三角函数的概念和同角三角函数

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，6??

5π??k?Z?B.?xx?2kπ?，6??2π??k?Z? D.?xx?2kπ?，3??

【例8】 写出终边在y轴上的角的集合.

【例9】 将第一象限角，第二象限角，第三象限角，第四象限角分别用弧度制的形式表示.

【例10】 终边在坐标轴上的角的集合＿＿.

【例11】 有人喜欢把表播快5分钟，那么在拨快5分钟的过程中，分针和时针分别转过的弧度数是多

少？

【例12】 若?和?的终边关于y轴对称，则?和?的关系是＿＿.

kππkππ????【例13】 ⑴已知集合M??xx??,k?Z?，P??xx??,k?Z?，则 2442????. A.M?P B.MYP C.MüP D.M?P??

⑵已知?是第二象限的角，若同时满足条件??2≤4，求?的取值区间.

【例14】 若角?、?的终边相同，则???的终边在

.

A.x轴的非负半轴上 C.x轴的非正半轴上

B.y轴的非负半轴上 D.y轴的非正半轴上

【例15】 当角?与?的终边互为反向延长线，则???的终边在 .

A.x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上

C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上

. .

【例16】 ⑴若角?和?的终边关于y轴对称，则角?和?之间的关系为

⑵若角?与?的终边关于x轴对称，则角?和?之间的关系为

kππ?kππ???【例17】 已知集合M??xx??,k?Z?，P??xx??,k?Z?，则 4224???? . A.M?PB.MYPC.MüPD.M?P??

【例18】 若?是第二象限角，则：

⑴⑵

?2是第几象限角？ 不在第几象限？

?3【例19】 ⑴已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形的圆心角和弧度数.

⑵已知扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

【例20】 若1段圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心

角的弧度数是多少？

【例21】 ⑴求下列三角函数值：

ACODB①cos225?；②sin25π?17π??32π?；③sin???；④tan???. 6?3??3?⑵将下列三角函数化为0?到45?之间角的三角函数：

3π①sin85?；②cosπ；③tan；

35

【例22】 化简：

⑴sin(?1071?)?sin99??sin(?171?)?sin(?261?) ⑵1?sin(??2π)?sin(π??)?2cos2(??) ⑶

【例23】 设cos??0且tan??0，确定?是第几象限角.

【例24】 若角?满足条件sin2??0，cos??sin??0，则?在第几象限？

sin(2π??)cos(π??)

cos(π??)sin(3π??)sin(???π)

【例25】 ⑴已知角?的终边经过点P(?2,5)，求?的六个函数值.

⑵求下列各角的六个三角函数值：①0；②

【例26】 ⑴已知sin??π. 212，并且?是第二象限角，求cos?,tan?,cot?. 134⑵已知cos???，求sin?,tan?.

5⑶化简：1?2sin40?cos40?

【例27】 已知角?的终边经过点P(m?n,2mn)(m?n?0)，问?是第几象限的角，并求出?的六

个三角函数值.

【例28】 已知角?的终边上的一点P的坐标为(?3,y)(y?0)，且sin??2y，求cos?和tan?值. 4

【例29】 已知sin??cos??1，求下列各式的值. 5⑴sin?cos?； ⑵sin3??cos3?； ⑶sin4??cos4?.

1【例30】 已知tan???，计算：

3⑴ .

sin??2cos?1；⑵；⑶sin?cos?.

5cos??sin?2sin?cos??cos2?【例31】 求函数y?log21sinx?1的定义域

【例32】 求函数y?16?x?21sinx的定义域.

?3π?【例33】 求函数y?cos2??x??2asin(?x)?2的最小值.

?2?

【例34】 （2006年全国）若f(sinx)?3?cos2x，则f(cosx)?（ ）

A.3?cos2x

【例35】 设f(x)?cosB.3?sin2x C.3?cos2x D.3?sin2x

?x12，求f(1)?f(2)?f(3)?...?f(1212)的值.

【例36】 已知?为锐角，用三角函数的定义证明1?sin??cos?≤2.

【例37】 化简

tan??tan??sin?1?sec??

tan??sin?1?csc?

tan2??cot2??sec2??csc2?. 【例38】 求证：22sin??cos?

【例39】 根据定义证明(sin??tan?)(cos??cot?)?(1?sin?)(1?cos?).

【例40】 求证：

1?2sinxcosx1?tanx. ?22cosx?sinx1?tanx

πx??)，其中a，b，?，??都是非零实数，且满足【例41】 已知函数f(x)?asin(πx??)?bcos(f(2005)??1，求f(2006)的值.

【例42】 （2005年上海春季，18）已知tan?是方程x2?2xsec??1?0的两个根中较小的根，求?的值.

【例43】 已知sin?是方程5x?7x?6?0的根,求

213?19?sin2[(2k?)???]?cos2(??)?cot2(??)(k?Z)的值

222

（二）典例分析

【例44】 若45o

A.cos??sin??tan? C.sin??tan??cos?

【例45】 化简求值：

B.tan??sin??cos? D.sin??cos??tan?

