信号分析与处理第一章答案坤生二版

第一章习题参考解答

1.1 绘出下列函数波形草图。 (1) x(t)?3e?|t|

(1)3210-2-1012t

(3) x(t)?sin2?t?(t)

(3)10-1-1012t

(5) x(t)?e?tcos4?t[?(t)??(t?4)](5)10-1-2-10123456t

(2) x(n)?????12?nn?0?

?2nn?0(2)10.50......-3-2-10123n(4) x(n)?sin?4n?(n)

(4)10-1-20246810n(6) x(n)?3n[?(n?1)??(n?4)] (6)100806040200-2-1012345678n

1

(7) x(t)?[?(t)??(t?2)]cos?2t

(7) ?? 0 -2-101234t

(9) x(t)??(t)?2?(t?1)??(t?2)

(9) 1 0-1 -2-101234t

(11) x(t)?ddt[?(t?1)??(t?1)]

(11) ? 0? -2-101234t

(13) x(t)??t???(??1)d?

(13)

12

001t(8) x(n)?n[?(n?3)??(n?1)] (8)20-2-4-4-2024n(10) x(n)?n[?(n)??(n?5)]?5?(n?5)(10)642...0-202468n(12) x(n)??(?n?5)??(?n) (12)10-3-2-1012345678910n(14) x(n)??n?(?n) (14)54321...0-5-4-3-2-1012n

1.2 确定下列信号的能量和功率，并指出是能量信号还是功率信号，或两者均不是。 (1) x(t)?3e?|t|

解 能量有限信号。信号能量为：

E?????x(t)dt??2????3e?dt??9e?|t|20??2tdt??9e0??2t1dt?9??e2t20??1?9?(?)?e?2t2??9??0

n???12?(2) x(n)??n??2n?0n?0

解 能量有限信号。信号能量为： ??1??1?1n252n2n)n??? E??x(n)???2???[(2)]??4??(143n???n???n?0n???n?0

(3) x(t)?sin2?t

解 功率有限信号。周期信号在(??,?)区间上的平均功率等于在一个周期内的平均功率，sin2?t的周期为1。

1P?T?T2T?2(sin2?t)dt??(sin2?t)dt??2121?22121?21?cos4?t11dt??21dt??21cos4?tdt?22?2?2211

(4) x(n)?sin?n

4解 功率有限信号。sin?n是周期序列，周期为8。

41P?N1?1x(n)?sin2n?8n??348n??3n??N??2?4?41?cos2?2n1411??8n?322?

3

(5) x(t)?sin2?t?(t)

解 功率有限信号。由题(3)知，在(??,?)区间上sin2?t的功率为1/2，因此sin2?t?(t)在(??,?)区间上的功率为1/4。如果考察sin2?t?(t)在(0,?)区间上的功率，其功率为1/2。 (6) x(n)?sin?n?(n)

4解 功率有限信号。由题(4)知，在(??,?)区间上sin?n的功率

4为1/2，因此sin?n?(n)在(??,?)区间上的功率为1/4。如果考

4察sin?n?(n)在(0,?)区间上的功率，其功率为1/2。

4

(7) x(t)?3e?t

解 非功率、非能量信号。考虑其功率：

1T1T?2t19?2tT?9?2T?t2 P?Tlim??3edt?lim9edt?lime?lim(e?e2T) ???T?T?T??T??T??T??2T2T2T?24T上式分子分母对T求导后取极限得P??。 (8) x(t)?3e?t?(t)

解 能量信号。信号能量为：

? E?????x2(t)dt??0?(3e?t)2dt??0?9e?2tdt??9e?2t0?9

22

1.3 已知x(t)的波形如题图1.3所示，试画出下列函数的波形。 x(t)

1

t -1 0 1 2

题图1.3

4

(1) x(t?2)

(2) x(t?2)

x(t?2)

x(t?2)

1

1

t 0 1 2 3 4

t -3 -2 -1 0

(3) x(2t)

(4) x(12t)

x(2t)

x(t/2)

1

1

t -1/2 0 1

t -2 -1 0 1 2 3 4

(5) x(?t)

(6) x(?t?2)

x(?t)

x(?t?2)

1 1

t -2 -1 0 1

t

0 1 2 3

(7) x(?t?2)

(8) x(?2t?2) x(?t?2) x(?2t?2)

1

t

t 0 1 3/2

5

1

-4 -3 -3 -1 0

(9) x(1t?2)

2

x(t/2?2)

1

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8

(10) x(?1t?2)

2 x(?t/2?2)

1

t

-8 -4 -2 0

(11) x(t)?x(1t?2)

2 x(t)?x(1t?2)

2 1

t

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

(12) x(2t)?x(1t) (13) dx(t)

2dt

6

1x(2t)?x(t)2

1

t -1/2 0 1

dx(t) dt

1

t -1 0

(14)

?1t2?t?12?2?1t?2?t???x(?)d?=???3?2??0?1?t?00?t?2t?2t??1x(?)d????

