第七章 多元函数微分法及其应用

第七章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

一、平面点集n 维空间

1．区域

由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点p 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.

二元的序实数组）（y x ,的全体，即},),{(2R y x y x R R R ∈=?=就表示坐标平面。

坐标平面上具有某种性质p 的点的集合，称为平面点集，记作

}),(),{(p y x y x E 具有性质=

邻域：

设),(000y x P 是xOy 平面上的一个点，δ是某一正数 与点),(000y x P 距离小于δ的点),(y x P 的全体 称为点0P 的δ邻域 记为),(0δP U ， 即

}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P

U 邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ>0为半径的圆的内部的 点P

(x , y )的全体.

点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U , 即

}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .

注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作

)(0P U .

点与点集之间的关系:

任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种:

(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点;

(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点;

(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.

E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E .

E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .

聚点: 如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.

由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E .

例如, 设平面点集

E ={(x , y )|1

满足1

开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.

闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.

开集的例子: E ={(x , y )|1

闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.

集合{(x , y )|1

连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.

区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1

闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}. 有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得

E ?U (O , r ),

其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.

无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.

例如，集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.

2.维空间

设n 为取定的一个自然数, 我们用R n 表示n 元有序数组(x 1, x 2, ? ? ? , x n )的全体所构成的集合, 即

R n =R ?R ?? ? ??R ={(x 1, x 2, ? ? ? , x n )| x i ∈R , i =1, 2, ? ? ?, n }.

R n 中的元素(x 1, x 2, ? ? ? , x n )有时也用单个字母x 来表示, 即x =(x 1, x 2, ? ? ? , x n ). 当所有的x i (i =1, 2, ? ? ?, n )都为零时, 称这样的元素为R n 中的零元, 记为0或O . 在解析几何中, 通过直角坐标, R 2(或R 3)中的元素分别与平面(或空间)中的点或向量建立一一对应, 因而R n 中的元素x =(x 1, x 2,

? ? ? , x n )也称为R n 中的一个点或一个n 维向量, x i 称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量. 特别地, R n 中的零元0称为R n 中的坐标原点或n 维零向量.

二、多元函数概念

定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为

z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )

其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.

上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).

值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.

函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.

【例１】 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系

V =πr 2h .

这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定.

【例2】一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系

V

RT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.

三、多元函数的极限

与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限.

定义2 ：设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ?∈时, 都有

|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε

成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为

A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),

也记作 A P f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0).

上述定义的极限也称为二重极限.

注：①二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .

②如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.

【例3】 设22221sin

)(),(y x y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为

2222222222 |1sin ||| |01sin

)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+?+=-++=-, 可见?ε >0, 取εδ=

, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x , 即),(),(δO U D y x P ?∈时, 总有 |f (x , y )-0|<ε,

因此 四、多元函数的连续性

定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果 ),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,

则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.

如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.

二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.

【例4】设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.

证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ?ε >0, 由于sin x 在x 0处连续, 故?δ>0, 当|x -x 0|<δ 时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.

以上述δ作P 0的δ 邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ) 时, 显然

|f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,

即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续. 类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.

定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.

例如

函数?????=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f ,

其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该

函数的一个间断点.

又如, 函数1

1sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.

注: ①间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.

②可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.

③多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.

例如2221y

y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. ④ 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.

【例5】求

xy y x y x +→)2,1(),(lim

.

一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是

)()(lim 00

P f P f P P =→.

五、多元连续函数的性质

性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.

性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得

f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },

性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.

第二节 偏导数

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.

定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量

f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0).

如果极限

x

y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在，则称此极限为函数),(y x f z =在点）

（00,y x 处对x 的偏导数，记作 00y y x x x z ==??, 00

y y x x x f ==??, 00y y x x x

z ==, 或),(00y x f x .

例如 x

y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0000000. 类似地，函数),(y x f z =在点）

（00,y x 处对y 的偏导数定义为 y

y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??， 00y y x x y f ==??， 0

0y y x x y z ==，或),(00y x f v 。 偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ??, x

f ??, x z , 或),(y x f x . 偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0

.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ??, y

f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y

y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?),(),(lim ),(0. 偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如

?????=+≠++=0

00 ),(222222y x y x y x xy y x f

在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续.

