北京市东城区2012届高三下学期综合练习（一）数学（理）试题

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）

数学 （理科）

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要

求的一项。

（1）若a，b?R，i是虚数单位，且a?(b?2)i?1?i，则a?b的值为

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

（2）若集合A?{0,m2}，B?{1,2}，则“m?1”是“A?B?{0,1,2}”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

?y?x?1,?（3）若实数x，y满足不等式组?y?x?2,则z?x?2y的最小值为

?y?0,? （A）?

（4）右图给出的是计算

75 （B） ?2 （C）1 （D）

2211111????...?的一个程序框图， 2468100 其中判断框内应填入的条件是

（A）i?50 （B）i?50 （C）i?25 （D） i?25

（5）某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个

车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为

（6）已知x，y，z?R，若?1，x，y，z，?3成等比数列，则xyz的值为 C

（7）在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB?AD，AB?4，BC?2，AD?4，若P为CD的 （A）?3

（B）?3

（C）?33 （D）?33 （A）16

（B）18

（C）24

（D）32

????????中点，则PA?PB的值为

- 1 -

（A）?5 （B）?4 （C）4 （D）5

?2?x?1,x?0,（8）已知函数f(x)??若方程f(x)?x?a有且只有两个不相等的实数根，

?f(x?1),x?0.则实数a的取值范围是

（A）???,1? （B）???,1? （C）?0,1? （D）?0,???

第Ⅱ卷（共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）命题“?x0?(0,),tanx0?sinx0”的否定是 . （10）在极坐标系中，圆??2的圆心到直线?cos???sin??2的距离为 ． （11）在如图所示的茎叶图中，乙组数据的中位数是 ；

若从甲、乙两组数据中分别去掉一个最大数和一个最小数 后，两组数据的平均数中较大的一组是 组．

?2甲乙0 7 95 4 5 5 184 4 6 4 7m 9 3（12）如图，AB是⊙O的直径，直线DE切⊙O于点D，且与AB延长线交于点C，若

CD?3，CB?1，则?ADE= ．

2ED（13）抛物线y?x的准线方程为 ；经过此抛物线的焦点是和点M(1,1)，且 与准线相切的圆共有 个．

（14）如图，在边长为3的正方形ABCD中，点M在AD上，正方形ABCD以AD为轴逆时针旋转?角(0≤?≤AOBC?)到AB1C1D的位置 ，同时点M沿着AD从点A运动到3???????????????1点D，MN1?DC1，点Q在MN1上，在运动过程中点Q始终满足QM?，记

cos???????????CABCDBM点Q在面上的射影为Q0，则在运动过程中向量BQ0与夹角?的正N1切的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

- 2 -

B1Q1DMAQ0BC（15）（本小题共13分）

已知函数f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x. （Ⅰ）求f(x)的最小正周期；

（Ⅱ）若函数y?g(x)的图象是由y?f(x)的图象向右平移

单位长度得到的，当x?[0, （16）（本小题共13分）

某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%.生产1件甲产品，若是一等品，则获利4万元，若是二等品，则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品，则获利6万元，若是二等品，则亏损2万元.两种产品生产的质量相互独立.

（Ⅰ）设生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润为X（单位：万元），求X的分布列； （Ⅱ）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率.

（17）（本小题共13分）

如图1，在边长为3的正三角形ABC中，E，F，P分别为AB，AC，BC上的点，且满足AE?FC?CP?1.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连结A1B，A1P.（如图2） （Ⅰ）求证：A1E⊥平面BEP；

（Ⅱ）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.