3/2

1/2

-1 0 1 2 t

t

1.4 已知x1(t)及x2(t)的波形如题图1.4所示，试分别画出下列函数的波形，并注意它们的区别。 x(t)x(t) 2 1

2 2 1 1

t t

-1 0 1 0 1 2 3 4

(a) (b)

题图1.4

7

(1) x1(2t)

2

1 t -1/2 1/2

x1(2t)(2) x1(1t)

21x1(t)2

2

1 t -2 0 2

(3) x2(2t)

0 1 2 t

2 2

1 (4) x2(1t)

21x2(t)2 x(2t) 2

1 t 0 4 8

1.5已知x(n)的波形如题图1.5所示，试画出下列序列的波形。

x(n) 2 2 2 1 1

n -1 0 1 2 3

题图1.5

8

(1)x(n?4)

x(n?4) 2 2 2 1 1 n -5 -4 -3 -2 -1 0

(3) x(?n?3)

x(?n?3)

2 2 2 1 1 n

-6-5 -4 -3 -2 -1 0

(5) x(?n?3)+x(?n?3)

x(?n?3)?x(?n?3) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n -6-5–4 -3–2 –1 0 1 2 3 4

(7) ?x(n)?x(n)?x(n?1)

?x(n) 1 1 -4 n -1 0 1 2 3

-2

(2) x(?n)

x(?n) 2 2 2 1 1 n -3 -2 -1 0 1 (4) x(?n?3)

x(?n?3) 2 2 2 1 1 n 0 1 2 3 4

(6) x(?n?3)?x(?n?3)?0(图略)

(8) ?nx(m)

m???m?nx(m)???

… n 9

8 8 8 6 4 2 1 -1 0 1 2 3 4 5

1.6 任何信号可以分解为奇分量和偶分量的和：

x(t)?xe(t)?xo(t) 或 x(n)?xe(n)?xo(n)

其中xe为偶分量；xo为奇分量。偶分量和奇分量可以由下式确定：

11xe(t)?[x(t)?x(?t)]， xo(t)?[x(t)?x(?t)]

2211xe(n)?[x(n)?x(?n)]， xo(n)?[x(n)?x(?n)] 22(1) 试证明xe(t)?xe(?t)或xe(n)?xe(?n)；xo(t)??xo(?t)或xo(n)??xo(?n)。

(2) 试确定题图1.6(a)和(b)所示信号的偶分量和奇分量，并绘出其波形草图。

x(n) x(t) 2

1 1 1 2 3 n

-2 -1 0 t -1 0 1 2 -2 (a) -3 (b)

题图1.6

(1) 证明 根据偶分量和奇分量的定义：

1xe(?t)?[x(?t)?x(t)]?xe(t)

211xo(?t)?[x(?t)?x(t)]??[x(t)?x(?t)]??xo(t) 22离散序列的证明类似。

10

(2) 根据定义可绘出下图 x(n) x(t)

2

1 1 1 2 3 n

-2 -1 0 t

-1 0 1 2 -2 -3 x(?n) x(?t) 2 1 -3 -2 -1 1 0 1 2 n t -1 -2 -2 -1 0

-3 x(n) e xe(t)

-3 3 1/2 0 n t

-3/2 -3/2 -2 -1 0 1 2

xo(n) -3/2 2 xo(t)

1 1 2 3 -3 -2 -1 0 n 1/2 -1 -2 -1

-2 -3/2 0 1 2 t

1.7 设x(n)?2n，试求?x(n),?x(n),?2x(n),?2x(n)。 解 ?x(n)?x(n)?x(n?1)?2n?2n?1?12?2n?2n?1

?2x(n)??x(n)??x(n?1)?2n?1?2n?2?1?2n?1?2n?22 ?x(n)?x(n?1)?x(n)?2n?1?2n?2n

?2x(n)??x(n?1)??x(n)?2n?1?2n?1?2n

11

1.8 判断下列信号是否为周期信号，若是周期的，试求其最小周期。 (1) x(t)?cos(4t??)

6解 周期信号，T1??