注：

0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;

0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx

d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y . 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有 00lim )0 ,(lim ),(lim

00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有

2

2222022 )0,0(),(1lim lim k k x k x kx y x xy x kx

y y x +=+=+→=→. 因此,

),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ??, y

f ??, z y , 或),(y x f y . 偏导函数的定义式: y

y x f y y x f y x f y y ?-?+=→?),(),(lim

),(0.

二、高阶偏导数

设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数

),(y x f x z x

=??, ),(y x f y z y =??, 那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的 不同有下列四个二阶偏导数

),()(22y x f x z x z x xx =??=????, ),()(2y x f y x z x z y xy

=???=????, ),()(2y x f x y z y z x yx =???=????, ),()(2

2y x f y z y z y yy =??=????. 其中),()(2y x f y x z x z y xy =???=????, ),()(2y x f x

y z y z x yx =???=????称为混合偏导数. 22)(x z x z x ??=????, y x z x z y ???=????2)(, x y z y z x ???=????2)(, 2

2)(y z y z y ??=????. 同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数.

二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

【例6】 验证函数2

2ln y x z +=满足方程02222=??+??y z x z . 证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+=, 所以

22y x x x z +=??, 2

2y x y y z +=??,

222222222222)

()(2)(y x x y y x x x y x x z +-=+?-+=??, 222222222222)

()(2)(y x y x y x y y y x y z +-=+?-+=??. 因此 0)()(2

2222222222222=+-++-=??+??y x x y y x y x y z x z . 【例7】证明函数r u 1=满足方程0222222=??+??+??z u y u x u , 其中222z y x r ++=.

证:

3

2211r x r x r x r r x u -=?-=???-=??, 52343223131r x r x r r x r x u +-=???+-=??. 同理 5232231r

y r y u +-=??, 5232231r z r z u +-=??. 因此)31()31()31(523523523222222r

z r r y r r x r z u y u x u +-++-++-=??+??+?? 033)(3352352223=+-=+++-=r

r r r z y x r . 提示: 6236333223)()(r

x r r x r r r x x r r x x x u ???--=???--=-??=??.

第三节 全微分及其应用

一、全微分的定义

根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有

偏增量与偏微分:

f (x +?x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )?x ,

f (x +?x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )?x 为函数对x 的偏微分;

f (x , y +?y )-f (x , y )≈f y (x , y )?y ,

f (x , y +?y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )?y 为函数对y 的偏微分.

全增量: ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ).

计算全增量比较复杂, 我们希望用?x 、?y 的线性函数来近似代替之.

定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量

?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )

可表示为

) )()(( )(22y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ,

其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即

dz =A ?x +B ?y .

如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分.

可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.

这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则

?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y )=A ?x +B ?y +o (ρ),

于是 0lim 0

=?→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim 0

)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =?+=?+?+→→??ρ. 因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.

定理1(必要条件)

如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数

x z ??、y z ??必定存在, 且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为

y y

z x x z dz ???+???=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +?x , y +?y ), 有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有

f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |).

上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得

A x y x f y x x f x =?-?+→?),(),(lim

, 从而偏导数x z ??存在, 且A x z =??. 同理可证偏导数y z ??存在, 且B y

z =??. 所以 y y z x x z dz ???+???=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有?z =A ?x +B ?y +o (ρ). 特别当?y =0时有 f (x +?x , y )-f (x , y )=A ?x +o (|?x |).

上式两边各除以?x , 再令?x →0而取极限, 就得

A x x o A x y x f y x x f x x =??+=?-?+→?→?]|)(|[lim ),(),(lim

0, 从而x z ??存在, 且A x z =??. 同理y z ??存在, 且B y

z =??. 所以y y z x x z dz ???+???=. 偏导数x z ??、y z ??存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件. 例如,

函数??

???=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0, 但函数

在(0, 0)不可微分, 即?z -[f x (0, 0)?x +f y (0, 0)?y ]不是较ρ高阶的无穷小.

这是因为当(?x , ?y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,

ρ]

)0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ??+??-?02

1)()()()(2222≠=?+????=?+????=x x x x y x y x . 定理2(充分条件)

如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ??、y

z ??在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.

按着习惯, ?x 、?y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作

dy y

z dx x z dz ??+??=. 二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理.

叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为

dz z

u dy y u dx x u du ??+??+??=. 第四节 多元复合函数的求导法则

设z =f (u , v ), 而u =?(t ), v =ψ(t ), 如何求

dt

dz ？ 设z =f (u , v ), 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), 如何求x z ??和y z ??？ 一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理1 如果函数u =?(t )及v =ψ(t )都在点t 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(t ), ψ(t )]在点t 可导, 且有

dt

dv v z dt du u z dt dz ???+???=. 简要证明1: 因为z =f (u , v )具有连续的偏导数, 所以它是可微的, 即有

dv v

z du u z dz ??+??=. 又因为u =?(t )及v =ψ(t )都可导, 因而可微, 即有

dt dt du du =

, dt dt

dv dv =, 代入上式得 dt dt

dv v z dt dt du u z dz ???+???=

dt dt dv v z dt du u z )(???+???=, 从而 dt dv v z dt du u z dt dz ???+???=. 简要证明2: 当t 取得增量?t 时, u 、v 及z 相应地也取得增量?u 、?v 及?z . 由z =f (u , v )、u =?(t )及v =ψ(t )的可微性, 有

)(ρo v v z u u z z +???+???=?)()]([)]([ρo t o t dt

dv v z t o t dt du u z +?+???+?+???= )()()()(ρo t o v

z u z t dt dv v z dt du u z +???+??+????+???=, t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ?+????+??+???+???=??)()()(ρ,

令?t →0, 上式两边取极限, 即得

dt

dv v z dt du u z dt dz ???+???=. 注:0)()(0)()()(lim )(lim 222

200=+?=??+??=?→?→?dt dv dt du t v u o t o t t ρ

ρρ. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =?(t), v =ψ(t ), w =ω(t ), 则z =f [?(t), ψ(t ), ω(t )]对t 的导数为:

dt dw w z dt dv v z dt du u z dt dz ??+??+??=. 上述dt

dz 称为全导数. 二、 复合函数的中间变量均为多元函数的情形

定理2 如果函数u =?(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有 x v v z x u u z x z ?????+?????=??, y

v v z y u u z y z ?????+?????=??. 推广: 设z =f (u , v , w ), u =?(x , y ), v =ψ(x , y ), w =ω(x , y ), 则

x w w z x v v z x u u z x z ?????+?????+?????=??, y w w z y v v z y u u z y z ?????+?????+?????=??. 三、复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形 定理3 如果函数u =?(x , y )在点(x , y )具有对x 及对y 的偏导数, 函数v =ψ(y )在点y 可导, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x u u z x z ?????=??, dy

dv v z y u u z y z ???+?????=??. 【例1】 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换成极坐标系中的形式: (1)22)()(y u x u ??+??; (2)2222y

u x u ??+??. 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得

u =f (x , y )=f (ρcos θ, ρsin θ)=F (ρ, θ),

其中x =ρcos θ, y =ρsin θ, 22y x +=ρ, x

y arctan =θ. 应用复合函数求导法则, 得

x u x u x u ????+????=??θθρρ2ρθρρy u x u ??-??=ρ

θθθρsin cos y u u ??-??=,

y u y u y u ????+????=??θθρρ2ρθρρx u y u ??+??=ρθθθρcos sin ??+??=u u . 两式平方后相加, 得

22222)(1)()()(θ

ρρ??+??=??+??u u y u x u . 再求二阶偏导数, 得

x

x u x x u x u ???????+???????=??θθρρ)()(22 θρ

θθθρρcos )sin cos (???-????=

u u ρθρθθθρθsin )sin cos (???-????-u u 2

2222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ??+???-??=u u u ρθρρθθθ22

sin cos sin 2??+??+u u . 同理可得

2

222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ??+???+??=??u u u y u ρθρρθθθ22

cos cos sin 2??+??-u u . 两式相加, 得

2

2222222211θρρρρ??++??=??+??u u y u x u ])([12

22θρρρρρ??+????=u u . 全微分形式不变性:

设z =f (u , v )具有连续偏导数, 则有全微分

dv v

z du u z dz ??+??=. 如果z =f (u , v )具有连续偏导数, 而u =?(x , y ), v =ψ(x , y )也具有连续偏导数, 则

dy y

z dx x z dz ??+??=

dy y

v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(????+????+????+????= )()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ??+????+??+????= dv v

z du u z ??+??=. 由此可见, 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数, 它的全微分形式是一样的. 这个性质叫做全微分形式不变性.