A

A1 E FE

F

BB PCP

图1 图2

?个单位长度，再向上平移1个8?]时，求y?g(x)的最大值和最小值. 4C- 3 -

(18)（本小题共14分）

已知函数f(x)?12x?2ex?3e2lnx?b在(x0,0)处的切线斜率为零． 2（Ⅰ）求x0和b的值；

（Ⅱ）求证：在定义域内f(x)≥0恒成立； (Ⅲ) 若函数F(x)?f?(x)?a有最小值m，且m?2e，求实数a的取值范围. x

（19）（本小题共13分）

1x2y2B已知椭圆C：2?2?1?a?b?0?的离心率是，其左、右顶点分别为A1，A2，

2ab为短轴的端点，△A1BA2的面积为23． （Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）F2为椭圆C的右焦点，若点P是椭圆C上异于A1P，A2P1，A2的任意一点，直线A与直线x?4分别交于M，N两点，证明：以MN为直径的圆与直线PF2相切于点F2．

（20）（本小题共14分）

若对于正整数k,g(k)表示k的最大奇数因数，例如g(3)?3，g(10)?5.设

Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)???g(2n)．

（Ⅰ）求g(6),g(20)的值； （Ⅱ）求S1，S2，S3的值； （Ⅲ）求数列?Sn?的通项公式．

- 4 -

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（一）

数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

（1）D （2）A （3）A （4）B （5）C （6）C （7）D （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

（9）?x?(0,?2),tanx?sinx （10）2 （11）84 乙

（12） 60? （13） x??14 2 （14）612 注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）

解：（Ⅰ）因为f(x)?(sin2x?cos2x)2?2sin22x

?sin4x?cos4x

?2sin(4x??4) , ????6分

所以函数f(x)的最小正周期为?2. ????8分

（Ⅱ）依题意,y?g(x)?2sin[4(x???8)?4]?1

?2sin(4x??4)?1. ???10分

因为0?x??4，所以??4?4x??4?3?4. ????11分 当4x??4??2，即x?3?16时，g(x)取最大值2?1； 当4x??4???4，即x?0时， g(x)取最小值0. ????13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）由题设知，X的可能取值为10，5，2，?3. ????2分 P(X?10)?0.8?0.9?0.72， P(X?5)?0.2?0.9?0.18 ， P(X?2)?0.8?0.1?0.08

，- 5 -

P(X??3)?0.2?0.1?0.02. ????6分

由此得X的分布列为：

X P 10 5 2 ?3 0.72 0.18 0.08 0.02 ????8分

（Ⅱ）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件. 由题设知4n?(4?n)?10，解得n?14， 5?又n?N且n?4，得n?3，或n?4. ????10分

512） 625答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192. ????13分

3所求概率为P?C4?0.83?0.2?0.84?0.8192.（或写成

（17）（共13分）

（Ⅰ）证明：取BE中点D，连结DF.

因为AE?CF?1，DE?1，

?所以AF?AD?2，而?A?60，即△ADF是正三角形.

AEDF又因为AE?ED?1, 所以EF?AD. ????2分 所以在图2中有A1E?EF，BE?EF.????3分

BPC所以?A1EB为二面角A1?EF?B的平面角. 图1 又二面角A1?EF?B为直二面角，

所以A1E?BE. ????5分 又因为BE?EF?E,

所以A1E⊥平面BEF,即A1E⊥平面BEP. ????6分

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知A1E⊥平面BEP，BE?EF，如图，以E为原点，间直角坐标系E?xyz，则E(0,0,0)，A1(0,0,1)，B(2,0,0)，zA1建立空F(0,3,0).

在图１中，连结DP. 因为

EFBxPCyCFCP1??， FAPB2- 6 -

所以PF∥BE，且PF?1BE?DE. 2所以四边形EFPD为平行四边形. 所以EF∥DP，且EF?DP.

故点P的坐标为（1，3，0）. 图2

??????????????所以A1B?(2,0,?1)， BP?(?1,3,0)，EA1?(0,0,1).????8分

???????A1B?n?0,不妨设平面A1BP的法向量n?(x,y,z)，则???? ???BP?n?0.??2x?z?0,即?令y?3，得n?(3,3,6). ????10分 ??x?3y?0.?????????n?EA163????????所以cos?n,EA1??. ????12分

2|n||EA1|1?43故直线A1E与平面A1BP所成角的大小为

（18）（共14分）

?. ????13分 33e2（Ⅰ）解：f?(x)?x?2e?. ????2分

x3e2由题意有f?(x0)?0即x0?2e?．?4分 ?0，解得x0?e或x0??3e（舍去）

x0得f(e)?0即

121e?2e2?3e2lne?b?0，解得b??e2． ????5分 2212e22（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知f(x)?x?2ex?3elnx?(x?0)，

