四边形测试卷及答案

四边形测试卷 一．选择题（共11小题） 1．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm

2．以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3．如图，在周长为20cm的?ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

4．下列命题中错误的是（ ） A．平行四边形的对边相等 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．矩形的对角线相等 D．对角线相等的四边形是矩形 5．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线平分一组对角 D．对角线垂直且互相平分

6．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7．如图，在矩形ABCD中，横向阴影部分是矩形，另一阴影部分是平行四边形．依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是（ ） A．bc﹣ab+ac+c2 B．ab﹣bc﹣ac+c2 C．a2+ab+bc﹣ac D．b2﹣bc+a2﹣ab

8．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）

A．1

B．

C．

D．2

9．点A、B、C、D在同一平面内，若从①AB∥CD②AB=CD③BC∥AD④BC=AD这四个条件中选两个，不能推导出四边形ABCD是平行四边形的选项是（ ） A．①② B．①④ C．②④ D．①③

10．要从一张长40cm，宽20cm的矩形纸片中剪出长为18cm，宽为12cm的矩形纸片则最多能剪出（ ） A．1张 B．2张 C．3张 D．4张

11．给出五种图形：①矩形,②菱形；③等腰三角形（腰与底边不相等）；④等边三角形；⑤平行四边形（不含矩形，菱形）．其中，能用完全重合的含有30°角的两块三角板拼成的图形是（ ） A．②③ B．②③④ C．①③④⑤ D．①②③④⑤

二．填空题（共7小题）

12．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC=4cm，则菱形的边长是 _________ cm． 13．在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，四边形ABCD应具备的条件是 _________ ．

14．如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连接CE，则CE的长为 _________ ．

15．如图，延长正方形ABCD边BC延长至E，使CE=AC，则∠AFC= _________ ．

16．如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 _________ cm（结果不取近似值）． 17．在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为 ______cm2．

18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，则四边形MENF的面积是 _________ cm2． 三．解答题（共9小题）

19．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）．

20．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF． （1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

21．如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．

22．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△BOF；

（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

23．已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF． （1）求证：BE=DF；

（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．

24．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，点P、Q分别是AB、AC上的一动点，且满足BP=AQ，D是BC的中点． （1）求证：△PDQ是等腰直角三角形；

（2）当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形，并说明理由．

25．如图，边长为5的正方形OABC的顶点O在坐标原点处，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE，且与正方形外角平分线AG交于点P． （1）当点E坐标为（3，0）时，试证明CE=EP；

（2）如果将上述条件“点E坐标为（3，0）”改为“点E坐标为（t，0）（t＞0），结论CE=EP是否成立，请说明理由；

（3）在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在，说明理由．

26．已知：如图，E为?ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．

27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D，过点C作CE∥AB交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α= _________ 度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为 _________ ； ②当α= _________ 度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为 _________ ； （2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

则DE=AD﹣x，CD=AB=2．

根据勾股定理可得x2=（3﹣x）2+22 解得CE=故答案为

． ．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及矩形的性质．关键是要设所求的量为未知数利用勾股定理求解．

15．如图，延长正方形ABCD边BC延长至E，使CE=AC，则∠AFC= 112.5° ．

考点：正方形的性质。 专题：应用题。

分析：由于CE=AC，∠ACB=45°，可根据外角定理求得∠E的值，同样根据外角定理∠AFC=∠FCE+∠E，从而求得∠AFC． 解答：解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=45°，∠DCB=90°， ∵AC=CE， ∴∠E=∠CAF， ∵∠ACB是△ACE的外角， ∴∠E=12∠ACB=22.5°， ∵∠AFC是△CFE的外角， ∴∠AFC=∠FCE+∠E=112.5°．

点评：本题主要考查了三角形外角定理以及正方形性质的综合运用，难度较大． 16．（2009?达州）如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 （+1） cm（结果不取近似值）．

考点：轴对称-最短路线问题；正方形的性质。 专题：动点型。

分析：由于点B与点D关于AC对称，所以如果连接DQ，交AC于点P，那么△PBQ的周长最小，此时△PBQ的周长=BP+PQ+BQ=DQ+BQ．在Rt△CDQ中，由勾股定理先计算出DQ的长度，再得出结果．

解答：解：连接DQ，交AC于点P，连接PB． ∵点B与点D关于AC对称， ∴BP=DP， ∴BP+PQ=DP+PQ=DQ． 在Rt△CDQ中，DQ=

=

=，

∴△PBQ的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=故答案为．

+1．

点评：根据两点之间线段最短，可确定点P的位置． 17．（2004?黄冈）在矩形ABCD中，M是BC的中点，MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD

2

的面积为 128 cm．

考点：矩形的性质；相似三角形的判定与性质。 分析：根据矩形的性质求出∠CDM=∠BMA，∠DMC=∠BAM继而求出△DCM∽△MBA．然后求出AB=BM，（AB+2AB）×2=48可求出AB，BC的值．最后可求出矩形ABCD的面积． 解答：解：∠CDM+∠CMD=90°，∠CMD+∠BMA=90°， ∴∠CDM=∠BMA，同理∠DMC=∠BAM． ∴△DCM∽△MBA． ∴

