广东省广州市海珠区2014年中考一模数学试题

2013-2014学年下学期海珠区九年级综合练习（一模）

数学卷

本试卷分为选择题和非选择题两部分，共三大题25小题，满分150分. 考试时间120分钟.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 4的算术平方根是（ ）

A. 2 B. －2 C. ±2 D. 4

2. 众志成城，抗震救灾．某小组7名同学积极捐出自己的零花钱支援灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）：50， 20，50，30，50，30，120．这组数据的众数和中位数分别是（ ）

A.120，50 B. 50，50 C.50，30 D. 50，20

3. 在平面直角坐标系中，将点P（-2,3）沿x轴方向向右平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标是（ ）

A.(-2,6) B.(-2,0) C. (1,3) D. (-5,3)

A4.已知?ABC与?ABC关于直线l对称，则∠B的度数（ ）

50°'''lA'A. 30° B. 50° C. 100° D. 90° 5. 下列命题中，是真命题的为（ ）

A.等边三角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.锐角三角形都相似

6.下列计算正确的是（ ）

A. (m?n)?m?n B. m222?2BCB'30°C'?1(m?0) m2 C.(m?2n)(m?2n)?m2?2n2 D. m2?n2?(mn)4

7. 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ）

A．52 B．32 C．24 D．9

324

4

主视图 俯视图

1

8.已知二次函数y?ax2?bx?c?a?0?的图象如图所示，下列说法错误的是：( )

A．图象关于直线x=1对称 B．函数y?ax2?bx?c?a?0?的最小值是-4 C．-1和3是方程ax2?bx?c?0?a?0?的两个根 D．当x＜1时，y随x的增大而增大 9. 如图，?1的正切值等于( ) A. 2 B. 1 C. 10.反比例函数y?-4-1Oy1x11 D. 23a?b图像上一点P(m?1,m?1) ，且有xa?b?2a?1?4b?1，则关于?5x的方程x2?mx?1?0 的根的情况为（ ）

A. 有两个不等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法判断

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

11. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出20株测得其高度，并求得它们的方差分别为s甲2＝3.6，s2乙＝15.8，则 种小麦的长势比较整齐． 12. 计算：sin30＝ ，（－3a）＝ ，13. 方程

?22??5?＝ 212?的解是 . x?1x14. 已知扇形的半径为6cm，圆心角的度数为120°，则此扇形的弧长为 cm.

15. 如图在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴，y轴的

0A?3，OB?4，D为OB的中点，正半轴上，若E为边OA上的一个动点，当?CDE的周长最小时，则点E的坐标为 .

16. 王宇用火柴棒摆成如图所示的三个“中”字形图案，依次规律，第n个“中”字形图案需要 根火柴棒.

yBDOEAxC 2

三、解答题（本大题共9小题，共102分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

?3x?1?2(x?1)?17. 解不等式组：?x?3，并在数轴上表示出其解集.

?1??2

18. 如图，四边形ABCD中，AB//CD,?ABC??CDA ，

求证：四边形ABCD为平行四边形.

2ADBC19. 已知a,b是方程x?5x?3?0的两根，（1）求a?b和ab的值. （2）求

20. 端午节前，爸爸先去超市买了大小，质量都相同的咸肉粽和碱水粽若干，碱水粽是咸肉粽的2倍；妈妈发现咸肉粽偏少，于是妈妈又去买了同样的3只咸肉粽和1只碱水粽，此时碱水粽和咸肉粽的数量相等。

（1）请计算出第一次爸爸买的咸肉粽和碱水粽各有多少只；

（2）若妈妈取出2只咸肉粽，3只碱水粽送爷爷和奶奶后，然后把剩余的粽子放进一个不透明的盒子。小明从盒中任取2只，问恰好是咸肉粽，碱水粽各1只的概率是多少？（可以用字母和数字代替咸肉粽和碱水粽的文字）.

21. 如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，山坡BE的坡度i=1：，求塔高．（精确到0.1米，3?1.732）

22. 如图圆O内接三角形?ABC.把?ABC以点O为旋转中心，顺时向旋转?BOA的度数得到?EAF.