2

(2) x(t)?sin(2?t)?(t)

解 非周期信号。 (3) x(t)?e?tcos(2?t)

解 非周期信号。

(4) x(t)?e

解 周期信号，T1?8。

(5) x(t)?asin(5t)?bcos(?t)

解 若a?0,b?0, 则x(t)为周期信号，T1b?2；

2 若a?0,b?0, 则x(t)为周期信号，T1a?5?； 若a?0,b?0, 则x(t)为非周期信号。

(6) x(n)?cos(?n?3)

8j(t?3)4?解 周期信号，N1?16。

(7) x(n)?cos(7?n)

9解 周期信号，N1?18。

(8) x(n)?con(16n) 解: 非周期信号。

12

(9) x(n)?ej2?15n

解: 周期信号，N1?15。 (10) x(n)?3cos(?6n)?sin(?3n)?2sin(?4n??3)

解: 周期信号，最小公共周期为N1?24。

1.9 计算下列各式的值。 (1) ????x(t?t0)?(t)dt

解: 原式?????x(?t0)?(t)dt=x(?t0).

(2) ?t??x(??t0)?(?)d? 解: 原式??t??x(?t0)?(?)d??x(?t0)??(t)

(3) ????x(t0?t)?(t)dt

解: 原式?????x(t0)?(t)dt?x(t0)

(4) ????x(t?t0)?'(t)dt

解: 原式??x'(t?t0)t?0??x'(?t0)

(5) ?????(t?t0)?(t?t02)dt

解: 原式??????(tt0?t0)??(t?t0)dt??(022)

(6) ?t???(??t0)?(??2t0)d?

解: 原式

=?t???(??t0)?(t0?2t0)d?=?(?tt0)????(??t0)d???(?t0)?(t?tt0?00)=??0??(t?t0)t0?0

13

(7) ?????(t)dt 解: 原式?1

(8) ??0??(t)dt

?解: 原式?0 (9) ?0??(t)dt

?

解 原式?0

(10) ?00?(t)dt

??解 原式?1

(11) ?????(3t?3)(t2?2t?1)dt

解 令v?3t得：

原式??????(v?3)[(v)2?2v?1]1dv?1[(v)2?2v?1]x?3?2

3333333

(12) ?????'(t?1)x(t)dt 解: 原式??x'(t)t??1??x'(?1)

(13) ?????'(t)e?tdt 解: 原式??[e?t]'t?0?1 (14) ?13?(2t1?3

?3)x(t)dt

解: 令v?2t得： 原式??2v13?(v?3)x()?222?3dv＝??2v13?(v?3)x()?222?3dv

14

因为?23?(v?3)dv?02?3，所以: 原式＝0

1.10 设x(t)或x(n)为系统的输入信号，y(t)或y(n)为系统的输出信号，试判定下列各函数所描述的系统是否是：(a) 线性的 (b) 时不变的 (c) 因果的 (d) 稳定的 (e) 无记忆的?

(1) y(t)?x(t?4) 解 (a)线性的.

?若 x1(t)?y1(t)?x1(t?4);x2(t)?y2(t)?x2(t?4) 则: ax1(t)?bx2(t)?y(t)?ax1(t?4)?bx2(t?4)?ay1(t)?by2(t) (b)时不变的.

?若 x(t)?y(t)?x(t?4) 则: x(t??)?x(t?4??) (c)非因果的.

?t0时刻的响应取决于t0以后时刻(即t0?4时刻)的输入. (d)稳定的.

则:|y(t)|?M?? ?若|x(t)|?M

(e)有记忆的

?若系统的输出仅仅取决当前时刻的输入，则称此系统为无记忆系统。题给系统显然不满足此条件。

(2) y(t)?x(t)?x(t??) (??0，且为常数) 解 (a)线性的.

?若 x1(t)?y1(t)?x1(t)?x1(t??)，x2(t)?y2(t)?x2(t)?x2(t??) 则: ax1(t)?bx2(t)?y(t)?a[x1(t)?x1(t??)]?b[x2(t)?x2(t??)]=ay1(t)?by2(t) (b) 时不变的.

若 x(t)?y(t)?x(t)?x(t??) ?

15

则: x(t?t0)?x(t?t0)?x(t?t0??)?y(t?t0) (c)当??0时为因果的.

? 当??0时:系统t0时刻的输出仅与t0及t0以前时刻的输入有关.

当??0时:系统t0时刻的输出与t0以后时刻的输入有关.

(d)稳定的.

?若|x(t)|??， 则|y(t)|?? (e)有记忆的.

系统t0时刻的输出与t0时刻以前的输入有关. ?

(3) y(t)?x(t/2)

解:(a)线性的. (说明略) (b)时变的

?若x(t)?y(t)?x(t)

2则: x(t??)?x(t??)?x(t??)

