数列求和及综合应用

数列求和及综合应用

解答题

1. (2014·湖北高考文科·T19)已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由. 【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项. (2)根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn>60n+800,解此不等式. 【解析】(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)=2(2+4d),

2

化简得d-4d=0,

2

解得d=0或d=4. 当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2. (2)当an=2时,Sn=2n. 显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立. 当an=4n-2时,Sn=

2

n[2?(4n?2)]2

=2n.

22

令2n>60n+800,即n-30n-400>0, 解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41. 综上,当an=2时,不存在满足题意的n.

当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.

2. （2014·湖北高考理科·Ｔ18）已知等差数列{an}满足： a1＝2，且a1,a2,a3 成等比数列.

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（1） 求数列{an}的通项公式.

（2） 记Sn 为数列{an}的前n 项和，是否存在正整数n，使得Sn?60n?800?若存在，求n的最小

值；若不存在，说明理由.

【解题指南】（Ⅰ）由2，2?d，2?4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列{an}的通项；

（Ⅱ）根据{an}的通项公式表示出{an}的前n项和公式Sn,令Sn?60n?800，解此不等式。 【解析】（1）设数列{an}的公差为d，依题意，d,2?d,2?4d成等比数列， 故有(2?d)2?2(2?4d)

2化简得d?4d?0，解得d?0或d?4

当d?0时，an?2

当d?4时，an?2?(n?1)?4?4n?2

从而得数列{an}的通项公式为an?2或an?4n?2。 （2）当an?2时，Sn?2n。显然2n?60n?800 此时不存在正整数n，使得Sn?60n?800成立。 当an?4n?2时，Sn?2n[2?(4n?2)]?2n2

22令2n?60n?800，即n?30n?400?0， 解得n?40或n??10（舍去），

此时存在正整数n，使得Sn?60n?800成立，n的最小值为41。 综上，当an?2时，不存在满足题意的n；

当an?4n?2时，存在满足题意的n，其最小值为41。 3. （2014·湖南高考理科·Ｔ20）（本小题满分13分）

已知数列{an}满足a1?1,|an?1?an|?pn,n?N*.

（1）若{an}是递增数列，且a1,2a2,3a3成等差数列，求p的值； （2）若p?

1

，且{a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式． 2

【解题提示】（1）由{an}是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用a1,2a2,3a3成等差数列，得到关于p的方程即可；

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（2） {a2n?1}是递增数列，{a2n}是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。 【解析】（1）因为{an}是递增数列，所以an?1?an?pn， 又a1?1，a2?p?1,a3?p2?p?1，

因为a1,2a2,3a3成等差数列，所以4a2?a1?3a3,4p?4?1?3p2?3p?3,3p2?p， 解得p?11,p?0，当p?0，an?1?an?0，与{an}是递增数列矛盾，所以p?。

33（2）因为{a2n?1}是递增数列，所以a2n?1?a2n?1?0， 于是?a2n?1?a2n???a2n?a2n?1??0① 由于

11?，所以a2n?1?a2n?a2n?a2n?1② 22n22n?12n?12n??1?③ ??1?由①②得?a2n?a2n?1??0，所以a2n?a2n?1????2?22n?1?1?因为{a2n}是递减数列，所以同理可得a2n?1?a2n?0，a2n?1?a2n?????2?an?1?ann?1??1?， ?2n2n?1??1??22n④由③④得

2n所以an?a1??a2?a1???a3?a2?????an?an?1?