（1） 利用尺规作出?EAF（要求保留作图痕迹，不写作法） （2） 连接CE，设EF与AC，BC分别交于点K和D，求证：

ab?的值.

b(a?b)a(a?b)DEABCCO针方

ABCD2?DE?DK

3

23. 如图，已知抛物线y?x2?bx?c与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）与y轴交于点C?0,?3?，对称轴是直线x?1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D，点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交抛物线于P，Q两点（点P在第三象限） （1）求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；

（2）当?CDE是直角三角形，且?CDE?90 时，求出点P的坐标；

（3）当?PBC 的面积为

24. 如图，?ABC,AB?AC?10，BC?12 ，点D在边BC，且BD?4，以点D为顶点作?EDF??B，分别交边AB于点E，交射线CA于点F

（1） 设AE?x ，CF?y ，求y关于x的函数解析式； （2） 若以点C为圆心CF长为半径的⊙C，以点A为圆心AE长为半径的⊙A，当两圆相切时，求BE的长；

（3） 当以边AC为直径的⊙O与线段DE相切时，判定此时AC与DF是否垂直，请说明理由.

25.已知抛物线C1:y1??yBAOPCEDx21时，求点E的坐标. 8AEFCBD12x?x?1，点F(2,1). 4yFPxBQ（1） 求抛物线C1的顶点坐标；

（2）○1若抛物线C1与y轴的交点为A，连接AF，并延长交抛物线C1于点B，求证：

AO11??1； AFBF ○2抛物线C1上任意一点P(xp,yp)(0?xp?2)，连接PF,并延长交抛物线C1于点Q(xQ,yQ)，试判断

11?为常数，请说明理由； PFQF1(x?h)2,若1?x?m时，y2?x恒成立，4（3） 将抛物线C1作适当的平移得到抛物线C2:y2?求m的最大值.

4

2013学年下学期海珠区九年级综合练习数学卷

参考答案

一、选择题 1 A

二、填空题 11． 甲 12．三．解答题

2 B 3 C 4 C 5 A 6 B 7 C 8 D 9 D 10 A 14，9a，5 13．x=2 14．4? 15．(1,0) 16．6n+3 2?3x?1?2(x?1)①?17．（本题满分10分）解：?x?3

?1 ②??2由①得 x>3

由②得 x≤5

∴不等式的解集为 3

∴∠BAC=∠ACD 在△ABC和△ACD中

??B??D???BAC??ACD ?AC?CA?∴?ABC??ADC ∴AB?CD ∴AB?CD,AB∥CD ∴四边形ABCD为平行四边形

ADBC19．（本题满分10分）解： （1）由根与系数关系得：a?b?5,ab?3 a2b2（2）原式= ?ab(a?b)ab(a?b)(a?b)(a?b)a?b553a2?b2 = = = = =

abab(a?b)3ab(a?b)3

20．（本题满分11分）⑴解：设第一次爸爸买的咸肉粽x只，碱水粽y只

5

由题意得 ??y?2x?x?2 解得 ?

?3?x?y?1?y?4 答: 第一次爸爸买的咸肉粽2只，碱水粽4只

⑵ 由题意得,剩下3只咸肉粽，2只碱水粽 若用a表示咸肉粽，b表示碱水粽 则可列表为

第1组 第2组 a1 （a1，a2） (a1,a3) (a1,b1) (a1,b2) a2 a3 b1 b2 a1 a2 a3 b1 （a2，a1） （a3，a1） （b1，a1） （b2，a1） (a2,a3) (a2,b1) (a2,b2) （a3，a2） (a3,b1) (a3,b2) (b1,a2) (b1,a3) (b1,b2) (b2,a2) (b2,a3) (b2,b1)

共有20种情况，其中满足条件的有(a1,b1)、(a2,b1)、(a3,b1)、(a1,b2)、(a2,b2)、

b2 (a3,b2)、（b1，a1）、(b1,a2)、(b1,a3)、（b2，a1）、(b2,a2)、(b2,a3)共12种 ∴P=(咸肉粽和碱水粽各1只)123= 205

21．（本题满分11分）解：由题意可知，∠BAD=45°，∠CBD=60°DC?AC

∴∠ACD=90° ∵ i?1:3 即 tan∠EBC=1:3 ∴ ∠EBC=30° ∴ ∠DBE=60°-30°=30° ∴ ∠DBE=∠BDC ∴ BE=DE 设CE=x，则BC?3x

在Rt△BCE中 ∵ ∠EBC=30° ∴ BE?2x ∴ DE?2x 在Rt△ACD中

∠ADC=90°-45°=45° ∴ ∠A=∠ADC ∴ AC=CD

∴ 73.2?3x?3x ∴x?DEABC73.2 3?3CEOKDFAB ∴ DE?2x?115.5 答：塔高约为115.5米。 22. （本题满分9分）解：（1）如图：?EAF为所求．

6

（2）由（1）作图可知?AOB??AOE??COF

∴?ACB??CEF 而?CDK??CDE ∴?CED??CDK ∴

23. （本题满分13分）解（1）∵对称轴x?1 ∴b??2

∵C?0,?3? ∴c??3 ∴抛物线方程y?x2?2x?3 ∴A??1,0?;B?3,0? ∴BC?y?x?3

（2）∵Rt?CDE 中?CDE?90，BC?y?x?3 ∴?OCB?45 ∵点D在对称轴x?1与直线y?x?3上 ∴D?1,?2?