【例2】 设z =e u sin v , u =x y , v =x +y , 利用全微分形式不变性求全微分.

解 dv v

z du u z dz ??+??== e u sin vdu + e u cos v dv = e u sin v (y dx +x dy )+ e u cos v (dx +dy )

=( ye u sin v + e u cos v )dx +(xe u sin v + e u cos v )dy

=e xy [y sin(x +y )+cos(x +y )]dx + e xy [x sin(x +y )+cos(x +y )]dy .

第五节 隐函数的求导法则

一、一个方程的情形

隐函数存在定理1

设函数F (x , y )在点P (x 0, y 0)的某一邻域内具有连续偏导数, F (x 0, y 0)=0, F y (x 0, y 0)≠0, 则方程

F (x , y )=0在点(x 0, y 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数y =f (x ), 它满足条件y 0=f (x 0), 并有

y

x F F dx dy -=. 求导公式证明: 将y =f (x )代入F (x , y )=0, 得恒等式F (x , f (x ))≡0,

等式两边对x 求导得

0=???+??dx

dy y F x F , 由于F y 连续, 且F y (x 0, y 0)≠0, 所以存在(x 0, y 0)的一个邻域, 在这个邻域同F y ≠0, 于是得 y

x F F dx dy -=. 【例1】 验证方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ), 并求这函数的一阶与二阶导数在x =0的值.

解 设F (x , y )=x 2+y 2-1, 则F x =2x , F y =2y , F (0, 1)=0, F y (0, 1)=2≠0. 因此由定理1可知, 方程x 2+y 2-1=0在点(0, 1)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x =0时y =1的隐函数y =f (x ). y x F F dx dy y x -=-=, 00

==x dx dy ;

332222221

)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=, 10

22-==x dx y d . 隐函数存在定理还可以推广到多元函数. 一个二元方程F (x , y )=0可以确定一个一元隐函数, 一个三元方程F (x , y , z )=0可以确定一个二元隐函数.

隐函数存在定理2

设函数F (x , y , z )在点P (x 0, y 0, z 0)的某一邻域内具有连续的偏导数, 且F (x 0, y 0, z 0)=0, F z (x 0, y 0, z 0)≠0 , 则方程F (x , y , z )=0在点(x 0, y 0, z 0)的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数z =f (x , y ), 它满足条件z 0=f (x 0, y 0), 并有

z x F F x z -=??, z

y F F y z -=??. 公式的证明: 将z =f (x , y )代入F (x , y , z )=0, 得F (x , y , f (x , y ))≡0,

将上式两端分别对x 和y 求导, 得

0=???+x

z F F z x , 0=???+y z F F z y . 因为F z 连续且F z (x 0, y 0, z 0)≠0, 所以存在点(x 0, y 0, z 0)的一个邻域, 使F z ≠0, 于是得

z x F F x z -=??, z

y F F y z -=??. 【例2】. 设x 2+y 2+z 2-4z =0, 求2

2x z ??. 解 设F (x , y , z )= x 2+y 2+z 2-4z , 则F x =2x , F y =2z -4,

z

x z x F F x z z x -=--=-=??2422, 3222222

)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-??+-=??. 二、方程组的情形

在一定条件下, 由个方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0可以确定一对二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 例如方程xu -yv =0和yu +xv =1可以确定两个二元函数22y

x y u +=, 22y x x v +=. 事实上, xu -yv =0 ?u y

x v =?1=?+u y x x yu ?2

2y x y u +=, 2222y x x y x y y x v +=+?=. 如何根据原方程组求u , v 的偏导数？

隐函数存在定理3 设F (x , y , u , v )、G (x , y , u , v )在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数, 又F (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, G (x 0, y 0, u 0, v 0)=0, 且偏导数所组成的函数行列式:

v

G u G

v F u F v u G F J ????????=??=),(),( 在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)不等于零, 则方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0在点P (x 0, y 0, u 0, v 0)的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 它们满足条件u 0=u (x 0, y 0), v 0=v (x 0, y 0), 并有

v u v u v x v x

G G F F G G F F v x G F J x u -=??-=??),(),(1, v

u v u x u x u G G F F G G F F x u G F J x v -=??-=??),(),(1, v u v u v y v y G G F F G G F F v y G F J y u -=??-=??),(),(1, v u v u y

u y u G G F F G G F F y u G F J y v -=??-=??),(),(1. 隐函数的偏导数:

设方程组F (x , y , u , v )=0, G (x , y , u , v )=0确定一对具有连续偏导数的

二元函数u =u (x , y ), v =v (x , y ), 则

偏导数x u ??, x v ??由方程组??