23n???1???1??1??1?????21222n?1?1?1????12??1???121?2nn?141??1?， ??332n?1n41??1?所以数列{an}的通项公式为an??． 332n?14. （2014·湖南高考文科·Ｔ17）（本小题满分12分）

n2?n，n?N?. 已知数列?an?的前n项和Sn?2 （1）求数列?an?的通项公式；

（2）设bn?2n???1?an，求数列?bn?的前2n项和.

an【解题提示】（1）利用an,Sn的关系求解，（2）分组求和。

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【解析】（1）当n?1时，a1?S1?1；

n2?n(n?1)2?(n?1)??n， 当n?2时，an?Sn?Sn?1?22故数列?an?的通项公式为an?n （2）由（1）知，bn?2?n??1?n，记数列?b?的前2n项和为T

nn2n，

则T2n?(21?22???22n)?(?1?2?3?4???2n) 记A?2?2???2,B??1?2?3?4???2n，

122n2(1?22n)?22n?1?2， 则A?1?2B?(?1?2)?(?3?4)????[?(2n?1)?2n]?n

故数列?bn?的前2n项和T2n?A?B?22n?1?n?2

5.(2014·广东高考文科·T19)(14分)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且Sn满足Sn2-(n2+n-3)Sn-3(n2+n)=0,n∈N*. (1)求a1的值.

(2)求数列{an}的通项公式. (3)证明:对一切正整数n,有

1111++…+<.

a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)3【解题提示】(1)可直接令n=1. (2)用n表示出Sn,利用an=Sn-Sn-1(n≥2). (3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和.

【解析】(1)令n=1,则S1=a1,S12-(12+1-3)S1-3(12+1)=0,即a12+a1-6=0, 解得a1=2或a1=-3(舍去). (2) Sn2-(n2+ n-3)Sn-3(n2+n)=0 可以整理为(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0,

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因为数列{an}中an>0, 所以Sn≠-3,只有Sn=n2+n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n, 而a1=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*). (3)因为

111==·

an(an?1)2n(2n?1)411n(n?)2<

1·4111(n?)(n?1?)44，

111(n?)(n?1?)44所以

=

11n?4-

11n?1?4,

111++…+

a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)?????????1??1??11??11?1

34n?33故对一切正整数n,有

1111++…+<.

a1(a1?1)a2(a2?1)an(an?1)36. （2014·浙江高考理科·Ｔ19）（本题满分14分）

aa?an??????已知数列an和bn满足122??n?N?.若?a?为等比数列，且

bn?na1?2,b3?6?b2. （1）求an与bn；

cn?11?n?N??c?Sanbn，记数列n的前n项和为n.

??（2）设

①求

Sn；

?②求正整数k，使得对任意n?N，均有Sk?Sn.

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a1a2a3???an?(2)bn【解析】（1）由题意

b3?b26b?b?6a?(2)?(2)?8 323，知

n*an?a?2?a?2(n?N) q?2q??21n又由，得公比（舍去），所以数列的通项

所以a1a2a3???an?2n(n?1)2?(2)n(n?1)，所以数列?bn?的通项bn?n(n?1)(n?N*) 1111111??n?(?)(n?N*)Sn??n*anbn2nn?1(n?N) n?12所以

cn?1?n(n?1)??1?nn(n?1)?2??

（2）①由（1）知

cn?②因为c1?0，c2＞0,c3＞0,c4＞0； 当n≥5时，

n(n?1)5(5?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(n?1)(n?2)≤＜1??＞0n5nn?1n?1222而2 得2

所以，当n≥5时，cn＜0

*n?N综上，对任意恒有S4≥Sn，故k?4.

7. （2014·上海高考理科·Ｔ23）已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. （1）若a2?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围； （2）若{an}是公比为q等比数列，Sn?a1?a2?取值范围； （3）若a1,a2,131?an，Sn?Sn?1?3Sn,n?N*,求q的

3,ak成等差数列，且a1?a2?,ak的公差.

?ak?1000，求正整数k的最大值，以及

k取最大值时相应数列a1,a2,【解题指南】

11(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)需对q分类讨论，若q?1，33易得符合题意，若q?1时，再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当k=1000,12d=0是一组解，故kmax?1000,根据an?an?1?3an,可得d??,然后根据a1?