⑴cos

sin(180???)cos(270???)tan(90???)67π?35π?；⑵sin??； ?；⑶sin(90???)cos(??360?)tan(270???)46??

【例46】 已知sinx?2cosx，求角x的六个三角函数值.

1【例47】 tan(π??)??，求sin(??7π)cos(??5π)的值.

2

?π?【例48】 函数y?sin??2x? .

?2?A.是奇函数 B.是偶函数

C.既不是奇函数，也不是偶函数 D.奇偶性无法判断

【例49】 ⑴已知sin(??π)?0，cos(??π)?0，则下列不等关系必定成立的是（）

A.tan?2?cot?2 B.tan?2?cot?2 C.sin?2?cos?2 D.sin??cos

22?⑵已知点P(sin??cos?,tan?)在第一象限，则在[0,2π]内，求?的取值范围.

【例50】 化简：

2cos2??1⑴cos?tan?；⑵.

1?2sin2?

1??【例51】 求函数y?logsinx?cosx??的定义域.

2??

【例52】 使得lg(cos??tan?)有意义的角?的取值范围是什么？

【例53】 已知0????2,且lg(1?cos?)?m,lg1?n,求lgsin?的值.

1?cos?

【例54】 已知(99cos2?)?1，求?在第几象限？ 100

【例55】 设?是第四象限的角，试判断sin?和tan?的大小关系.

π??【例56】 已知：x??0,?，求证：sinx?x?tanx.

2??

TyP

【例57】 ⑴（浙江杭高必修4综合测试）

若cos??0，且sin2??0，则角?的终边所在象限是（）

OMAxA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

⑵有小于2π的正角，这个角的3倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小可能是 .

ππ3πA. B. C.π D. 422

【例58】 若0?????π，求证：sin??sin??????tan??tan? 2

【例59】 已知?为锐角，求证：

①1?sin??sin??π； 2②sin3??cos3??1

【例60】 已知sin??cos??m(0?m?1)，若??(0,π)，试判断式子sin??cos?的符号.

1【例61】 ⑴已知sin??cos??，??(0，π)，则tan??

5ππ3⑵已知???π，sin(??)??，则tan(π??)的值为（）

225343A. B. C.? 4344D.?

3

【例62】 (2008四川高考)

(tanx?cotx)cos2x? A.tanx

.

C.cosx

D.cotx

B.sinx

【例63】 （2008-2009年海淀高三上学期期末试卷）

2，3，4，5?，那么使得sin??cos??0的数对??，??共有 已知?，???1，.

A.9 B.11个 C.12个 D.13个

【例64】 已知3sin2??2sin2??2sin?，求sin2??sin2?的取值范围.

【例65】 ⑴若x?[?π,π]，求sinx?cosx成立的x的取值范围. 2cos?sin????1，则?角的取值范围是_______. ⑵若221?tan?1?cot?

【例66】 （江苏省连云港市2008～2009学年度第一学期期末调研考试）

若sin(??

【例67】 函数y?7π?π1?)?，则cos????的值为. 12123??sinxcosxtanxcotx???的值域是 sinxcosxtanxcotx .

D.??4,?2,0,4?

A.??2,4?

B.??2,0,4?

C.??2,0,2,4?

1?sin2?【例68】 ⑴若??0，讨论sin(cos?)?cos(sin?)的符号.

2cos?1?cos?sin?⑵已知?7?log1x??6，则方程cosπx??1根的个数是多少个？

2

【例69】 （江苏省连云港市2008～2009学年度第一学期期末调研考试）

(x≥0）?sinπx，若

f(x?1)?1(x?0)??5?f????f(m)??1,且1?m?2,则m?. ?6?已知f(x)?? .

π??【例70】 ⑴若f(sinx)?sin3x，求f?cos?的值.

12??⑵已知sin??

m?34?2m，?为第二象限角，则m值的集合为______ ,cos??m?5m?5π【例71】 已知f(x)?2cosx，则f(0)?f(1)?f(2)???f(2006)=__________

6

若sin(??

【例67】 函数y?7π?π1?)?，则cos????的值为. 12123??sinxcosxtanxcotx???的值域是 sinxcosxtanxcotx .

D.??4,?2,0,4?

A.??2,4?

B.??2,0,4?

C.??2,0,2,4?

1?sin2?【例68】 ⑴若??0，讨论sin(cos?)?cos(sin?)的符号.

2cos?1?cos?sin?⑵已知?7?log1x??6，则方程cosπx??1根的个数是多少个？

2

【例69】 （江苏省连云港市2008～2009学年度第一学期期末调研考试）

(x≥0）?sinπx，若

f(x?1)?1(x?0)??5?f????f(m)??1,且1?m?2,则m?. ?6?已知f(x)?? .

π??【例70】 ⑴若f(sinx)?sin3x，求f?cos?的值.

12??⑵已知sin??

m?34?2m，?为第二象限角，则m值的集合为______ ,cos??m?5m?5π【例71】 已知f(x)?2cosx，则f(0)?f(1)?f(2)???f(2006)=__________

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