，

∵DC=AB，BM=CM， ∴AB=BM． 又∵（AB+BC）×2=48， ∴（AB+2AB）×2=48． ∴AB=8，BC=16． ∴矩形ABCD的面积为128．

点评：本题的关键是利用了三角形相似的判定定理，及相似三角形的性质和矩形的性质．

18．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD：BC=3：5，梯形ABCD的面积是8cm2，点M、N分别是AD和BC上一点，E、F分别是BM、CM的中点，则四边形MENF的面积是 2.5 cm2．

考点：梯形；梯形中位线定理。 分析：设梯形ABCD的高为h，根据梯形ABCD的面积是8cm2，求得BC?h=10；再寻求S四边形MENF=S△BMC﹣S△BNE﹣S△NFC之间的关系从而求得其面积．

解答：解：设梯形ABCD的高为h，则S梯形ABCD=（AD+BC）?h=（BC+BC）?h=BC?h=8，则BC?h=10；

∴S四边形MENF=S△BMC﹣S△BNE﹣S△NFC=BC?h﹣BN?h﹣NC?h=BC?h﹣h（BN+NC）=BC?h=×10=2.5cm2．

点评：此题主要考查学生对梯形的性质及梯形的中位线的理解及运用．

三．解答题（共9小题）

19．如图，田村有一口呈四边形的池塘，在它的四个角A、B、C、D处均种有一棵大核桃树．田村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问田村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法）．

考点：平行四边形的判定。 专题：作图题。

分析：连接AC、BD，然后分别过点A，B，C，D作AC、BD的平行线，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 解答：解：能．

点评：本题考查了平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 20．（2007?青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′处，折痕为EF． （1）求证：△ABE≌△AD′F；

（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

考点：全等三角形的判定；菱形的判定。 专题：几何综合题。 分析：（1）根据平行四边形的性质及折叠的性质我们可以得到∠B=∠D′，AB=AD′，∠1=∠3，从而利用ASA判定△ABE≌△AD′F；

（2）四边形AECF是菱形，我们可以运用菱形的判定，有一组邻边相等的平行四边形是菱形来进行验证． 解答：（1）证明：由折叠可知：∠D=∠D′，CD=AD′， ∠C=∠D′AE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD． ∴∠B=∠D′，AB=AD′，∠D′AE=∠BAD， 即∠1+∠2=∠2+∠3． ∴∠1=∠3． ∴△ABE≌△AD′F．

（2）解：四边形AECF是菱形． 证明：由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC． ∴∠5=∠6． ∴∠4=∠6． ∴AF=AE． ∵AE=EC， ∴AF=EC． 又∵AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵AF=AE， ∴四边形AECF是菱形．

点评：此题考查了全等三角形的判定及菱形的判定方法，做题时要求学生对常用的知识点牢固掌握． 21．（2010?随州）如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，试探究线段AE与EF的数量关系，并说明理由．

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：探究型。

分析：AE=EF．根据正方形的性质推出AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°，推出∠HAE=∠CEF，根据△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形，得到BH=BE，∠H=45°，HA=BC，根据CF平分∠DCE推出∠HAE=∠CEF，根据ASA证△HAE≌△CEF即可得到答案． 解答：答：AE=EF．

理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAD=∠HAD=∠DCE=90°， 又∵EF⊥AE， ∴∠AEF=90°， 又∵四边形ABCD是正方形 ∴AD∥BC ∴∠DAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等） ∴∠HAE=∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠BEA=∠CEF， 又∵△HEB是以∠B为直角的等腰直角三角形， ∴BH=BE，∠H=45°，HA=BH﹣BA=BE﹣BC=EC， 又∵CF平分∠DCE， ∴∠FCE=45°， ∴∠HAE=90°+45°=∠CEF，

∴△HAE≌△CEF（ASA）， ∴AE=EF．

点评：此题考查线段相等的证明方法，可以通过全等三角形来证明．要判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 22．（2010?青海）如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，O A1交AB于点E，OC1交BC于点F． （1）求证：△AOE≌△BOF；

（2）如果两个正方形的边长都为a，那么正方形A1B1C1O绕O点转动，两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题。 分析：（1）由题意得OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°又因为∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°可得∠AOE=∠BOF，根据ASA可证明全等． （2）由（1）得△AOE≌△BOF?S四边形OEBF=S△EOB+S△OBF=S△EOB+S△AOE=S△AOB=S正方形ABCD=解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAB=∠OBC=45°， ∵∠AOE+∠EOB=90°，∠BOF+∠EOB=90°， ∴∠AOE=∠BOF． 在△AOE和△BOF中∴△AOE≌△BOF．

，

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