32k?12a2??ak?1000,得到关于d的关系式，而d??得到关于k的不等式，2k?1解此不等式即得.【解析】

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12(1)依题意，a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得；3?x?6;311(2)由已知得，an?qn?1,又a1?a2?3a1，??q?3331n当q?1时，sn?n,sn?sn?1?3sn,即?n?1?3n,成立.33qn?111qn?1qn+1?1qn?1当12qn?2?0对于不等式qn?1?3qn+2?0，令n?1,得q2?3q?2?0,解得1?q?2又当1?q?2时，q?3?0?qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?（qq?3)?2?(q?1)(q?2)?0成立?1?q?211?qn111?qn1?qn+11?qn当?q?1时，sn?,sn?sn?1?3sn,即??331?q331?q1?q1?q?3qn?1?qn?2?0?此不等式即?n?1n?q?3q?2?03q?1?0,q?3?0n?3qn?1?qn?2=q（3q-1)-2<2qn?2?0qn?1?3qn+2?qn(q?3)?2?（qq?3)?2?(q?1)(q?2)?01??q?1时，不等式恒成立31综上，q的取值范围为?q?23（3）设公差为d,显然，当k?1000,d?0时，是一组符合题意的解，故kmax?10001+（k?2)d?1?(k?1)d?3(1?(k?2)d)3?(2k?1)d??2???(2k?5)d??222当k?1000时，不等式即d??,d??2k?12k?5则由已知得

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22k?1k(k?1）da1?a2??ak?k??100022000?2k2?k?1000时，d???（kk?1)2k?1?d的取值范围为d??解得1000-999000?k?1000?999000?k?1999?k的最大值为1999，此时公差d?2000?2k19981????（kk?1)1999?19981999

8.(2014·江西高考文科·T17)已知数列的前n项和Sn=,n∈N*. (1)求数列的通项公式.

(2)证明:对任意的n>1,都有m∈N*,使得a1,an,am成等比数列. 【解题指南】(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)解决. (2)a1,an,am成等比数列,转化为=a1·am.

【解析】(1)当n=1时a1=S1=1;当n≥2时an=Sn-Sn-1=-=3n-2,对n=1也满足, 所以的通项公式为an=3n-2;

(2)证明:由(1)得a1=1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列,需要=a1·am,

所以(3n-2)2=3m-2,整理得m=3n2-4n+2∈N*,所以对任意n>1,都有m∈N*使得=a1·am成立, 即a1,an,am成等比数列.

9 （2014·上海高考文科·Ｔ23）已知数列{an}满足an?an?1?3an,n?N*,a1?1. （2）若a2?2,a3?x,a4?9，求x的取值范围； （3）若{an}是等比数列，且am?131，求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应1000{an}的公比；

（3）若a1,a2,【解题指南】

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,a100成等差数列，求数列a1,a2,,a100的公差的取值范围.

111(1)根据a2?a3?3a2,a3?a4?3a4可求得x的范围.(2)根据a1?a2?3a1可把q的范围求出，3331再根据通项将m用q表示出来，用放缩法求解.(3).根据an?an?1?3an,可得公差d的关系式，

3对n分类讨论可得.【解析】

12(1)依题意，a2?a3?3a2,??x?6;331又a3?a4?3a4,?3?x?27;综上可得；3?x?6;311(2)设公比为q,由已知得，an?qn?1,又a1?a2?3a1，??q?33311故am=qm?1=,??q?1100031333m?1?logq1000?1??1??1??1??7.281log1000qlgqlg3lg33?1117?m的最小值为8，故q?,?q?()7?107100010001+（n?2)d（3）设公差为d,由已知可得?1?(n?1)d?3(1?(n?2)d),3?(2n?1)d??2其中2?n?100,即??(2n?5)d??22令n?2得，-?d?2322当3?n?100时，不等式即d??,d??2n?12n?522?d????200?1199?2?综上，公差d的取值范围为??，2?.?199?10. （2014·山东高考理科·Ｔ19）

已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）令bn?(?1)n?14n，求数列{bn}的前n项和Tn. anan?1

【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的

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通项公式.(2)利用裂项求和法求解，注意本题是将数列?bn?裂成两项之和，然后再分奇数和偶数来求数列?bn?的前n项和.