22(c)

非因果的. 11?y(?1)?x(?). 即t??1时刻的输出与t??1时刻以后(t??)的输

22入有关.

(d)稳定的. (说明略) (e)有记忆的.

11?y(1)?x(). 即t?1时刻的输入与t?1时刻以前(t?)的输入有

22关.

(4) y(t)?x2(t) 解:(a)非线性的. ? 若 x1(t)?y1(t)?x12(t)， x2(t)?y2(t)?x22(t)

则: ax1(t)?bx2(t)?[ax1(t)?bx2(t)]2?ax12(t)?bx22(t)?ay1(t)?by2(t)

16

(b)时不变的.

?若x(t)?y(t)?x2(t) 则: x(t??)?x2(t??)?y(t??) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的.

? t0时刻的输出仅取决于t0时刻的输入.

(5) y(t)?e2x(t) 解:(a)非线性的. (说明略) (b)时不变的. (说明略) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的.

? 若 |x(t)|?M??, 则|y(t)|?e2M?? (e)无记忆的. (说明略)

(6) y(t)?x(t)sin2?t 解: (a)线性的.

? 若 x1(t)?y1(t)?[sin2?t]x1(t)，x2(t)?y2(t)?[sin2?t]x2(t)则: ax1(t)?bx2(t)?sin2?t[ax1(t)?bx2(t)]?ay1(t)?by2(t) (b)时变的.

? 若 x(t)?y(t)

则: x(t??)?(sin2?t)x(t??)?y(t??)?[sin2?(t??)]x(t??) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的.

? 若|x(t)|?M??， 则|y(t)|?M|sin2t|?M?? (e)无记忆的. (说明略)

17

x(t)(7) y(t)???0?x(t)?0

解: (a)非线性的. ? 若 x(t)(?0)?y1(t)?0

而a?0时: ax(t)(?0)?y2(t)?0?ay1(t)，即不满足均匀性. (b)时不变的. ?若 x(t)?y(t)

x(t?t0)则: x(t?t0)???0?x(t?t0)?0x(t?t0)?0?y(t?t0)

(c)因果的.

?t0时刻的输出仅与t0以后时刻的输入无关. (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略)

(8) y(t)?dx(t)

dt解:(a) 线性的.

? 若 x1(t)?y1(t)?dx1(t)，x2(t)?y2(t)?dx2(t)

dtdt则: ax1(t)?bx2(t)?d[ax1(t)?bx2(t)]?ay1(t)?by2(t)

dt(b)时不变的.

?若: x(t)?y(t)?dx(t)

dtt??)dx(t??)??y(t??) 则: x(t??)?dx(dtd(t??)(c)因果的. (说明略) (d)非稳定的. ?x(t)?u(t)?y(t)??(t)

(e)无记忆的 (说明略)

(9) y(t)???t?x(?)d?

解: (a)线性的. (说明略)

18

(b)时不变的.

? 若: x(t)?y(t)??t??x(?)d? 则: x(t?ttt0)????x(??t0)d???t?0??x(v)dv?y(t?t0)

(c)因果的. (说明略) (d)非稳定的.

若|x(t)|?|u(t)|??1，但|y(t)|?? (e)有记忆的. (说明略)

(10) y(n)?x(n)?x(n?1) 解: (a)非线性的

?若 x1(n)?y1(n)?x1(n)?x1(n?1)，x2(n)?y2(n)?x2(n)?x2(n?1) 则: ax1(n)?bx2(n)?[ax1(n)?bx2(n)][ax(n?1)?bx2(n?1)]?ay1(n)?by2(n)(b)时不变的.

?若 x(n)?y(n)?x(n)?x(n?1)

则: x(n?N)?x(n?N)?x(n?N?1)?y(n?N) (c)因果的.

?n0时刻的输出与n0时刻以后的输入无关. (d)稳定的.

? 若 |x(n)|?M??, 则: |y(n)|?M2?? (e)有记忆的.

?n0时刻的输出与n0时刻以前的输入有关.

(11) y(n)?nx(n) 解: (a)线性的.

?若 x(n)?y1(n)?nx1(n)，x2(n)?y2(n)?nx2(n) 则: ax1(n)?bx2(n)?n[ax1(n)?bx2(n)]?ay1(n)?by2(n) (b)时不变的.

?若 x(n)?y(n)?nx(n)

19

则: x(n?N)?(n?N)x(n?N)?y(n?N) (c)因果的. (说明略) (d)非稳定的.

? 即使|x(n)|?M，n??时，y(n)?? (e)无记忆的. (说明略)

(12) y(n)?5x(n)?6 解: (a)非线性的.

