是否构成群? 是否为循环群？若是，生成元是什么？

21,2,3,4,5,6?, 3. 在乘法模7运算?7下，考虑群G,?7，其中G??（1）求出?7的乘法表， （2）求2,3,6， （3）G,?7是循环群吗？

4. 试证明若?G,??是群，H?G，且任意的a?H，对每一个x?G，有

?1?1?1a?x?x?a，则?H,??是?G,??的子群．

5. 设S=R-{-1} (R为实数集)，a?b?a?b?ab．

4

(1)说明?S,??是否构成群；

(2)在S中解方程2?x?3?7．

6. 若G中只有一个2阶元，则这个2阶元一定与G中所有元素可交换． 7. 设代数系统V=A,的运算表如表所列， 表 a b a

b

a

c c

d d

b b c b d c c a b c d d a c c

(1) 说明运算是否满足交换律、结合律、幂等律;

(2) 求出运算的单位元和零元(如果存在)； (3) 求出所有可逆元素的逆元．

8．设G=xx?Q且x?1?，定义x?y?x?y?xy，?x,y?G 证明：G,?是一个群。

9. 设?H,?和?K,?都是群?G,?子群，问?H?K,?和?H?K,?是否是?G,? 的子群，并说明理由．

10. 设G??Z2,??是模2加群

(1) 给出直积G?G运算表；

(2) 说明G?G与哪个4阶群同构．

11. 试画出集合A＝{1，2，3，4，5，6}在偏序关系“整除”下的哈斯图，并分别求出： (1)集合A的最大元、最小元、极大元和极小元；

(2)集合B＝{2，3，6}的上界、下界、最小上界、最大下界．

? 5

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