【解析】（I）d?2,S1?a1,S2?2a1?d,S4?4a1?6d,

2?S1,S2,S4成等比?S2?S1S4

解得a1?1,?an?2n?1 （II）bn?(?1)n?14n11?(?1)n?1(?) anan?12n?12n?1111111111当n为偶数时，Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n? 2n?12n?1111111111当n为奇数时，Tn?(1?)?(?)?(?)????(?)?(?)335572n?32n?12n?12n?1所以Tn?1?12n?2? 2n?12n?1?2n,n为偶数??2n?1所以Tn??

?2n?2,n为奇数??2n?111. （2014·山东高考文科·Ｔ19）

在等差数列?an?中，已知d?2，a2是a1与a4等比中项. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）设bn?an?n?1?,记Tn??b1?b2?b3?2???1?bn，求Tn.

n【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列?an?的通项公式.(2)分奇数项和偶数项来讨论求数列的和.

【解析】： （Ⅰ）由题意知：

?an?为等差数列，设an?a1??n?1?d，?a2为a1与a4的等比中项

22?a2?a1?a4且a1?0，即?a1?d??a1?a1?3d?，?d?2 解得：a1?2

?an?2?(n?1)?2?2n

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（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：an?2n，bn?an(n?1)?n(n?1)

2①当n为偶数时：

Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??2??1?3??4??3?5?????n???n?1???n?1???2?2?4?2?6?2????n?2 ?2??2?4?6????n??2?n?nn2?2n2??2?22 ②当n为奇数时：

?2??1?3??4??3?5??????n?1????n?2??n??n?n?1? ?2?2?4?2?6?2?????n?1??2?n?n?1?

?2??2?4?6?????n?1???n?n?1??2?n?1?n?1n2?2n?12?2??n?n?1???22Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??n2?2n?1?，n为奇数??2T?2综上：n? ?n?2n,n为偶数??212.(2014·江西高考理科·T17)已知首项都是1的两个数列{an}{bn}(bn≠0,n∈N*),满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令cn=,求数列{cn}的通项公式. (2)若bn=3n+1,求数列{an}的前n项和Sn.

【解题指南】(1)将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.

(2)由(1)及bn=3n+1可得数列{an}的通项公式,分析通项公式的特征利用错位相减法求Sn. 【解析】(1)因为bn≠0, 所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0, 得-+2=0,即-=2,

所以cn+1-cn=2,所以{cn}是以c1==1为首项,2为公差的等差数列,

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所以cn=1+(n-1)×2=2n-1. (2)因为bn=3n+1,cn=2n-1. 所以an=cnbn=(2n-1)3n+1.

所以Sn=1×32+3×33+5×34+…+(2n-1)3n+1,

3Sn=1×33+3×34+…+(2n-3)3n+1+(2n-1)3n+2, 作差得:-2Sn=32+2(33+34+…+3n+1)-(2n-1)3n+2

=9+2×-(2n-1)3n+2 =-［18+2(n-1)3n+2］,

所以Sn=9+(n-1)3n+2.

13.（2014·安徽高考文科·Ｔ18）数列{an}满足a1?1,nan?1?(n?1)an?n(n?1),n?N?

a（1） 证明：数列{n}是等差数列；

n（2） 设bn?3n?an，求数列{bn}的前n项和Sn

【解题提示】 利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。

aaaana=1，所以{n}是以1为首项，1 为公差【解析】(1)由已知可得n+1=n+1?n+1nn+1nn+1n的等差数列。

a（2）由（1）得n=1+（n-1）=n，所以an=n2,从而bn=n.3n，

nSn=1.31+2.32+3.33+...+n.3n

n3Sn=1.32+2.33+3.34+...(n-1)3++n.3n+1

将以上两式联立可得-2Sn=3+3+3+...+3-n.3n+1（2n-1).3+3所以Sn=

4123nn+13.(1-3n)1-2n).3n+1-3n+1（-n.3==

21-314. (2014·新课标全国卷Ⅱ高考理科数学·T17)(本小题满分12分)已知数列?an?满足a1=1,an+1=3an+1.