?若 x1(n)?y1(n)?5x1(n)?6，x2(n)?y2(n)?5x2(n)?6 则: ax1(n)?bx2(n)?y(n)?5[ax1(n)?bx2(n)]?6?ay1(n)?6y2(n) (b)时不变的. (说明略) (c)因果的. (说明略) (d)稳定的. (说明略) (e)无记忆的. (说明略)

(13) y(n)?x(?n)

解: (a)线性的. (说明略) (b)时变的.

?若 x(n)?y(n)?x(?n)

则: x(n?N)?x(?n?N)?y(n?N)?x[?(n?N)] (c)非因果的.

?y(?1)?x(1). 即 n??1时刻的输出与 n??1以后时刻(n?1时刻)的输入有关.

(d)稳定的. (说明略) (e)有记忆的.

?y(1)?x(?1). 即 n?1时刻的输出与n?1以前时刻(n??1时刻)的输入有关. x(2?2t)

2 20

1

t 0 1 2 3 4

题图1.11

*1.11 已知x(2?2t)的波形如题图1.11所示，试画出x(t)的波形。

解 将x(2?2t)的波形扩展可得x(2?t)，将x(2?t)的波形翻转得x(2?t)，将x(2?t)右移2个单位可得x(t)的波形如下: x(t)

2 1 t -6 -4 -2 0

*1.12 判断下列每个系统是否是可逆的，如果是可逆的，试构成其逆系统；如果不是，找出使系统具有相同输出的两个输入信号。 (1) y(t)???t?e?(t??)x(?)d? 解 原式两边求导得：

????上式同原式相加得：x(t)?y(t)?dy(t)

y'(t)?dtd??t?edt?e?x(?)d???e?t?etx(t)?e?t????tte?x(?)d??x(t)????te?(t??)x(?)d?

所以系统可逆，逆系统为: x(t)?y(t)?dy(t)

dt (2)

?x(n?1)?y(n)??0?x(n)?n?1n?0n??1

21

y(n?1)解: 系统可逆，逆系统为: x(n)???y(n)?n?0n??1

(3) y(t)?dx(t)

dt解 系统不可逆，因为不能由x(t)唯一地确定y(t)。例如:x1(t)?c1,x2(t)?c2(c1?c2) y1(t)?y1(t)?dx1(t)?dx2(t)?0

dtd?

(4) y(n)?nx(n)

解 系统不可逆，因为当n?0时,不论x(n)取何值，y(n)n?0?0。

(5) y(t)???t?x(?)d?

解 系统可逆，逆系统为x(t)?dy(t)。

dt

n)n?kx(k) (6) y(n)??(12k???解 系统可逆，逆系统为x(n)?y(n)?1(y?1)。

2

?y(n)?1111y(n?1)??()n?kx(k)??()n?1?kx(k)?x(n)22k???2k???2nn?1

[ 或从z域考虑:

)n?(n)*x(n), y(n)?(12Y(z)?z1X(z)?X(z)?(1?z?1)Y(z),z?122即逆系统为: h(n)??(n)?1?(n?1)

2

*1.13 对于例1.2中的x(t)和x(n)，请指出下面求解x(2t?1)和x(?n?1)的过程错在何处？ 求解x(2t?1)的过程：

1?x(2t?1)?x[2(t?)]

222

?先将x(t)的波形右移

12个单元得到，x(t?1)的波形，再将

211x(t?)的波形压缩一倍得到x[2(t?)]即x(2t?1)的波形，如题22图(1.13)(a)所示。 求解x(?n?1)的过程： ?x(?n?1)?x[?(n?1)]

?先将x(n)的波形右移1个单元得到x(n?1)的波形，再将

x(t) 1 o 1 2 3 4 5 t x(t?1) 2 1 x[(2(t?1)]?x((2t?1) 2 1 o 1 2 3 4 5 t o 1 2 3 4 5 t (a) x(n?1) 2 1 1 1 1 x(n) 2 1 1 1 1 x[?(n?1)]?x(?n?1) 2 1 1 1 1 -2 -1 o 1 2 3 4 n -1 o 1 2 3 n -5 -4 -3 -2 -1 o 1 n (b) 题图1.13

的波形反转得到x[?(n?1)]即x(?n?1)的波形，如题图(1.13)(b)所示。

)并答 设g(t)?x(t?1)，则g(2t)?x(2t?1)?x(2t?1)，所以x(2t?1)和x(t?12x(n?1)22不构成压扩关系。类似，x(?n?1)和x(n?1)并不构成反转关系。

23

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/77ka.html