???=??+??+=??+??+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定; 偏导数y u ??, y v ??由方程组??

???=??+??+=??+??+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定. 【例3】 设xu -yv =0, yu +xv =1, 求x u ??, x v ??, y u ??和y

v ??. 解 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于x u ??和x

v ??的方程组 ?????=??++??=??-??+00x v x v x

u y x v y x u x u ,

当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yv xu x u ++-=??, 2

2y x xv yu x v +-=??. 两个方程两边分别对x 求偏导, 得关于y u ??和y

v ??的方程组 ??

???=??+??+=??--??00y v x y u y u y v y v y u x , 当x 2+y 2 ≠0时, 解之得22y x yu xv y u +-=??, 2

2y x yv xu y v ++-=??. 【例4】 设函数x =x (u , v ), y =y (u , v )在点(u , v )的某一领域内连续且有连续偏导数, 又

0),(),(≠??v u y x . (1)证明方程组

?

??==),(),(v u y y v u x x 在点(x , y , u , v )的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数u =u (x , y ), v =v (x , y ).

(2)求反函数u =u (x , y ), v =v (x , y )对x , y 的偏导数.

解 (1)将方程组改写成下面的形式

?

??=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F , 则按假设 .0),(),(),(),(≠??=??=

v u y x v u G F J 由隐函数存在定理3, 即得所要证的结论.

(2)将方程组(7)所确定的反函数u =u (x , y ),v =v (x , y )代入(7), 即得

???≡≡)]

,(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x ,

将上述恒等式两边分别对x 求偏导数,得

??????????+?????=?????+?????=x

v

v y x u u y x v v x x u u x 01. 由于J ≠0, 故可解得

v y J x u ??=??1, u y J x v ??-=??1. 同理, 可得

v x J y u ??-=??1, u

x J y v ??=??1. 第六节 多元函数微分学的几何应用

一、一元向量值函数及其导数

空间曲线Γ的参数方程为：??

???===)()()(t z t y t x ωψ?，],[βα∈t

此方程也可以写成向量形式。若记

k z j y i x r ++=，k t j t i t t f )()()()(ωψ?++=→，

于是

→=)(t f r ，],[βα∈t ，

这就确定了一个从实数到向量的一个映射。

定义1：设数集R D ?，则映射n R D f →: 为一元向量值函数，记作

→=)(t f r ，D t ∈

其中数集D 称为函数的定义域，t 称为自变量，r 称为因变量。

在3R 中，→

)(t f 可表示为： k t f j t f i t f t f )()()()(321++=→

，D t ∈

或者 ))(),(),(()(321t f t f t f t f =→，D t ∈

下面研究向量值函数的极限，连续性，导数。

1.向量值函数极限：

定义2：设向量值函数→)(t f 在点0t 的某一去心领域内有定义，若存在一个常向量0r

，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当t 满足δ<-<||00t t 时，对应的函数值→)(t f 都满足不等式 ε<-|)(|0r t f

则称常向量0r 为向量值函数→)(t f 当0t t →时的极限，记作

0)(lim 0

r t f t t =→

等价于))(lim ),(lim ),(lim ()(lim 0000321t f t f t f t f t t t t t t t t →→→→= 2.向量值函数连续：

设向量值函数→

)(t f 在点0t 的某一领域内有定义，若)()(lim 00

t f t f t t =→，则称向量值函数→

)(t f 在点0t 处连续。

等价于)(),(),(321t f t f t f 都在点0t 处连续。

向量值函数→)(t f ，D t ∈，若→)(t f 在D 上每一点都连续，则称→)(t f 是D 上的连续函数。

3.向量值函数导数：

定义3：设向量值函数→)(t f 在点0t 的某一领域内有定义，如果 t

t f t t f t r t t ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在， 则称此极限向量为向量值函数→

)(t f 在点0t 处的导数或导向量，记作)(0t f ' 或0|t t dt

r d = 。 向量值函数→)(t f ，D t ∈，若→)(t f 在D 上每一点都可导，则称)(t f ' 是D 上的导函数。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/77de.html