第二章 波函数和薛定谔方程b
更新时间:2023-11-14 14:29:01 阅读量: 教育文库 文档下载
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第二章 波函数和薛定谔方程b
?? 第二章 波函数和薛定谔方程 § 学习指导 本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及此带来的新特点,并以一维情况作例子进行具体说明。 根据实验,微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述, vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t),在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数 vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态,称为波函数。经典情况下,模方|?(r,t)|2表示波的 强度;量子情况下,|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度,因此需要把波函数归一化。 波函数随时间的变化薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式,粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中,粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式,粒子运动可以分
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为束缚态和非束缚态。在束缚态中,粒子的能量取离散值,形成能级,可以很好地说明原子光谱。散射态是典型的非束缚态,可以用来描述粒子之间的碰撞,解释微观粒子的隧道贯穿现象。 真实的物理空间是三维的,但是当系统具有某些对称性时,可以约化为一维问题,例如中心势场中粒子的径向运动。近来,实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。一维薛定谔方程容易求解,便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。 本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1)波函数 波函数?(r,t)是描述微观粒子状态的复值函数,波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。实际体系波函数满足平方可积条件,即2)波函数的意义 波函数的模方 vv???v2?(r,t)d??N2??。 vv2w(r,t)??(r,t) 给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率,即概率密度。 因此,标
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准的波函数应该是归一化的,即满足归
一化条件 v???v2?(r,t)d??1 (2-2) 未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。 3)波函数的性质 1 波函数?(r,t)满足叠加原理,如果?i(r,t),i?1,2,L为微观粒子的可能状态,则 ?(r,t)?也是一个可能的状态。 2. 微观状态的演化 1)薛定谔方程 状态?(r,t)随时间演化满足薛定谔方程 ihvvv?iivc?i(r,t),ic?
C (2-3) v?vv?(r,t)??H?(r, t ) (2-4) ?t2v???h?2?U(r,t) (2-5) 其中 H2m称为哈密顿算符,U(r,t)是势能。若已知初始状态?(r,0),薛定谔方程可求出任意时刻t的状态?(r,t)。 2)连续性方程 薛定谔方程可以推出连
续性方程 vvvv?w??J??0 (2-6) ?tvih(?????????) (2-7) 其中J??2m称为概率流密度,即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率。连续性方程是概率守恒定律的定域表现。 3)定态薛定谔方程 ?不显
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含时间,即势场U不含t时,薛定谔方程可以分离变量,得到 若体系的哈密顿Hvv?hEt定态波函数
解 ?E(r,t)??E(r)e (2-8) 其中E为能量本征值,?E(r)为对应的本
征函数,满足定态薛定谔方程 ivh22vvvv??E(r)?U(r)?E(r)?E?E(r) (2-9) ?2m3. 一维束缚定态问题 1)问题的描述 一维束缚定态问题
下面的方程和边界条件组成 2 ?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2 (2-10) 2mdx?x????(x)????0?其中束缚态能量满足条件E?U(??)。 2)束缚定态解的性质 束缚定态中的能量取值不连续,形成能级。同一能级只对应一个本征函数,无简并现象。第n个能级En,n?N对应的本征函数?n(x)有n个内部零点。 束缚态本征函数?n(x)可以归一化,归一化后的本征函数满足正交归
一性 ????*?m(x)?n(x)dx??m,n (2-11) 本征函数集合具有完备性,任何平方可积函数?(x)都可以展开为归
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一化本征函数的线性组合,即 ?(x)??ncn?n(x) (2-12) 其中展开系数为 *cn???n(x)?(x)dx
(2-13) ???3)典型实例:一维简谐振子 一般的解析势阱在其极小值附近都可以近似为简谐振子势,其标准
形式为 U(x)?2kx?2m?x (2-14) 在上述势场中,粒子作束缚运动,
能级为 12122En?(n?1)h?,n?N (2-15) 2对应的本征函数
为 ?n(x)?Nne1??2x22Hn(?x) (2-16) 其中Hn(x)为厄密多项式,参数??m?/h,归一化系数 Nn??/简谐振子的本征函数满足递推关系 ?2nn!。 x?n(x)?1?[n?(x)?2n?1n?12?n?1(x)] (2-17) d?n(x)??[n?(x)?2n?1dx4. 一
维散射问题 1)问题的描述 n?12?n?1(x)]3 以能量E?U(??)自左边向势场U(x)入射的粒子满足下面的方程和边界条
件 ?h2d2?(x)?U(x)?(x)?E?(x)??2
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