223e2(x?e)(x?3e)?(x?0)． f?(x)?x?2e?xx在区间(0,e)上，有f?(x)?0；在区间(e,??)上，有f?(x)?0． 故f(x)在(0,e)单调递减，在(e,??)单调递增，

于是函数f(x)在(0,??)上的最小值是f(e)?0． ????9分 故当x?0时，有f(x)≥0恒成立． ????10分

- 7 -

aa?3e2(Ⅲ)解： F(x)?f?(x)??x??2e(x?0)．

xxa?3e2?2e?2a?3e2?2e，当a?3e时，则F(x)?x?当且仅当x?a?3e2时x2等号成立，故F(x)的最小值m?2a?3e2?2e?2e，符合题意； ????13分

当a?3e2时，函数F(x)?x?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小值，不合

题意；

a?3e2?2e在区间(0,??)上是增函数，不存在最小当a?3e时，函数F(x)?x?x2值，不合题意．

综上，实数a的取值范围是(3e2,??)． ????14分

（19）（共13分）

?c1?a?2,??（Ⅰ）解：由已知 ?ab?23, ????2分

?a2?b2?c2.??? 解得a?2，b?3． ????4分

x2y2??1． ????5分 故所求椭圆方程为43（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知A,0?． 1??2,0?，A2?12?2,0?，F设Px0,y0???x022??2?，则3x0?4y0?12．

于是直线A1P方程为 y?y06y?x?2?，令x?4，得yM?0； x0?2x0?2所以M(4,6y02y0)，同理N(4,)． ????7分 x0?2x0?2??????????6y02y0)，F2N?(3,). 所以F2M?(3,x0?2x0?2- 8 -

??????????6y02y0 所以 F2M?F2N?(3,)?(3,)

x0?2x0?2?9?6y02y0 ?x0?2x0?2223?12?3x0? 12y0?9? ?9?22x0?4x0?429?x0?4?2x0?4 ?9??9?9?0．

所以 F2M?F2N，点F2在以MN为直径的圆上． ????9分 设MN的中点为E，则E(4,4y0(x0?1))． ????10分

x02?4??????????4y0(x0?1)又F2E?(3,)，F2P??x0?1,y0?, 2x0?42??????????4y0x0?1?4y0(x0?1)?)??x0?1,y0??3?x0?1??所以F2E?F2P?(3, 2x02?4x0?4 ?3?x0?12?3x??x?1??200?1?x?420?3?x0?1??3?x0?1??0．

所以 F2E?F2P． ????12分

因为F2E是以MN为直径的圆的半径，E为圆心，F2E?F2P， 故以MN为直径的圆与直线PF2相切于右焦点． ????13分 （20）（共14分）

解：（Ⅰ）g(6)?3，g(20)?5． ????2分 （Ⅱ）S1?g(1)?g(2)?1?1?2；

S2?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)?1?1?3?1?6；

S3?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)?g(5)?g(6)?g(7)?g(8)?1?1?3?1?5?3?7?1?22．

????6分 (Ⅲ)由（Ⅰ）（Ⅱ）不难发现对m?N，

?有

- 9 -

g(2m)?g(m)． ????8分

所以当n?2时，Sn?g(1)?g(2)?g(3)?g(4)???g(2n?1)?g(2n)

?[g(1)?g(3)?g(5)???g(2n?1)]?[g(2)?g(4)???g(2n)]

?[1?3?5???(2n?1)]?[g(2?1)?g(2?2)???g(2?2n?1)] ?(1?2n?1)?2n?12?[g(1)?g(2)???g(2n?1)]

?4n?1?Sn?1 ????11分

于是Sn?1?n?Sn?1?4，n?2,n?N．

所以Sn?(Sn?Sn?1)?(Sn?1?Sn?2)???(S2?S1)?S1

?4n?1?4n?2???42?4?2

?4(1?4n?1)1?4?2?4n3?23，n?2,n?N?．

????13分

又S1?2，满足上式，

所以对n?N?，S1n?3(4n?2)． ????14分 - 10 -

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