∵Rt?CDE为等腰直角三角形 易得E?0,?1? ∵点P在CE垂直平分线上 ∴点P纵坐标为?2 ∵点P在y?x2?2x?3上

∴x?2x?3??2 解得 x?1?2 ∵P在第三象限 ∴P1?2,?2

2（3） 过P作PK//x 轴，交直线BC于点K，设Pxp,yp ，其中yp?xp?2xp?3

2??CDDK? ∴CD2?DE?DK DECDyBAPCOEDx????∵BC?y?x?3 ∴Kyp?3,yp ∴PK?yp?3?xp?xp?3xp ∵S?PBC?S?PKC?S?PKB?2??y21 8OAPCEBxK121∴?3PK? 287172∴xp?3xp? 解得xp1??;xp2?

422 ∵P在第三象限， ∴P???17?,?? ?24???1?? 2? ∵点P在CE垂直平分线上 ∴E?0,? 7

B?AC24. （本题满分14分）解：（1）∵A?10AE，xC?F,y?

∴BE?10?x ∵BD?4，BC?12 ∴DC?8 在?EBD和?DCF中，

∵?EDC??B??BED, ?EDC??EDF??FDC 而?EDF??B ，∴?BED??FDC,?B??C

AEFBDC ∴?EBD??DCF ∴

BEBD10?x4? ∴? DCCF8yAE ∴y关于x的函数解析式为y?32 (0?x?10) 10?xBFCD（2）分外切和内切两种情况考虑：如图，当⊙C和⊙A外切时，点F在线段AC上，且AE?AF ∵AB?AC ∴BE?CF 由（1）得

BEBD2?CD?32 ∴ BE?42 ∴BE?BD?DCCFFAEBDC如图，当⊙C和⊙A内切时，点F在线段CA的延长线上，且AE?AF

BEBD?∵AB?AC ∴BE?AB?AE,CF?AC?AF 由（1）得 DCCF10?AE4?∴ ∴ AE?217，BE?10?217 810+AE综上所述：当⊙C和⊙A相切时，BE的长为42或10?217 （3）如图，取边AC中点O，过点O分别作

OG?DE,OQ?BC，垂足分别为G,Q．过点A作AH?BC，垂足为H

1∵⊙O与线段DE相切，∴OG?AC?5

23?在Rt?CAH,?AHC?90,cos?C?

5CQ3?? 在Rt?CQO,?CQO?90,cos?C?CO5GHQ∴CQ?3,DQ?8?3?5 ∴OQ?DQ ∴Rt?OGD?Rt?DQO ∴ ?EDB??OGD?90

?由（1）得?EBD??DCF ∴ ?EDB??DFC?90

?∴ AC与DF垂直成立．

8

25. （本题满分14分）（1）解：∵C1:y1?∴顶点坐标?2,0?

1212x?x?1??x?2? 44yFPxBQ （2）○1证明∵C1 与y 轴交点A ∴A(0,1) ∴ AF?2,BF?2 ∴

11??1 AFBFAO ○2作PM?AB,QN?AB ，垂足分别为M,N ，设 在?MFP中，MF?2?xp,MP?1?yp (0?xp?2) P(xp,yp),Q(xQ,yQ)222 ∴PF?MF?MP?(2?xp)?(1?yp) 22yQAMPFBNx而点P在抛物线上 ∴ (2?xp)?4yp

∴PF?4yp?(1?yp)?(1?yp) ∴PF?1?yp 同理可得：QF?1?yQ

∵?MFP??NFQ,?PMF??QNF?90? ∴?PMF??QNF ∴

2222OPFMP1?yP2?PFQF?2PF?2QF?QF?PF ∴ PF????QFQNyQ?1QF?211??1为常数 PFQF1(x?2)2 4C1y∴

（3）设图像C3:y3?x ∵C1:y1?C2:y2?1(x?h)2 4C2∴ C2为C1左右平移所得 ，设抛物线C2与图像C3的交点的横坐标分别为x0,x1 ∴随着抛物线C2不断向右平移时，C3Ox0x1xx0,x1的值不断增大，

∴1?x?m时，y2?x恒成立时，m的最大值在x1处取得，即当x0?1时，m取最大值． ∴

2112(x?h)2?1?h?3或h??1(舍去） ∴(x?3)?x 44∴x?10x?9?0?x0?1,x1?9 ∴m的最大值为9

9

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