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1??(1)证明?an??是等比数列,并求?an?的通项公式.

2??(2)证明:

1113++…+<. a1a2an211”与“an+”的关系,得证,然后求得22【解题提示】(1)将an+1=3an+1进行配凑,得“an+1+{an}的通项公式.

?1?(2)求得??的通项公式,然后证得不等式.

?an?【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,n∈N*. 所以an+1+

111??=3an+1+=3?an??. 222??131??所以?an??是首项为a1+=,公比为3的等比数列.

222??13n3n?1所以an+=,所以an=.

222(2)

221111=n. =1,当n>1时, =n

1113++…+<.n∈N*. a1a2an215. （2014·四川高考理科·Ｔ19）设等差数列{an}的公差为d，点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上（n?N*）．

（1）若a1??2，点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn； （2）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?a{n}的前n 项和Tn. bn1，求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公

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式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力.

【解析】（1）点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上，所以bn?2an，又等差数列{an}的公差为d，

bn?12an?1所以?an?2an?1?an?2d，

bn2b因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，所以4b7?2a8?b8，所以2d?8?4?d?2，

b7n(n?1)d??2n?n2?n?n2?3n． 又a1??2，所以Sn?na1?2x（2）由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2)

111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?，从而a2?，故a2?2

ln2ln2ln2an从而an?n，bn?2n，n?n

bn2123nTn??2?3??n

22221123n Tn?2?3?4??n?1 22222111111n1nn?2所以Tn??2?3?4??n?n?1?1?n?n?1?1?n?1

2222222222n?2故Tn?2?n.

216. （2014·四川高考文科·Ｔ19）设等差数列{an}的公差为d，点(an,b)n在函数f(x)?2x的图象上（n?N?）．

（1）证明：数列{bn}为等比数列；

（2）若a1?1，函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线在x轴上的截距为2?2{anbn}的前n项和Sn．

1，求数列ln2【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力. 【解析】（1）点(an,bn)在函数f(x)?2x的图象上，所以bn?2an?0，又等差数列{an}的

bn?12an?1公差为d，当n?1时，?an?2an?1?an?2d，所以，数列{bn}是首项为2a1，公比为2dbn2的等比数列．

x（2）由f(x)?2x?f?(x)?2 ln2函数f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为y?b2?(2a2ln2)(x?a2)

111?2?所以切线在x轴上的截距为a2?，从而a2?，故a2?2，

ln2ln2ln2所以d?a2?a1?1，从而an?n，bn?2n，anbn2?n?4n，

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于是Tn?1?4?2?42?3?43??n?4n ，

4Tn?1?42?2?43?3?44?所以Tn?4Tn?4?4?4?n?1(1?3n)4?4所以Tn?.

3?n?4n?1，

n?1234n?1?4(1?3n)4n?1?4n?1?n?4?. ?4?n?4?33n17. （2014·重庆高考文科·Ｔ16）已知?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列，Sn 表示?an?的前n 项和. (1)求an 及Sn

(2)设?bn?是首项为2 的等比数列，公比q 满足q2?(a4?1)q?S4?0. 求?bn?的通项公式及其前n项和Tn.

【解题提示】 直接根据等差等比数列的性质求解通项公式及前n 项和. 【解析】(1)因为?an? 是首项为1, 公差为2 的等差数列，所以

an?a1?(n?1)d?2n?1. 故Sn?1?3??(2n?1)?n(a1?an)n(1?2n?1)??n2. 22(2)由(1)得a4?7,S4?16.因为q2?(a4?1)q?S4?0.即q2?8q?16?0, 所以(q?4)2?0,从而q?4.

又因为b1?2, ?bn?是公比为4 的等比数列，所以

bn?b1qn?1?2?4n?1?22n?1.

b1(1?qn)2n从而?bn?的前n 项和Tn??(4?1).

1?q3

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